無理數 2.1

乘法意思 5.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

剛才討論「乘法意思」時,提及過「無理數」。我現在想詳細講述一下。

一般而言,需不需要用小數,要視乎你所用的單位。例如,你用間尺量度一條線,發現長度等於 2.4cm。你需要用小數 2.4,是因為你用了厘米 cm 作為單位。如果轉用毫米 mm,你就可以用整數,來表達同樣的長度。

2.4 cm = 24 mm

但是,有時,無論用整數還是小數,都好像表達不到某些長度。例如,如果你間尺的最小間隔是 1mm,而你所度的長度是介乎 12mm 和 13mm 之間,一方面,你不能用整數來表達那長度,因為那既不是 12mm,又不是 13mm;另一方面,你亦不能用小數來表達,因為憑那把間尺,你並不知道,那長度是 12 點幾。

按常識,只要使用刻度精細一點的間尺,就可以解決這個問題 —— 你就可以用整數,準確表達那個長度。用厘米 cm 作刻度不行的話,就用毫米 mm;用毫米都不行的話,就用十分之一毫米;如此類推。在這個「可以透過縮小單位,來把小數化成整數」的情況下,你所量度的長度數值,如果堅持用原本的單位,就會表達成一個「有理數」(rational number),可以用「有盡小數」或者「循環小數」來表達。

但是,數學世界卻隱藏了,一些不按一般人「常識」的情況。有一些線的長度,無論你間尺的刻度有多精細,它永遠止於兩個刻度之間。例如,如果一個正方形的邊長是一個單位,它的對角線長度,就會是「開方 2」個單位()。

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「開方 2」就為之「無理數」(irrational number)。表達成小數的話,它會「無盡不循環」。

(安:那如果用對角線作為單位呢?

如果用一把刻度間隔,剛好是那條對角線長度的間尺,你就相當於把那長度,定義為「一個單位」。那樣,你就可以用「一」這個數字,來表達那對角線長度,而迴避了「無理數」。)

但是,那樣的話,你就犧牲了那正方形的邊長。你會被迫把它表達成「無理數」

— Me@2013.02.20

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