機遇再生論 1.7

同理,在一次牌都未洗的時候,問:

如果洗牌 m 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_m)= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m

留意,N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67},非常之大,導致 (1 - \frac{1}{N}) 極端接近 1。在一般情況,m 的數值還是正常時, P(A_m) 會仍然極端接近 0。

例如,你將會連續洗一千萬次牌(m = 10,000,000),起碼有一次,回到原本排列 A 的機會是:

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000}

你用一般手提計算機的話,它會給你 0。你用電腦的話,它會給你

1.239799930857148592 \times 10^{-61}

.

但是,你亦毋須完全悲觀,因為只要再留意,你亦會發現,只要 m 越大,P(A_m) 的數值,都會越大。

亦即是話,例如,

「(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 二千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率」

會大過

「(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 一千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率」。

.

那樣,如果有無限的時間,容許不停地洗牌,只要在一次牌都未洗的時候,問機會率 P(A_m) 時,把將會洗牌的次數 m 加大某個程度,P(A_m) 就有可能遠離零而接近一。

例如,如果設定次數 m 為一千萬的兩倍,你會發現

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000 \times 2}
\approx 2.479599861714297185 \times 10^{-61},

大過原本的數值 1.239799930857148592 \times 10^{-61};但是,那仍然是很小。

那樣,你就將 m 設為更大的數值,例如一千萬的一千萬倍(10,000,000 \times 10,000,000):

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000 \times 10,000,000}
\approx 1.2397999308571485923950342 \times 10^{-54}

雖然 P(A_m) 大了約一千萬倍之多,但是,結果的數值依然是很小。

但是,你也不用完全氣餒,因為,你可以不斷再試,越來越大的 m 數值。再例如,你可以試,一千萬的三次方、一千萬的四次方、一千萬的五次方等,如此類推。

m = 10,000,000^3, P(A_m) = 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000^3} \approx 1.2398 \times 10^{-47}

m = 10,000,000^4, P(A_m) \approx 1.2398 \times 10^{-40}

m = 10,000,000^8, P(A_m) \approx 1.2398 \times 10^{-12}

m = 10,000,000^9, P(A_m) \approx 0.000012398

m = 10,000,000^{10}, P(A_m) = 0.9999999...

.

你會發現,如果在一次牌都未洗的時候問:

洗牌 10,000,000^{10} 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是非常接近一:

P(A_{10,000,000^{10}}) = 0.9999999...

.

(問:你的意思是,即使我洗了(例如)一千萬牌,仍然得不回原本的排列 A,只要我洗多一千萬次,得回 A 的機會,就會大一點?)

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不是。

正正是為了避免這個誤會,我在以上的論述中,不厭其煩地重複著

如果在一次牌都未洗的時候問…

你留意我剛才所講:

由於,機會率只是與未知的事情有關,或者說,已知的事件,發生的機會率必為 1;所以,如果發生了第一次洗牌,而你又知道其結果的情況下,問「如果再洗一次牌,『是 A』和『不是 A』的機會,分別是多少」,第二次洗牌各個可能結果,發生的機會率,與第一次洗牌的結果無關。

第二次洗牌結果為組合 A 的機會率,仍然是

P(A) = \frac{1}{N}

(N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67})

同理:

剛才我們運算過,(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 一千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是

P(A_{10,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-61}

如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現,然後問:

現在開始,再洗多一千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案仍然會是

P(A_{10,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-61}

但是,如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現時,問_另一個_問題的話,答案就會截然不同:

剛才,我洗了一千萬之牌,仍然回不到 A。

我決定,現在開始再洗牌,多不只一千萬次,而是二千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_{20,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-54}

— Me@2018-02-23 08:21:52 PM

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