排列組合 1.1

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nCr, 0

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

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\displaystyle{n!}

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1.1  意思：

\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位的話，有多少種坐法？

1.2.1  算式：

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

1.2.2  由來：

第一個位，有 \displaystyle{n} 個可能的人選；第一個位被坐後，第二個位只有 \displaystyle{(n-1)} 個，可能的人選；如此類推，直到最後一個位，被餘下的唯一個人，選了為此。

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1.3 

留意，\displaystyle{n} 是多少，就有多少項。

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

例如，\displaystyle{5!}，就有 5 項相乘；

\displaystyle{\begin{aligned} 5! &= (5)(4)(3)(2)(1) \\ \\ \end{aligned}}

\displaystyle{3!}，就有 3 項；等等。

\displaystyle{\begin{aligned} 3! &= (3)(2)(1) \\ \end{aligned}}

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1.4.0  零的階乘，\displaystyle{0!}，還未有定義，因為，算式 \displaystyle{n! = (n)(n-1) \cdots (2)(1)} 中的 \displaystyle{n}，只可以是正整體，不可以零。

階乘零，\displaystyle{0!}，需要額外定義，因為會常用到。那樣，\displaystyle{0!} 應該定義為，什麼數值呢？

1.4.1  既然 \displaystyle{n!} 的意思是「\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位，有多少種坐法」，那樣，你就可以視，\displaystyle{0!} 的意思是「\displaystyle{0} 個人 \displaystyle{0} 個座位，有多少種坐法」；那明顯是一，因為，那個情況之下，只有一個「坐法」，就是「沒有人又沒有位」這個唯一的可能性。

\displaystyle{0! = 1}

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1.4.2  另外一種設計定義的想法是，由 \displaystyle{n!} 的算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少，\displaystyle{n!} 就有多少項相乘，那樣，零的階乘，\displaystyle{0!}，理應只有零項相乘，\displaystyle{~a^0~}。

\displaystyle{0! = a^0}

但是，「零項相乘」的數值，又應該是什麼呢？

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」，所以是一，因為任何數乘了一，效果都等於沒有乘。

\displaystyle{a^0 = 1}

（「零項相乘」的正式學名是，「空積」或「零項積」。）

\displaystyle{0! = 1}

— Me@2022-08-02 02:41:43 PM

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