排列組合 1.2

nCr, 0.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

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1.4.2 另外一種設計定義的想法是,由 \displaystyle{n!}算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少,\displaystyle{n!} 就有多少項相乘,那樣,零的階乘,\displaystyle{0!},理應只有零項相乘,\displaystyle{~a^0~}

\displaystyle{0! = a^0}

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但是,「零項相乘」的數值,又應該是什麼呢?

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」,所以是一,因為任何數乘了一,效果都等於沒有乘;所以,

\displaystyle{a^0 = 1}

\displaystyle{0! = 1}

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「零項相乘」的正式學名是,「空積」或「零項積」。

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1.4.3 如果要詳細一點,去理解「空積」的話,可以先嘗試了解「次方」的意思。

首先,\displaystyle{a} 五次方的意思,就是有五個 \displaystyle{a} 相乘。

\displaystyle{a^5 = aaaaa}

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如果在其之後,再乘 \displaystyle{a^3} 的話,就即是再乘多三個 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa)}

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所以,

\displaystyle{a^5 a^3 = a^{5+3}}

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既然,在其之後乘以 \displaystyle{a}三次方,就是乘多三個 \displaystyle{a}

那樣,在其之後乘以 \displaystyle{a}三次方,就可以理解成乘少三個 \displaystyle{a},即是:

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你想想,自出生以來,你學過什麼操作,會有刪除因子的效果呢?

就是分母:

\displaystyle{a^5 a^{-3} = \frac{aaaaa}{aaa}}

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所以,所謂「負三次方」的運算的方法,就是把那三次方,放於分母之中。

\displaystyle{a^{-3} = \frac{1}{a^3}}

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然後,我們可以再研究,一個抽象一點的問題:

\displaystyle{a}次方,又會是什麼呢?

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我們可以這樣想,如果 \displaystyle{a^{1/2}} 存在的話,它必須達到什麼效果呢?

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如果暫時想不到的話,可以改為思考:「\displaystyle{a} 的五次方,乘了半次 \displaystyle{a},再乘半次 \displaystyle{a}」 的話,即是總共乘多了,多少個 \displaystyle{a} 呢?

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=?

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那很明顯是,總共乘多了一次 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^5 a^1

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所以,

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^6

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亦即是話,

\displaystyle{a^{1/2} a^{1/2}}=a^1

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究竟這個所謂的「半次 \displaystyle{a}」存不存在呢?

可以這個想,你自出生以來,有沒有學過什麼數字符號,自乘後會等如一次 \displaystyle{a} 呢?

有,那就是 \displaystyle{a} 的平方根。

\displaystyle{\sqrt{a} \sqrt{a}}=a^1

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所以,所謂的「半次 \displaystyle{a}」,其實就是,平方根 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}}

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言歸正傳,我們再來研究,所謂的「\displaystyle{a} 零次方」,其實是什麼?

顧名思義,即是乘 \displaystyle{a} 的次數為零,不要乘也。

再想想:

\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的正三次,就是乘多三個 \displaystyle{a};所以,結果就是 \displaystyle{a} 的八次方。

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa) = a^8}

同理,\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a}三次,就是乘三個 \displaystyle{a};所以,結果就是 \displaystyle{a} 的二次方。

\displaystyle{a^5 a^{-3} = a^2}

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那樣,\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a}次,理應就是「不乘多亦不乘少」,維持原來的 \displaystyle{a} 五次。

\displaystyle{a^5 a^{0} = aaaaa = a^5}

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換句話說,「乘以 \displaystyle{a} 零次」的效果,就是「乘了等如沒乘」。

你想想,自出生以來,有沒有學過什麼數字符號,會有「乘了等如沒乘」的效果呢?

— Me@2022.09.07 08:09:14 PM

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