測不準原理 1.7

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那樣,我們就可以說:

處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

這個『能量疊加狀態』的一個物理系統,如果複製成很多個相同的系統,然後各自量度能量數值的話,那堆能量數據的分佈,所對應的『標準差』,將等於  0.9428J。  

因為這個論述十分費時,所以我們會將它簡化成:

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的『標準差』是 0.9428J。

(安:等一等,讓我先整理一下。

你想講的是,每個量子態,都有對應的「標準差」(standard deviation)。而「標準差」就反映了,一堆數據的分散程度。)

無錯。

(安:那又怎樣?那跟「測不準原理」,又有什麼關係呢?)

「標準差」和「確定性」有著密切的關係。具體而言,一個量子態(例如)能量的「標準差」越大,即代表了可能的能量數值越分散。那樣,在量度之前,能量的「不確定性」就越大。

換句話說,「標準差」反映了「不確定性」。例如,我們試試比較兩個「疊加態」,各自的「標準差」:

疊加態甲:

\sqrt{\frac{1}{10}} | A \rangle + \sqrt{\frac{9}{10}} | B \rangle

的『標準差』是 0.6J。

疊加態乙:

\sqrt{\frac{1}{2}} | A \rangle + \sqrt{\frac{1}{2}} | B \rangle

的『標準差』,則是 1J。

你會發現,「疊加態乙」的「標準差」大於「疊加態甲」。那就代表乙比較甲「不確定」,符合我們的直觀感覺:

乙有 1/2 的機會,會被量度出,帶有 1J 的能量(「本徵態 A」的對應能量數值);而亦有 1/2 的機會,會被量度出,帶有 3J 的能量(「本徵態 B」的對應能量數值)。兩個可能數值,出現的機會率相同或者相若時,我們就「無從估計」,系統會出現兩個數值中的哪一個。

但是,甲卻有 9/10,即是有九成的機會率,會被量度出,帶有 3J 的能量(「本徵態 B」的對應能量數值)。那樣,我們就可以說,我們「相對確定」,系統帶有 3J 的能量。

— Me@2014.01.23

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