機遇再生論 1.8

如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現,然後問:

現在開始,再洗多一千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案仍然會是

P(A_{10,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-61}

但是,如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現時,問_另一個_問題的話,答案就會截然不同:

剛才,我洗了一千萬之牌,仍然回不到 A。

我決定,現在開始再洗牌,多不只一千萬次,而是二千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_{20,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-54}

.

(問:那我不需要在「洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現時」,才問_另一個_問題,因為,事先透過運算,就已經知道,那機會十分之微。

反而,我可以索性一開始,在一次牌都未洗的時候就問:

我決定,現在開始洗牌二千萬次,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

」)

無錯。機會再生論,在同情地理解的情況下,就正正是這個意思:

如果你在現在,一次牌都未洗時,打算將會洗牌的次數越多,相對於現在的你而言,至少一次洗到原本排列 A 的機會率,就會越高。

例如,你會發現,如果在一次牌都未洗的時候問:

洗牌 10,000,000^{10} 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是非常接近一:

P(A_{10,000,000^{10}}) = 0.9999999...

.

(問:為什麼要「相對於現在的你而言」?)

.

因為,當你洗完一次牌,知道結果後,由於你掌握的資料已經不同,對應的機會率,亦會不同。

在洗了一次牌後,如果已知結果不是排列 A,餘下的洗牌次數中,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率,再不是

P(A_{10,000,000^{10}}) 了,

而是

P(A_{10,000,000^{10} - 1})

如果不清楚這一點,就會引起剛才的誤會:

(問:你的意思是,即使我洗了(例如)一千萬牌,仍然得不回原本的排列 A,只要我洗多一千萬次,得回 A 的機會,就會大一點?)

不是。

正正是為了避免這個誤會,…

所以,千萬不要說:

只要不斷洗牌,回到原本排列 A 的機會,就會越來越高。

那是__的!

.

機會再生論,在同情地理解的情況下,正確的意思是:

如果你在現在,一次牌都未洗時,打算將會洗牌的次數越多,相對於現在的你而言,至少有一次洗到原本排列 A 的機會率,就會越高。

.

當然,洗牌只是比喻。而這個比喻,想帶出的理論是,宇宙的任何狀態,都可以看成眾多粒子的不同組合排列。

任何一個組合排列 A,假設有極長的時間,去作極多次的變動,只要那「極多次」足夠多,相對於現在的你而言,那「極多次」之中,「至少有一次回到排列 A」 的機會率,會極度高。

而你的存在,則只是宇宙的其中一個狀態。

縱使人必有一死,如果在你終後,宇宙還有極長的時間,(相對於現在的你,或者另外指定不變的某一刻而言),你會再生重來的機會率,會極度接近,百分之一百。

.

「機遇再生論」在同情地理解下,可以有這個意思。

但是,「機遇再生論」在這個意思下,正不正確,則是另一個問題。

— Me@2018-03-20 02:26:35 PM

.

.

2018.03.20 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.7

同理,在一次牌都未洗的時候,問:

如果洗牌 m 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_m)= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m

留意,N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67},非常之大,導致 (1 - \frac{1}{N}) 極端接近 1。在一般情況,m 的數值還是正常時, P(A_m) 會仍然極端接近 0。

例如,你將會連續洗一千萬次牌(m = 10,000,000),起碼有一次,回到原本排列 A 的機會是:

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000}

你用一般手提計算機的話,它會給你 0。你用電腦的話,它會給你

1.239799930857148592 \times 10^{-61}

.

但是,你亦毋須完全悲觀,因為只要再留意,你亦會發現,只要 m 越大,P(A_m) 的數值,都會越大。

亦即是話,例如,

「(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 二千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率」

會大過

「(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 一千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率」。

.

那樣,如果有無限的時間,容許不停地洗牌,只要在一次牌都未洗的時候,問機會率 P(A_m) 時,把將會洗牌的次數 m 加大某個程度,P(A_m) 就有可能遠離零而接近一。

例如,如果設定次數 m 為一千萬的兩倍,你會發現

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000 \times 2}
\approx 2.479599861714297185 \times 10^{-61},

大過原本的數值 1.239799930857148592 \times 10^{-61};但是,那仍然是很小。

那樣,你就將 m 設為更大的數值,例如一千萬的一千萬倍(10,000,000 \times 10,000,000):

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000 \times 10,000,000}
\approx 1.2397999308571485923950342 \times 10^{-54}

雖然 P(A_m) 大了約一千萬倍之多,但是,結果的數值依然是很小。

但是,你也不用完全氣餒,因為,你可以不斷再試,越來越大的 m 數值。再例如,你可以試,一千萬的三次方、一千萬的四次方、一千萬的五次方等,如此類推。

m = 10,000,000^3, P(A_m) = 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000^3} \approx 1.2398 \times 10^{-47}

m = 10,000,000^4, P(A_m) \approx 1.2398 \times 10^{-40}

m = 10,000,000^8, P(A_m) \approx 1.2398 \times 10^{-12}

m = 10,000,000^9, P(A_m) \approx 0.000012398

m = 10,000,000^{10}, P(A_m) = 0.9999999...

.

你會發現,如果在一次牌都未洗的時候問:

洗牌 10,000,000^{10} 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是非常接近一:

P(A_{10,000,000^{10}}) = 0.9999999...

.

(問:你的意思是,即使我洗了(例如)一千萬牌,仍然得不回原本的排列 A,只要我洗多一千萬次,得回 A 的機會,就會大一點?)

.

不是。

正正是為了避免這個誤會,我在以上的論述中,不厭其煩地重複著

如果在一次牌都未洗的時候問…

你留意我剛才所講:

由於,機會率只是與未知的事情有關,或者說,已知的事件,發生的機會率必為 1;所以,如果發生了第一次洗牌,而你又知道其結果的情況下,問「如果再洗一次牌,『是 A』和『不是 A』的機會,分別是多少」,第二次洗牌各個可能結果,發生的機會率,與第一次洗牌的結果無關。

第二次洗牌結果為組合 A 的機會率,仍然是

P(A) = \frac{1}{N}

(N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67})

同理:

剛才我們運算過,(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 一千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是

P(A_{10,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-61}

如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現,然後問:

現在開始,再洗多一千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案仍然會是

P(A_{10,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-61}

但是,如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現時,問_另一個_問題的話,答案就會截然不同:

剛才,我洗了一千萬之牌,仍然回不到 A。

我決定,現在開始再洗牌,多不只一千萬次,而是二千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_{20,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-54}

— Me@2018-02-23 08:21:52 PM

.

.

2018.02.25 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.6

.

所以,「同情地理解」,亦可稱為「意念淘金術」。

機遇再生論,可以同情地理解為,有以下的意思:

(而這個意思,亦在「機遇再生論」的原文中,用作其理據。)

假設,你現在手中,有一副樸克牌,存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後,排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌,共有 N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67} 個,可能的排列。亦即是話,洗牌後仍然是排列 A 的機會率,只有 \frac{1}{N}

由於分母 N 太大(相當於 8 之後,還有 67 個位),洗牌後,理應變成另外一個排列 B 。

P(A) = \frac{1}{N}

P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}

洗了一次牌後,發覺排列是 B 不是 A 後,我們可以再問,如果再洗一次牌,「是 A」和「不是 A」的機會,分別是多少?

.

由於,機會率只是與未知的事情有關,或者說,已知的事件,發生的機會率必為 1;所以,如果發生了第一次洗牌,而你又知道其結果的情況下,問「如果再洗一次牌,『是 A』和『不是 A』的機會,分別是多少」,第二次洗牌各個可能結果,發生的機會率,與第一次洗牌的結果無關。

第二次洗牌結果為組合 A 的機會率,仍然是

P(A) = \frac{1}{N}

不是組合 A 的機會率,仍然是

P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}

.

(問:那樣,為什麼要問多一次呢?)

我是想釐清,我真正想問的是,並不是這個問題,而是另一個:

如果在第一次洗牌之前,亦即是話,一次牌都未洗的話,問:

「如果洗牌兩次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?」

把該事件標示為 A_2

A_2 = 兩次洗牌的結果,起碼一次洗到原本排列 A

再把該事件的機會率,標示為 P(A_2)

由於 P(A_2) 相對麻煩,我們可以先行運算其「互補事件」的機會率。

A_2 的互補事件為「不是 A_2」:

不是 A_2

= 兩次洗牌的結果,不是起碼一次洗到原本排列 A

= 兩次洗牌的結果,都不是排列 A

其機會率為

P(\text{not} A_2) = (1 - \frac{1}{N})^2

那樣,我們就可推斷,

P(A_2)
= 1 - P(\text{not} A_2)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^2

.

同理,在一次牌都未洗的時候,問:

如果洗牌 m 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_m)= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m

留意,N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67},非常之大,導致 (1 - \frac{1}{N}) 極端接近 1。在一般情況,m 的數值還是正常時, P(A_m) 會仍然極端接近 0。

例如,你將會連續洗一千萬次牌(m = 10,000,000),起碼有一次,回到原本排列 A 的機會是:

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000}

你用一般手提計算機的話,它會給你 0。你用電腦的話,它會給你

1.239799930857148592 \times 10^{-61}

— Me@2018-01-25 12:38:39 PM

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2018.02.13 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.5

例如,

甲在過身之後,一千億年內會重生。

是句「科學句」(經驗句),因為你知道在什麼情境下,可以否證到它 —— 如果你在甲過身後,等了一千億年,甲還未重生的話,那句就為之錯。

但是,

甲在過身之後,只要等足夠長的時間,必會重生。

則沒有任何科學意義,只是一句「重言句」;因為,沒有人可以講得出,它在什麼情況下,為之錯。

如果你等了一千億年,甲還未重生的話,這個「機遇再生論」,仍然不算錯;因為,那只代表了,那一千億年,還未「足夠長」。

把「重言句」假扮成「經驗句」,就為之「空廢命題」。

(請參閱本網誌,有關「重言句」、「經驗句」和「印證原則」的文章。)

但是,那不代表我們,應該立刻放棄,機遇再生論。反而,我們可以試行「同情地理解」。

「同情地理解」的意思是,有些理論,雖然在第一層次的分析之後,有明顯的漏洞,但是,我們可以試試,代入作者發表該理論時的,心理狀態和時空情境;研究作者發表該理論的,緣起和動機;從而看看,該理論不行的原因,會不會只是因為,作者的語文或思考不夠清晰,表達不佳而已?

其實,該理論的「真身」,可能充滿著新知洞見。那樣的話,我們就有機會把「機遇再生論」,翻譯成有意義,不空廢的版本。

所以,「同情地理解」亦可稱為「意念淘金術」。

機遇再生論,可以同情地理解為,有以下的意思:

(而這個意思,亦在「機遇再生論」的原文中,用作其理據。)

假設,你現在手中,有一副樸克牌,存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後,排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌,共有 N = 54! = 2.3 \times 10^{71} 個,可能的排列。亦即是話,洗牌後仍然是排列 A 的機會率,只有 \frac{1}{N}

由於分母 N 太大(相當於 2 之後,還有 71 個位),洗牌後,理應變成另外一個排列 B 。

P(A) = \frac{1}{N}

P(not A) = 1 - \frac{1}{N}

— Me@2017-12-18 02:51:11 PM
 
 
 
2017.12.18 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Determined by what?

If you say “an event is determined”, in order to be meaningful, you have to specify, explicitly or by context, that the event is determined by whom.

Similarly, if you say something is free, you have to specify “free from what” or “free with respect to what”. 

free ~ independent of

Without a grammatical object, the phrase “independent of” is meaningless, unless the context has implied what that grammatical object is.

— Me@2015-05-23

free [without an object] ~ free from everything

is meaningless, because the word “everything” is meaningful only if it has a context.

— Me@2017-07-20

2017.07.29 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

The meanings of ONE

鑽石棉花 2

One bag of apples, one apple, one slice of apple — which of these is one unit? Explore the basic unit of math (explained by a trip to the grocery store!) and discover the many meanings of one.

— Lesson by Christopher Danielson, animation by TED-Ed.

A unit ~ a definition of one

(cf. One is one … or is it? — TED-Ed)

— Me@2017-02-13 8:48 AM

One is not a number, in the following sense:

Primality of one

Most early Greeks did not even consider 1 to be a number, so they could not consider it to be a prime. By the Middle Ages and Renaissance many mathematicians included 1 as the first prime number. In the mid-18th century Christian Goldbach listed 1 as the first prime in his famous correspondence with Leonhard Euler; however, Euler himself did not consider 1 to be a prime number. In the 19th century many mathematicians still considered the number 1 to be a prime. For example, Derrick Norman Lehmer’s list of primes up to 10,006,721, reprinted as late as 1956, started with 1 as its first prime. Henri Lebesgue is said to be the last professional mathematician to call 1 prime. By the early 20th century, mathematicians began to arrive at the consensus that 1 is not a prime number, but rather forms its own special category as a “unit”.

A large body of mathematical work would still be valid when calling 1 a prime, but Euclid’s fundamental theorem of arithmetic (mentioned above) would not hold as stated. For example, the number 15 can be factored as 3 · 5 and 1 · 3 · 5; if 1 were admitted as a prime, these two presentations would be considered different factorizations of 15 into prime numbers, so the statement of that theorem would have to be modified. Similarly, the sieve of Eratosthenes would not work correctly if 1 were considered a prime: a modified version of the sieve that considers 1 as prime would eliminate all multiples of 1 (that is, all other numbers) and produce as output only the single number 1. Furthermore, the prime numbers have several properties that the number 1 lacks, such as the relationship of the number to its corresponding value of Euler’s totient function or the sum of divisors function.

— Wikipedia on Prime number

As long as something exists, it is possible to define one.

One as the basis for counting (number); one itself is not a number, in the sense that one is for existence, not for counting.

When counting, we have to know count with respect to what. That “what” is a “unit”, aka one.

That is why

x times 1 = x

— Me@2017-02-13 8:48 AM

2017.03.26 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 2.6

Can it be Otherwise? 2.6 | The Beginning of Time, 7.3

還有,「宇宙」這個詞語,其實分析下去,是不合法的,因為「宇宙」的意思,就是「所有事物」。

而「所有」這個詞語的意思,是相對的,因為「所有」,即是「百分之一百」。

在沒有一個基數時,講「百分之一百」,其實不會知道,是指多少數量。同理,在沒有上文下理時,講「所有」,其實不太知道,是指什麼意思。例如,「所有人」即是有「多少人」呢?

沒有明確的上文下理,「所有人」自然沒有明確的意思。

詳情請參閱,我以往有關「所有」的文章,例如:

相反,如果有明確的上文下理,就自然有明確的意思。例如,『三十元中的百分之一百』,就很明顯是指,那三十元。

又例如,『這間屋的所有人』,都有明確的意思,因為有明確的範圍;有範圍,就可點人數:

凡是在這間屋內遇到的人,包括你自己,你都記下名字,直到在這間屋,再不找到新的人為止。那樣,你就可以得到,有齊『這間屋所有人』的名單。

『所有』,就是『場所之有』。

沒有明確的場所,就不知所「有」何物。

— Me@2016-05-18 11:40:31 AM

2016.05.18 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 2.5

Can it be Otherwise? 2.5 | The Beginning of Time, 7.2

所以,討論任何問題,例如「某一件是否注定」時,即使有「推斷到時間起點」的企圖,也沒有可能做到,除非能夠把「量子力學」和「廣義相對論」合體。

我們至多只能追溯到,「普朗克時間」完結的那一刻,然後講一句:「再之前的,沒有資料」。

4. 即使可以追溯到「時間的起點」(第一因),所謂的「可以」,只是宏觀而言,決不會細節到可以推斷到,你有沒有自由,明天七時起牀。

(問:如果因果環環緊扣,即使細節不完全知道,至少理論上,我們可以知道,如果「第一因」本身有自由,那其他個別事件,就有可能有(來自「第一因」的)自由;如果連「第一因」也沒有自由,那其他個別事件,都一律沒有自由。

這裡「因果環環緊扣」的意思是,不會有「同因不同果」的情況;每一件事情,都被之前的原因所注定。)

那會引起一些,奇怪的句子。你不會知道,那些句子是,什麼意思。例如:

「第一因有自由。」

「第一因」根據定義,是沒有原因的。亦即是話,「時間的起點」,再沒有「之前」。而「有自由」,就即是「有其他可能性」。所以,「第一因有自由」的意思是,

「第一因還有其他的可能性。」

但是,既然「第一因」本身沒有原因,誰有那個自由呢?理論上,誰可以引發到,「第一因」的其他可能呢?

根本沒有誰,可以決定到「時間的起點」是怎樣的,因為,根本沒有誰,可以存在於,「時間起點」之前,因為,「時間的起點」,根本沒有「之前」。「時間起點之前」,就有如「北極點的北面」一樣,沒有意思。

考慮一件事有沒有自由,是要以該件事為「結果」,看看該件事的「原因」,然後,推論或驗證,有沒有可能,有「同因不同果」的情況。

但是,「於時間起點發生的第一件事」(第一因),本身沒有原因。那樣,你就不能以「第一因」這件事為「結果」,看看它的「原因」,然後,推論或驗證,有沒有可能,有「同因不同果」的情況。

所以,「第一因本身,有沒有自由」這問題,根本沒有意義。

(問:如果有「造物主」,祂不就是那個誰,可以從宇宙之初的不同可能性中,選擇一個去實現嗎?)  

那只是因為你,一時忘記了,「宇宙」這個詞語的意思是「所有東西」。所以,如果「造物主」存在,祂也是「宇宙」的一部分。

那樣,我們又要再討論,「造物主」有沒有自由。如果「造物主」就是「第一因」的話,根據剛才的解說,「造物主(第一因)本身,有沒有自由」這問題,根本沒有意義。

再者,即使你故意忽略「第一因有沒有自由」這問題,我亦可以質疑,

「因果是否真的『環環緊扣』,有沒有可能,有『同因不同果』的情況?」

那要再詳細研究,而剛才我們已經討論過了,請回顧。

— Me@2016-03-15 08:43:58 AM

2016.03.31 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 2.3

Can it be Otherwise? 2.3

如果沒有明確指出,那個『必然』,是相對於哪個『觀測準確度』(觀察者解像度)而言的話,問一件事是不是『必然』,是沒有意思的,因為,無論那一件事,是在過去還是未來,往往既可以解釋成『必然』,又可以解釋為『非必然』。

除此之外,剛才亦提到:

對於過去的事,例如,在剛才甲和乙『這次數學考試我不合格,是不是必然』的討論中,當一方說那件事是『必然』時,另一方可以立刻,走深一個層次, 到達下一個『觀測解像度』,把同一件事,說成是『偶然』的;然後,原方又可以再走到,再下一個層次,把那事說成是『必然』的;如此類推。

對於未來之事,都有類似的情形,例如:

甲:明早我可以選擇七時起床,亦可以選擇不七時起床。那就證明,我有自由。

乙:不一定。你沒有那樣的自由。例如,如果你之前一晚,深夜兩時才睡,你可以肯定,你想七時起床也起不來。

甲:我可以選擇,之前一晚早一點睡。所以,我還是有自由。

乙:未必。假設你有要事,例如,明早有畢業論文要交,但尚未完成;那樣,你也沒有自由,去選擇早一點睡。

甲:但是,在再早一點之前,我可以選擇,早一點開始寫論文,早一點完成。那就可以避免,趕工夜睡的情況。

然後,乙又可以指出,甲並不是想早一點開始寫論文,就一定可以早一點,因為,甲會受到其他事務的牽制;如此類推。

這是一個沒有意義的討論,因為沒有止境,不會有結論。

每當甲指出,做某一件事(事件一)有自由、有選擇時,乙總可以質疑,那件事會,受制於之前的事件,例如事件二。然後,甲再指出,之前的事(事件二)本身,其實甲有某程度上的自由,所以,間接來說,甲對事件一,都有選擇。但是,乙又可以再質疑,事件二都會,受再之前的事件(事件三)的影響,其實事件二,也不算是自由的。

因為沒有指定,追溯到哪一件事,或者哪一刻為止,所以討論會沒完沒了。

— Me@2016-01-06 03:17:54 PM

2016.01.06 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 2.2

Can it be Otherwise? 2.2

如果沒有明確指出,那個『必然』,是相對於哪個『觀測準確度』(觀察者解像度)而言的話,問一件事是不是『必然』,是沒有意思的,因為,無論那一件事,是在過去還是未來,往往既可以解釋成『必然』,又可以解釋為『非必然』。

對於未來之事,究竟注定與否,並不會指引到你,如何做決定。

例如,試想想,你下一次數學考試,成績是否注定,會怎樣影響你,現在的行動呢?

甲:如果並未注定,我就仍然有機會,透過努力來提升成績。那樣,我自然會選擇去溫習。如果已經注定,我溫不溫習,根本不會影響到成績。那樣,我自然會乾脆不溫習,節省時間。

乙:不可以是,注定你會溫習,從而成績大進嗎?

甲:都可以。但是,我不想溫習。

乙:那就即是話,你溫不溫習,是你的決定;跟成績是否注定,沒有關係。

「成績注定」和「主動溫習」,根本沒有矛盾。

如果你決定溫習,你可以說,那是因為你有自由,選擇溫習。亦可以說,那是因為命中注定,你會選擇溫習。

如果你決定不溫習,你可以說,那是因為成績如何,是命中注定的,溫習來也沒有影響。亦可以話,那是因為成績如何,不是必然的;即使我不溫習,也不代表成績一定差。

一方面,無論你的決定是哪一個,你總可以把,你決定的原因,講成「因為我覺得事情是注定的」;亦可以把,你決定的原因,說成「因為我覺得,我還有自由度,改進到事情的結果」,或者「因為我覺得,事情的結果,不是必然的」。

另一方面,如果從外評論你的決定,總可以把你說成有自由,亦可以把你說成沒有自由。

如果你覺得,一切皆為注定,我可以說,因為那是事實,所以你注定有這個想法;亦可以話,你有自由意志,去相信「一切皆為注定」。

如果你覺得,你有自由意志,我可以說,因為那是事實,所以你自然有這個想法;亦可以話,你的命中注定,會相信「我有自由意志」。

— Me@2015-12-29 03:12:39 PM

2015.12.29 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 2.1.2

Can it be Otherwise? 2.1.2 | The problem of induction 2.2

甲總可以找到,事件「這次數學考試我不合格」的獨特之處。(至起碼,另一事件和原本事件,發生的時空不同。)

而乙則指出,一方面,正正是因為「總可以找到原本事件的獨特之處」,根本沒有和原本事件,「絕對相同」的另一件事件,可以給你判別,原本事件是否注定;至多只能與,「盡量相似」的事件比較,看看有沒有可能,有不同的結果。

另一方面,正正是因為,你「至多只能與,『盡量相似』的事件比較」:

1. 當你的「相似事件」和「原本事件」的結果相同時,你只可以知道「原本事件」,可能是注定;你並不可以肯定「原本事件」,一定是注定,因為,你並不能保證,下一件「相似事件」的結果,會不會仍然和「原本事件」相同。

你最多只能說,在尚未找到反例前,越多「相似事件」和「原本事件」的結果相同,就代表「原本事件是注定」這個猜想,越可信。

這個過程,學名叫做「印證」。「印證」不是「論證」,只能用來加強「猜想」的可信性;而可信性,並不會百分之一百(,除非那句「猜想」,根本是「重言句」)。

2. 當你的「相似事件」和「原本事件」的結果不同時,你亦不可以肯定「原本事件」,一定是偶然,因為,結果不同,可能只是由於「相似事件」和「原本事件」,不夠相似而已。

你並不能保證,在下一個層次,解像度再高一點時,「更相似事件」和「原本事件」的結果,會不會「必為相同」。

對於一件過去之事,總括而言,你並沒有方法,證明它是必然;亦沒有方法,證明它為偶然(,如果沒有相對於,一個指定「觀測解像度」來說的話)。

— Me@2015-11-17 02:02:03 PM
 

2015.11.26 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 2.1.1

Can it be Otherwise? 2.1.1 | The problem of induction 2.1

如果沒有明確指出,那個「必然」,是相對於哪個「觀測準確度」(觀察者解像度)而言的話,問一件事是不是「必然」,是沒有意思的,因為,無論那一件事,是在過去還是未來,往往既可以解釋成「必然」,又可以解釋為「非必然」。

對於過去的事,例如,在剛才甲和乙「這次數學考試我不合格,是不是必然」的討論中,當一方說那件事是「必然」時,另一方可以立刻,走深一個層次, 到達下一個「觀測解像度」,把同一件事,說成是「偶然」的;然後,原方又可以再走到,再下一個層次,把那事說成是「必然」的;如此類推。

(層次一的事件描述:)

當甲覺得「這次數學考試我不合格」,可能是「必然」時,

(層次一的反證:)

乙可以指出,其他同學中,有人於該次考試中合格,證明了「這次數學考試不合格」,並非必然。

(層次二 —— 準確一點的事件描述:)

然後,甲又可以質疑,那只是簡化了事件描述,所做成的錯誤結論;他所指的事件,是「這次數學考試我不合格」,而不是「這次數學考試不合格」。

(層次二 —— 詳細一點的反證:)

接著,乙再可以指出,甲在數學科的其他考試中,試過合格。所以,「甲數學考試不合格」,並非注定。

(層次三:)

但是,甲又可以質疑,那亦是簡化了事件描述,所做成的錯誤結論;他所指的事件,是「這次數學考試我不合格」,而不是「數學考試我不合格」。

然後,乙再可以指出,甲可以將那份試卷,再做一次;如果合格,那就可以證明,「這次數學考試甲不合格」,並非必然。

(層次四:)

接著,甲又可以質疑,那都是簡化了事件描述,所做成的錯誤結論;他所指的事件,是「這次數學考試我不合格」,而不是「這份數學考試卷我不合格」。再做一次同一份考試卷,根本不應視作為,同一次考試。

甲總可以找到,事件「這次數學考試我不合格」的獨特之處。(至起碼,另一事件和原本事件,發生的時空不同。)

而乙則指出,一方面,正正是因為「總可以找到原本事件的獨特之處」,根本沒有和原本事件,「絕對相同」的另一件事件,可以給你判別,原本事件是否注定;至多只能與,「盡量相似」的事件比較,看看有沒有可能,有不同的結果。

— Me@2015-11-17 02:02:03 PM
 

2015.11.18 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 1.11

Can it be Otherwise? 1.11

換句話說,某一件事件是否「必然」,不會是絕對的;而是相對於某個「觀測準確度」而言。例如:

甲:這次數學考試我不合格。那是不是必然的呢?

乙:你可以反問:「如果遇到相同的情境,可不可以有不同的結果?」

那樣,你就可以知道,答案是「非必然」,因為,參加這次考試的同學中,有很多也是合格的。

甲:那不算是「相同的情境」。我問的是「我不合格,是不是必然?」

我和其他人不同,所以,即使是面對同一份試題,也不算是「相同的情境」。不同的人有不同的基因,繼而有不同的天資。

乙:那怎樣才算「相同情境」?

甲:應該討論「同一個人」。

乙:那樣,你數學考試不合格,答案都是「不注定」,因為,你在眾多數學考試中,有很多時也是合格的。

甲:那不算是「相同的情境」。我問的是「這次數學考試」。不同的試卷,有不同的難度。

乙:那樣,你試一試再次考同一份試卷。如果合格,那就可以證明,你的數學考試不合格,是偶然,並非必然。

甲:那不算是「相同的情境」。我問的是「這次數學考試」。

相同的試卷,第二次做的時候,已有額外的記憶;例如,已知會出哪幾道題目。那又怎算是「相同的情境」呢?

乙:那怎樣才算是「相同的情境」呢?

依你的講法,你要是「同一個人,同一份試卷,同一次」,才算是「相同的情境」。那樣,你原本的問題「那次數學考試,是否注定不合格」,就會變成了一條「廢問題」。

剛才已經講過,問一件事件是否注定,就相當於問:

下次如果遇到相同的情境,可不可以有不同的結果?

但是,你卻在問了之後,認為那是「下次」,不是「那一次」,所以不算是「相同的情境」。

那樣的話,唯一同「那一次」相同的情境,就真的只有「那一次」。「那次數學考試,是否注定不合格」的唯一可能答案,就是「是」,因為,「那一次」已經發生了。

過去的事不能改變,所以是必然的。

— Me@2015-10-29 03:10:19 PM

Q: Can it be otherwise?

A: What is “it”?

— Me@2015-10-29 03:10:14 PM

2015.11.03 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 1.10

Can it be Otherwise? 1.10

我們先回顧一下,今天的討論。首先,我們提到:

當一個人問一件事是不是注定時,意思往往是問:

下次如果遇到類似的情境,可不可以有不同的結果?

(問:如果只是「類似」,當然可以有不同結果。你應該直接問:

下次如果遇到相同的情境,可不可以有不同的結果?

』)

我不能話你這個講法錯。但是,如果你真是這樣問,我大概只可以答「不可以」,因為,如果真的是「百份百相同」的情境,又怎可能有不同的結果呢?

(問:不是呀。在量子力學中,即使有兩組百分百一樣的物理系統,即使它們獲得完全相同的輸入,都可能有不同的輸出。)

你大概正確。但是,你要留意,量子力學中的『百分百一樣』物理系統,未必是你心目中的『百分百一樣』。

然後,我用了四個要點,解釋了為什麼,量子力學中的「百分百一樣」物理系統,未必是你心目中的「百分百一樣」。

綜合以上解釋,你會知道,兩個物件,或者兩個物理系統的「相同」,不會是絕對的;而是相對於某個準確度,或者相對個別性質而言。

「相同」的意思,並不是指「沒有可能找到任何分別」。

「相同」的意思是「分別小到不易察覺」。

而「類似」,則是指「分別不大」。

在這個背景之下,在討論「注定問題」時,

下次如果遇到類似的情境,可不可以有不同的結果?

下次如果遇到相同的情境,可不可以有不同的結果?

」,

其實意思一樣。

當你問前者時,我可以追問:「情境有多類似?類似到什麼程度?」

當你問後者時,我亦可以反問:「那個『相同』,是相對於哪個『觀測準確度』而言?」

既然在這個上文下理中,意思一樣,方便起見,我把這兩個講法,統一為後者:

下次如果遇到相同的情境,可不可以有不同的結果?

只要答到這個問題,你就會知道,某一件事件是否「注定」,或者「必然」。

但是,這個問題的答案,取決於「相同」的意思;而兩個情境「是否相同」,又取決於「相對於哪個『觀測準確度』而言」。

換句話說,某一件事件是否「必然」,不會是絕對的;而是相對於某個「觀測準確度」而言。

— Me@2015-10-29 10:12:16 PM

2015.10.29 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 1.9

Can it be Otherwise? 1.9

換而言之,兩樣東西,不會「絕對相同」。

(這裡的「東西」,是指宏觀的物理系統。至於兩粒微觀粒子,則有可能「全同」。但那是另一個話題,容後再談。)

第四,即使假設了,有一個情況是,你有一件超特級的量度儀器,可以準確到小數後無限個位;而用它來量度兩樣東西(甲和乙)時,發現它們竟然,真的完全百分百,在任何方面也「絕對相同」,邏輯問題仍然存在,因為,它們至少,會佔有不同的空間,即是處於不同的位置。

(問:那如果連位置都相同呢?)

那甲和乙就再不是「兩」件東西,而根本是同一件東西。只不過,那一件東西,有兩個名字或者身份而已。

叫得做「兩」個物理系統,就總有不同之地方。

— Me@2015-10-07 02:52:21 PM

2015.10.07 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 1.8

Can it be Otherwise? 1.8

凡是量度,都只會得到近似值,所以,只能討論「近似同一性」(量度準確度)。亦即是話,當我們說,那兩支筆的長度「相同」時,是指它們的長度,相近到以當時的肉眼和儀器,暫時感受不到分別而已。

(問:那如果是數數目(使用整體)的情況呢?

例如:你有 10 隻手指,我又有 10 隻手指。那樣,這兩個 10,不就是「絕對相同」嗎?)

應該是「確切相同」,而不是「絕對相同」。在這裡,「確切」的意思是,不再只是近似。

那兩個數字,不再只是「相似」(近似相同),而根本是同一個數字。

凡是量度,都只會得到近似值,所以,只能討論「近似同一性」(量度準確度)。凡是數數,則有可能得到確切值,所以,可以討論「確切同一性」(數數準確度)。

(問:那為什麼不可以說「絕對相同」?)

幾乎可以,但未臻完善。

如果只是討論那兩個整數,兩者的確是「絕對相同」。

但是,根據現在的上文下理,我們要考慮的,不只那兩個整數。我們還要考慮的是,「兩個物件,或者兩個物理系統,有沒有可能完全相同?」

在量子力學中,即使有兩組百分百一樣的物理系統,即使它們獲得完全相同的輸入,都可能有不同的輸出。

下次如果遇到相同的情境,可不可以有不同的結果?

換句話說,正式要比較的,不只是(例如)兩個人的手指數目,而是那兩個人。

在這個情況下,相對於手指數目而言,他們就絕對相同。但是,相對於整體而言,他們就沒有可能,在所有方面,都百分百相同。例如,他們的左手食指長度,只可能近似相同,不可能確切相同。

由於二人只可能「相對於某些方面」而言,絕對相同。這個「絕對」,並不是真的那麼「絕對」。那樣,用字就應嚴格一點。

「絕對」,應該用作「相對」的相反。而「近似」的相反,則應該用「確切」。

兩件物件,或者兩個物理系統,不可能在所有方面,都確切相同、完全一樣,因為,比較兩者時,總會有些量度(例如左手食指長度)的成份。

凡是量度,都只會得到近似值,所以,只能討論『近似同一性』(量度準確度)。

換而言之,兩樣東西,不會「絕對相同」。

(這裡的「東西」,是指宏觀的物理系統。至於兩粒微觀粒子,則有可能「全同」。但那是另一個話題,不宜在這裡詳述。)

— Me@2015-10-04 07:32:32 AM

2015.10.04 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 1.7

Can it be Otherwise? 1.7

第三,純粹邏輯(語理分析)的問題:

兩件東西「一樣」,並不是絕對的概念,而只是相對於某個準確度之下而言。例如:

3.1415926

3.1415927

是否相同,要視乎準確度,達至小數後多少個位。如果四捨五入到,小數後第七個位,它們不同;如果四捨五入到,小數後第六個位,它們就相同。

(問:如果 3.1 和 3.1 呢?它們不是完全(絕對)相同嗎?)

理論上是,實際上未必。

如果你把它們視為兩個數字,而沒有任何現實中的上文下理,它們就很明顯是同一個數字。但是,有實際因素考慮,真的要應用那兩個數字的話,它們就可能「不同」。

(問:怎樣為之「有實際因素考慮,真的要應用」?)

即是,再不是「純數字」,而是「有單位的數字」。例如:你用一把間尺,量度兩支鉛筆的長度,而它們的長度分別是

3.1 厘米 和

3.1 厘米。

那樣,它們是否相同呢?

是否相同,要視乎準確度,達至小數後多少個位。如果四捨五入到,小數後第一個位,它們就相同。

那樣,它們是否「絕對相同」呢?

不知道。幾乎無可能。

要絕對相同,兩段長度,就要準確至小數後無限個位也相同。那可說是沒有可能,因為,間尺的刻度間隔,一定是有限大(有限細),而不是無限細。

在這個例子中,莫講話「準確至小數後無限個位」,即使只是問「準確至小數後第二個位,兩段長度相不相同」,其實也不知道。現實中,沒有量度儀器,可以準確到,小數後無限個位。

凡是量度,都只會得到近似值,所以,只能討論「近似同一性」(量度準確度)。亦即是話,當我們說,那兩支筆的長度「相同」時,是指它們的長度,相近到以當時的肉眼和儀器,暫時感受不到分別而已。

(問:那如果是數數目(使用整體)的情況呢?

例如:你有 10 隻手指,我又有 10 隻手指。

那樣,這兩個 10,不就是「絕對相同」嗎?)

— Me@2015-09-30 04:26:45 AM

2015.09.30 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 1.6

Can it be Otherwise? 1.6

… 因為,如果真的是「百份百相同」的情境,又怎可能有不同的結果呢?

如果有可能有不同結果,那樣,引起另一結果的因素,總會與引起原本結果的因素,至少有一點不同。

(問:不是呀。在量子力學中,即使有兩組百分百一樣的物理系統,即使它們獲得完全相同的輸入,都可能有不同的輸出。)

你大概正確。但是,你要留意,量子力學中的「百分百一樣」物理系統,未必是你心目中的「百分百一樣」。

第一,量子力學(或其他任何科學)中的數學公式,只是數學模型,簡稱「理論」。模型的意思是,現實的近似,而不是現實的全部細節。

例如,地圖是實地的大概。試想想,一幅地圖比實地小那麼多,又怎可能包含了實地的所有細節呢?

量子力學中的『百分百一樣』物理系統,未必是你心目中的『百分百一樣』」的第一個理由是,量子力學的運算起點公式組,只是現實的近似。在量子力學理論中,所謂「相同」的物理系統,並不一定在現實中,真的「相同」。

第二,承接上點,量子力學理論中,最明顯與現實不同的,是它雙重標準。

在某個實驗裝置中,量子力學會用量子方程式,去預測(例如)某一粒粒子的速度和位置變化。但是,該粒子周圍的事物,即使那些事物,明顯地仍然算是,該個實驗裝置的一部分,都一概統稱為「儀器」和「環境」。它們會被敷衍了事 —— 要麼用「經典力學」處理,要麼乾脆不處理。

總而言之,它們不會被量子方程式去處理。量子力學(的推理和運算過程)會刻意忽略,「儀器」和「環境」怎樣影響,主角粒子的運動變化。

方便起見,以下本文把「儀器」和「環境」,統稱為「非核心部分」,或者「延伸裝置」,簡稱為「周邊」。

地圖不是百分百準確,並不是地圖的缺點。相反,那是地圖的優點,因為,正正由於地圖只是實地的大概,它比實地小很多,可以指出重點,引導你到達目的地。

一方面,原本你以為「相同」的兩個物理系統,其實,只是在同時也忽略了兩者「周邊」的情況下,才會相對地相同。

如果,你不只關心,兩者「周邊」的宏觀外貌,還同時考慮,兩者「周邊」的微觀粒子排列的話,它們就不會再被視為,「完全相同」的物理系統了。

在量子力學中,即使有兩組百分百一樣的物理系統,即使它們獲得完全相同的輸入,都可能有不同的輸出。

另一方面,如果你不計成本,肯把實驗的「量度儀器」和「環境」,之中的每粒粒子,都一併用量子方程式去處理的話,很有可能地,你就可以杜絕了,量子力學中,「一因多果」的情況。

換句話說,所有資料也考慮的話,就再不會有「同因不同果」的現象。但是,那個時候,量子力學,就會失去了它原本的功用了。

當地圖的比例是一比一,與實地一樣大時,你就不能使用它了。以實地為地圖,即是沒有地圖。

— Me@2015-09-25 10:40:58 AM

2015.09.25 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Quantum Indeterminacy

注定外外傳 1

Quantum indeterminacy is the apparent necessary incompleteness in the description of a physical system, that has become one of the characteristics of the standard description of quantum physics.

Indeterminacy in measurement was not an innovation of quantum mechanics, since it had been established early on by experimentalists that errors in measurement may lead to indeterminate outcomes. However, by the later half of the eighteenth century, measurement errors were well understood and it was known that they could either be reduced by better equipment or accounted for by statistical error models. In quantum mechanics, however, indeterminacy is of a much more fundamental nature, having nothing to do with errors or disturbance.

— Wikipedia on Quantum indeterminacy

Quantum indeterminacy is the inability to predict the behaviour of the system with 100% accuracy, even in principle.

If everything is connected

, quantum indeterminacy is due to the logical fact that, by definition, a “part” cannot contain (all the information of) the “whole”.

An observer (A) cannot separate itself from the system (B) that it wants to observe, because an observation is an interaction between the observer and the observed

.  

In order to get a perfect prediction of a measurement result, observer (A) must have all the information of the present state of the whole system (A+B). However, there are two logical difficulties.

First, observer A cannot have all the information about (A+B).

Second, observer A cannot observe itself to get (all of) its present state information, since an observation is an interaction between two entities. Logically, it is impossible for something to interact with itself directly. Just as logically, it is impossible for your right hand to hold your right hand itself. 

So the information observer A can get (to the greatest extent) is all the information about B, which is only part of the system (A+B) it (A) needs to know in order to get a prefect prediction for the evolution of the system B.

— Me@2015-09-14 08:12:32 PM

2015.09.15 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 1.4

乙:沒有問題。我可以把地圖畫得又再大一點,以包括又再多細節。

甲:不行。那還不夠準確。

乙:你想多準確?

甲:完全、百分百、鉅細無遺、分毫不差。

乙:那唯有造一張「一比一的地圖」。

甲:什麼是「一比一的地圖」?

乙:即是與實地一樣大小的地圖。

換句話說,即是以實地為地圖。那樣,地圖就會失去了它原本的意義。

甲:什麼是「意義」?

乙:用途就是意義。

地圖本來的用途,是把實地的重點表達出來,從而帶領你,找到要去的地方。

當地圖的比例是一比一,與實地一樣大時,你就不能使用它了。以實地為地圖,即是沒有地圖。

地圖不是百分百準確,並不是地圖的缺點。相反,那是地圖的優點,因為,正正由於地圖只是實地的大概,它比實地小很多,可以指出重點,引導你到達目的地。

同理,科學理論中的數學模型,並不是現實的全部。理論不會包括實際的所有細節,並不是理論的缺點。相反,那是理論的優點,因為,正正由於理論(運算)只是實際的大概,它可以用比實驗(觀察)小很多的成本,事先推斷實驗結果的重點,從而令你知道,那些實驗毋須執行。

當理論百分百準確,包含了實際的所有細節時,你就不能使用它了,因為,那就相當於,直接觀察實際。所謂「實際」,即是自然現象,或者人工實驗。

以現實的數據為理論,即是沒有理論。

至於,什麼時候應該用理論和運算,什麼時候應該用實驗和觀察,並沒有一定的答案。那要視乎哪方可以用較低的成本,得到你需要知道的數據。

(問:你不是說理論的成本較低嗎?)

還要考慮上文下理。

一般而言,透過閱讀地圖的指引,走去目的地,會快過在從未看過地圖的情況下,就走進實地之中,直接尋找目的地。但是,那是假設了,那時你的手中已有地圖。

如果你手中未有地圖,在比較「地圖」和「實地」的成本時,一方面,你要考慮製作地圖、尋找地圖 和 購買地圖 等,所需的時間和金錢等資源;另一方面,你亦要考慮,在實地之中,環境複不複雜、自己熟不熟路、問路方不方便 等。

同理,在盤算「理論」和「實驗」的成本時,一方面,你要考慮,理論是否已有;已有的話,自己熟不熟悉;不熟的話,有沒有專家可問,自學的成本有多高;熟悉的話,運算複不複雜;複雜的話,可不可以用電腦程式代勞,等等。

另一方面,你亦要考慮,實驗那邊的對應問題,例如:

該實驗有沒有標準的工序流程,還是要自己設計?

該實驗所需的工具和儀器,是否現成,還是要自己建造?

現成的話,昂不昂貴?

買來之後,自己懂不懂操作?

幾乎所有情況下,在同一個科學求知的任務中,理論(運算)和實驗(觀察),兩者也是必須的;只是,在不同的任務,兩者的比重不同而已。

— Me@2015-09-07 08:59:31 PM

2015.09.08 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK