考慮次序與否 2.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

初學機會率的其中兩個最大難處是,要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」,例如:

我們再考慮另一個例子:

有一個袋子,內裡有十張卡紙。每張卡紙上,都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」,即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙,不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。問題是,你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少?

P 方法:

總共要抽三個字母:

(_)(_)(_)

抽第一個時,總共有十個字母,而你想要的 A,則有三個。所以,第一個機會率分數是十分之三(3/10)。

(3/10)(_)(_)

抽第二個時,總共餘下九個字母,而你想要的 A,則還有兩個。所以,第二個機會率分數是九分之二(2/9)。

(3/10)(2/9)(_)

最後,總共餘下八個字母,而你想要的 B,則有三個。所以,第三個機會率分數是八分之三(3/8)。

(3/10)(2/9)(3/8)

暫時的結論是,抽到 A A B 的機會率是 1/40。

(3/10)(2/9)(3/8)

= 1/40

在用「S 方法」驗算前,我們先考慮,我們需不需要,再額外考慮「次序問題」呢?

需要,因為剛才那幾個機會率分數,只包括了 A A B,即是「頭兩個是 A 而最尾一個是 B」的情況。那並不是題目的設定。題目並沒有要求三個之中,哪一個是 B。所以,還有其他情況需要考慮:

(A)(A)(B)

(A)(B)(A)

(B)(A)(A)

(HYC:這一題很明顯是只有三種情況。但是,當題目不是那麼簡單,數字不是那麼小,而是要我選(例如)「四 C 三 A」時,我怎樣保證,可以羅列所有相關的情況,沒有遺漏?)

你可以這樣想:

(_)(_)(_)

三格之中,你要放一個是 B,有多少方法呢?

很明顯,有 3_C_1 種可能。3_C_1 即是「3 選 1」,等於 3。所以,你只要將剛才的中途結果乘以 3,就可以得到最終答案。

(3/10)(2/9)(3/8)3_C_1

=(1/40)3

= 3/40

結論是,抽到「兩 A 一 B」的機會率是 3/40。

(HYC:我明白為何共有 3_C_1 種情況。但是,我不明白,為何只要將 3_C_1 乘上其中一個案例的機會率,就可以得到整體的機會率。)

你的憂慮是合理的。實情是,那 3_C_1 種情況,是三種不同的處境,需要各自計算,然後把它們相加,來得出整體的機會率。

(A)(A)(B)=(_)(_)(_)

(A)(B)(A)=(_)(_)(_)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

剛才運算過,「(A)(A)(B)」的機會是 1/40。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(_)(_)(_)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

而第二種情況「(A)(B)(A)」,抽到第一張是 A 的機會是 3/10,因為十張卡紙中,有三張是 A;抽第二張是 B 的機會是 3/9,因為餘下的九張卡紙中,有三張是 B;抽第三張是 C 的機會是 2/8,因為餘下的八張卡紙中,還剩兩張是 A。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

類似地,第三種情況「(B)(A)(A)」的機會是(3/10)(3/9)(2/8)。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

(B)(A)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

理論上,三種情況要各自計算,從而會有三道不同的算式。但是實際上,你會發覺三道不同算式,會有相同的結果,都是 1/40。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)= 1/40

(B)(A)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)= 1/40

所以,剛才的講法「只要把『(A)(A)(B)』的機率乘以 3_C_1,就可以得以整體結果」,雖然概念上「有點不負責任」,但實際上,會得到正確的最終答案。

還有,很多時候,那是必須的捷徑。例如,如果題目問你「從『AAABBBCCCC』中,抽出七個字母,抽到『兩 A、兩 B 和 三 C』的機會是多少」,你就總共有 210 種情況要各自考慮、個別運算,除非你願意使用捷徑。

— Me@2013.01.24

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.25 Friday (c) All rights reserved by ACHK