排列組合 1.1

nCr, 0

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

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\displaystyle{n!}

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1.1  意思:

\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位的話,有多少種坐法?

1.2.1  算式:

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

1.2.2  由來:

第一個位,有 \displaystyle{n} 個可能的人選;第一個位被坐後,第二個位只有 \displaystyle{(n-1)} 個,可能的人選;如此類推,直到最後一個位,被餘下的唯一個人,選了為此。

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1.3 

留意,\displaystyle{n} 是多少,就有多少項。

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

例如,\displaystyle{5!},就有 5 項相乘;

\displaystyle{\begin{aligned}     5! &= (5)(4)(3)(2)(1) \\ \\     \end{aligned}}

\displaystyle{3!},就有 3 項;等等。

\displaystyle{\begin{aligned}     3! &= (3)(2)(1) \\    \end{aligned}}

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1.4.0  零的階乘,\displaystyle{0!},還未有定義,因為,算式 \displaystyle{n! = (n)(n-1) \cdots (2)(1)} 中的 \displaystyle{n},只可以是正整體,不可以零。

階乘零,\displaystyle{0!},需要額外定義,因為會常用到。那樣,\displaystyle{0!} 應該定義為,什麼數值呢?

1.4.1  既然 \displaystyle{n!}意思是「\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位,有多少種坐法」,那樣,你就可以視,\displaystyle{0!} 的意思是「\displaystyle{0} 個人 \displaystyle{0} 個座位,有多少種坐法」;那明顯是一,因為,那個情況之下,只有一個「坐法」,就是「沒有人又沒有位」這個唯一的可能性。

\displaystyle{0! = 1}

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1.4.2  另外一種設計定義的想法是,由 \displaystyle{n!}算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少,\displaystyle{n!} 就有多少項相乘,那樣,零的階乘,\displaystyle{0!},理應只有零項相乘,\displaystyle{~a^0~}

\displaystyle{0! = a^0}

但是,「零項相乘」的數值,又應該是什麼呢?

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」,所以是一,因為任何數乘了一,效果都等於沒有乘。

\displaystyle{a^0 = 1}

(「零項相乘」的正式學名是,「空積」或「零項積」。)

\displaystyle{0! = 1}

— Me@2022-08-02 02:41:43 PM

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