Multinomial coefficient 3

二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事:

利用 multinomial coefficient(分組公式)時,有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,各自有 5 人,那總共有多少個可能?

答案表面上是 10_C_5,即是「10 選 5」,因為,你要考慮由那 10 人之中,選 5 人出來組成第一組樂隊,有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是,實際上,正確的運算方法,應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是,題目只要求把那 10 人分成,兩組人數相同的樂隊,而題目並沒有要求區分,哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如,

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『ACEGI』5 人出來,先組成一隊

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『BDFHJ』5 人出來,先組成一隊

」,

在這一題上文下理的要求下,應該歸納為同一個「case」(事件可能性),因為,兩者的結果都同樣是:

『ACEGI』為之一隊,而『BDFHJ』則為之另一隊。

如果題目改為:

如果有 10 個人,要抽 5 人出來,組成一隊音樂組合,那總共有多少個可能?

答案則是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,第一組有 5 人,而第二組又有 5 人,那總共有多少個可能?

答案都是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話,試一試這題:

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人,而第二輛的載客量是 5 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5,還是 10_C_5 呢?

— Me@2013.07.19

2013.07.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.6

二項式係數 4.6 | Binomial coefficient 4.6

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率,或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

首先,總共有 10 個坐位,第一輛車有 4 個,而第二輛車有 6 個:

(_)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第一個人去第一輛車時,有 10 個可能的人:

(10)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第一輛車時,有 9 個可能性:

(10)(9)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 4 人也是乘坐第一輛車,題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共有 24 個。所以,分母應該要有一個 24 的因子:

24 = 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

然後,我們考慮第二輛車。因為餘下的有 6 個人,抽第一個人去第二輛車時,就有 6 個可能的人:

(10)(9)(8)(7)|(6)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第二輛車時,有 5 人可能性:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 6 人也是去乘坐第二輛車。題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共就有 720 個。所以,分母還有一個, 720 的因子:

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
———————————————————
 (4)(3)(2)(1)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)

= 210

在連 factorial(階乘)都不懂的情況下,你就需要用到這個詳細的做法。如果你懂 factorial,即使假設還未學會 n_C_r,你仍然可以用一個,精簡一點的做法:

首先,有 10 個人 10 個位,所以總共有(10!)個排法:

(10!)
——–
(_)(_)

但是,第一輛車的那 4 人,內在次序不重要,所以,你要把那(4!)個排法「歸一」:

(10!)
——–
(4!)(_)

同理,第二輛車的那 6 人,內在次序亦不重要,所以分母再有一個(6!)的因子:

(10!)
——–
(4!)(6!)

= 210

— Me@2013.07.15

2013.07.15 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.5

二項式係數 4.5 | Binomial coefficient 4.5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

言歸正傳,剛才我講過:

記住,是否視之為「一個」可能性,並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如,在這一題中,題目問的是「分法」,而不是「抽法」,或者「坐法」。

所以,答案明顯是 10_C_4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

而我亦提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」—— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 4 個人 和 第二組有 6 個人。因為是「分組」,即是「分成組合」,所以每組內部的次序並不重要。

但是,你剛才又追問:

但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?

那樣,我就會答:

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

— Me@2013.07.12

2013.07.12 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.4

二項式係數 4.4 | Binomial coefficient 4.4

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

換而言之,從 10 人中抽 4 人出來,組成第一隊樂隊,總共有多少個抽法呢?

在這個情況下,次序很明顯不重要。試想想,假設你從那 10 人中,抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」,還是「ACBE」,他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合,你都會視之為「同一隊」樂隊。

但是,如果問題改為:

從 10 人中抽 4 人出來,去參加一個音樂比賽,而沒有其他參賽者的話,總共有多少個可能的比賽排名結果呢?

那樣,被抽了出來的那 4 個人中,不同的人拿冠軍,為之不同的排名,不同的結果。所以,次序需要考慮。運算方面,詳細的版本是:

首先,考慮有「冠、亞、季、殿」軍 4 個空格:

(_)(_)(_)(_)

因為冠軍寶座有 10 個可能的奪得者,所以,第一格是 10:

(10)(_)(_)(_)

其中 1 人奪得冠軍後,亞軍還有 9 個可能的領獎人士:

(10)(9)(_)(_)

如此類推的話,我們就可以推斷到,總共有 5040 個可能的比賽結果:

(10)(9)(8)(7)

= 5040

精簡的版本則是:

題目明確地問,有多少個可能的比賽排名。所以,題目所問的,就相當於:

從 10 人中抽 4 人出來,而次序重要的話,總共有多少個抽法呢?

那是 permutation(排列)。答案明顯是 10_P_4,即是「10 排 4」,等於 5040。

10_P_4 =

10!
——-
(10-4)!

結論是,總共有 5040 個可能的比賽排名。

— Me@2013.07.08

2013.07.08 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.3

二項式係數 4.3 | Binomial coefficient 4.3

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

(CYW:用你這個講法,我好像明白多了一點。但是,如果沿用我剛才的問法,我又確實感覺到,應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心,可以在考試時準確分辨,哪些時候需要考慮「次序」,哪些時候不需要。)

那就代表了,你仍然不太明白我的解答。或者,你先搞清楚,combination(組合)和 permutation(排列)的分別。

運算方面,毋須考慮次序的,就為之「組合」,公式是「nCr」;必須考慮次序的,就為之「排列」,公式是「nPr」。

而真正困難的,是在運算之前,要準確分辨,需要考慮次序,還是不需要。你只要利用正常的智力,一般的常識,再加上「組合」和「排列」這兩個詞語的輔助,就可以清晰劃分。

意思是,凡是題目明示或者暗示,尋找「組合」數目的,就毋須考慮,各個組合內部的次序,因為那是「組合」這個詞語的意思。例如,假設那 10 人是「ABCDE FGHIJ」,要分成兩隊「音樂組合」,簡稱「樂隊」。如果第一隊有 4 人,第二隊有 6 人,總共有多少個分配隊員方法?

換而言之,從 10 人中抽 4 人出來,組成第一隊樂隊,總共有多少個抽法呢?

在這個情況下,次序很明顯不重要。試想想,假設你從那 10 人中,抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」,還是「ACBE」,他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合,你都會視為「同一隊」樂隊。

— Me@2013.07.04

2013.07.04 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.2

二項式係數 4.2 | Binomial coefficient 4.2

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

答案明顯是 10C4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

結論同樣是,如果第一輛車載 4 名乘客,而第二輛車載 6 名,總共就有 210 個,可能的分配乘客方法。

(CYW:但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?)

因為題目並沒有問這一點;那並不是題目所問的問題。那是答非所問也。如果我把你的問題轉一轉化,那就會清晰一些:

但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來後,例如「甲、乙、兩、丁」四人,他們去乘坐第一輛車時,將會有很多種編配座位的方法。所以,我覺得「甲、乙、兩、丁」並不應視為「一個」可能性。

記住,是否視之為「一個」可能性,並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如,在這一題中,題目問的是「分法」,而不是「抽法」,或者「坐法」。

題目重視的是,10 人之中,分配 4 人去乘第一輛車,有多少個方法。題目並不介意,某 4 人被抽出來時的先後次序,或者在上第一輛車時,有多少個選位方法。

(CYW:用你這個講法,我好像明白多了一點。但是,如果沿用我剛才的問法,我又確實感覺到,應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心,可以在考試時準確分辨,哪些時候需要考慮「次序」,哪些時候不需要。)

— Me@2013.07.01

2013.07.02 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.1

二項式係數 4.1 | Binomial coefficient 4.1

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

你只要用二項式係數(binomial coefficient),就可以立刻知道答案。題目所問的,就相當於

如果要從那 10 人之中,抽 4 個出來(去乘坐第一輛車),總共有多少種抽法?

答案明顯是 10_C_4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

另一個看法是,你直接把這題看成「分組問題」,用「多項式係數」(multinomial coefficient)去運算。

總共有 10 個人,所以分子是 (10!):

(10!)
——–
(__)

總共有兩組,所以分母有兩個因子:

(10!)
——–
(_)(_)

第一組有 4 個人,所以第一個因子是 (4!):

(10!)
——–
(4!)(_)

第二組有 6 個人,所以第二個因子是 (6!):

(10!)
——–
(4!)(6!)

結論同樣是,如果第一輛車載 4 名乘客,而第二輛車載 6 名,總共就有 210 個,可能的分配乘客方法。

(CYW:但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?)

— Me@2013.06.29

2013.06.29 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

「微積分」其實只是一個「高級一點的乘數表」。 

「微積分」沒有什麼好怕;只要你把「微積分公式表」當成「乘數表」般詳加背誦,在日常應用時,就不會有什麼大困難。

— Me@2013.05.16

2013.05.16 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.6

無限年 3.6

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

(安:但是, (\delta) 是什麼呢?

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話,你對「無限小」的定義,尚未完成?)

無錯。我還需要講清楚,\delta 究竟是什麼。

不過,每一題極限(limit)題目的 \delta 都會不同。\delta 並沒有通用的定義,而是要經過一點運算才知道。例如,以這一題極限題目而言,\delta 剛好等於 (\epsilon)。

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

意思是,如果你要求數式 和 6 的距離,小於 (\epsilon),無論 \epsilon 有多麼小,你都一定可以達成,只要你設定 x 和 3 的偏差,小於 (\epsilon)。例如,如果你要求數式和 6 的距離,小於 0.001(\epsilon),只要你設定 x 和 3 的偏差小於 0.001(\delta = \epsilon),就可以達成。

(安:還有,你說那些後期數學家,就是用了這一套避開了「無限小」這個詞彙的語言,來描述牛頓和萊布尼茲,在「微積分初版」中,原本想帶出的意念。

你是否暗示了,其實「微積分初版」中的結果是正確的,雖然運算步驟含糊其詞?)

可以那樣說。「微積分初版」的運算結果大致正確;對於日常用家而言,可信可用。現在中學的「微積分」課程,也是「微積分初版」。

(安:那為什麼還要嚴格定義「無限小」?那是否庸人自擾?)

因為「微積分初版」的運算結果,只是「大致正確」,並非「完全正確」。在高深一點的理論或應用中,「微積分初版」會完全瓦解。

還有,「『微積分初版』的運算結果大致正確」,是事後孔明。「微積分初版」並不知道自己,原來「大致正確」。那是「微積分再版」對它的評語。

一日「無限小」這個邏輯漏洞尚未修補,一日也不知道,「微積分初版」在什麼情況下可以用,什麼情況下不可以。

— Me@2013.03.11

2013.03.11 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.5

無限年 3.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

當 x 接近 3 時,(x+3) 很明顯會接近 6。所以,結論是,

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

如果用粗疏的語言,我們會說,當 x 非常接近 3 時, 就會非常接近 6。

如果用「微積分初版」的語言,我們會說,當 x 和 3 的距離是「無限小」時, 和 6 的距離,都會是「無限小」。

如果準確一點的語言,我們會說,當 x 足夠接近 3 時, 就會足夠接近 6;又或者說,無論你要數式的數值,多麼接近 6 都可以,只要 x 足夠接近 3。

如果用後期數學家,所創製的嚴格語言,我要會說,

0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3 | < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right|

\forall \epsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3| < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right| < \epsilon)

意思是,如果你要求數式   和 6 的距離,小於 (\epsilon),無論 \epsilon 有多麼小,你都一定可以達成,只要你設定 x 和 3 的偏差,小於 (\delta)。換句話說,這裡定義了,何謂「足夠接近」。

那些後期數學家,就是用了這套「(ε, δ)-definition of limit」(epsilon-delta definition of limit) 的語言,來描述牛頓和萊布尼茲,在「微積分初版」中,原本想帶出的意念,而又避開了「無限小」這個詞彙。

(安:但是, (\delta) 是什麼呢?

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話,你對「無限小」的定義,尚未完成?)

— Me@2013.03.09

2013.03.09 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.4

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

(安:你的意思是,牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初,雖然必須使用「無限小」這個概念,但卻沒有賦予它,一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞,是後人幫他們修補的。)

無錯。那些數學後人,用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”),來定義「無限小」。

(安:那樣,「無限小」的嚴格定義是什麼?)

例如,數式

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時,並沒有數值,因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數,沒有任何數學意義。但是,我們卻可以研究,

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說,雖然 x = 3 並不合法,但是,我們仍然可以追問,「x 非常接近 3」時,這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的:

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後,我們約了分子和分母的(x-3):

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時,(x+3) 很明顯會接近 6。所以,結論是,

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

— Me@2013.03.07

2013.03.07 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.3

無限年 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個定義,填補了「微積分」原本的漏洞。

(安:「微積分」原本有什麼漏洞?)

原本的漏洞,在於使用了「無限小」這個字眼,而又沒有明確講述,「無限小」究竟是什麼意思。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.
This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

「微積分」的發明者,和早期的使用者,都對「無限小」的意思含糊其詞,例如:

「無限小」小過任何其他數,但它本身又不是零。(簡化起見,這裡不討論負數。)

這個講法的問題,在於自相矛盾:

即使 x = 無限小,x/2(x 的一半)理應仍然會小於 x 本身。但是,你又宣稱,x 會小於任何其他數。結論是,x 既會小於 x/2,又會大於 x/2,自相矛盾也。

— Me@2013.03.04

2013.03.04 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.2

無限年 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

」 = 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

還有,這一句仍然只是「簡稱」,還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

詳細一點的版本是,

」 = 「只要 x 足夠大,1/x 就會足夠接近零。」

只要具體釐清,在這個上文下理中,何謂「足夠大」和「足夠接近」,你就可以得到「」的正式數學意思。

」 = 「無論 a 的數值是多麼小,你都可以令 1/x 和零的相差小於 a,只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」

— Me@2013.03.03

2013.03.03 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.1

無限年 3.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

簡便起見,你可以視「無限份之一」等如「零」。

1/infinity = 0

不過,那只是輔助記憶的密碼,而不是正確合法的數學符號,因為,「無限」並不是一個數字,你不可以用「無限」來運算,或者表達任何數量。正確的寫法是,

\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0

而它的真正意思是:

如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。

(安:那為什麼不直接那樣說,而要用複雜的數學符號來誤導人?)

因為那句說話冗長,但在數學中又要時常使用。沒有「簡稱」的話,會十分不便。正如,當我們教一個小朋友,「爺爺」是「爸爸的爸爸」的簡稱時,他同樣可以質疑,為什麼不直接說「爸爸的爸爸」,而要用複雜難寫的文字來誤導人?

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

」= 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

還有,這一句仍然只是「簡稱」,還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

— Me@2013.03.01

2013.03.02 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

導數(derivative)dy/dx 的定義是

   

\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{(x + \Delta x) – x}

但是,你千萬不要直接背誦這個數式,因為它很繁複。你需要記憶的,是淺白一點的版本: 

   

   

\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)

\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

— Me@2013.02.28

2013.02.28 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.6

無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7

大概而言,接受不到「無限」的話,你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象,而不是一個明確的數字。 

準確而言,「無限」不是一個數字,而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程,的一個簡稱。

— Me@2013.02.27

2013.02.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.5

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法,來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案,有三種可能。

第一種情況是,因為分母中 x 的最大次方,大過分子中 x 的最大次方,所以當 x 趨向「無限大」時,整個分數會趨向「無限小」,即是零。例如,

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是,由於分母中 x 的最大次方,小過分子中 x 的最大次方,導致當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向「無限大」,即是「沒有極限」。例如,

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是,分母中 x 的最大次方,和分子中 x 的最大次方相同。那樣,當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼,你只要看看分子和分母中, x 最大次方的係數(coefficients),就可以判斷到。例如,

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

2013.02.24 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.4

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit(極限值)的正式運算方法是:

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是,雖然,因為「無限」()並不是一個數,你不可以代它於任何變數 x 之中;但是, 是卻一個數,而且等於零,所以,你可以把「零」代於所有(1/x)出現的地方。

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過,如果分子和分母同時趨向「無限」,整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」,要視乎分子中 x 次方比較大,還是分母。例如在這一題中,分子的 x 是二次方(x^2),而分母的 x 是三次方(x^3),所以,分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果,整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼,並不是正確合法的數學符號:

你可以在心裡運用,但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= (無限)^2/((無限)^3 + 6)

= 0

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法來驗算,牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

2013.02.17 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.3

無限年 2.3 | 微積分 4.3

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

由於「無限」不可以用來比較大小,它不是一個數字。所以,例如

\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)

的意思,並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說,這個極根值題目並不是問你,當 x 的數值是「無限」時,整個分數的數值是多少,因為,「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是,如果分子是一個「超大」的數,而「分母」又同時是一個「超大」數的話,整個分數的數值會是多少。

留意,這個問題並不能直接回答,因為,如果不作詳細一點的分析,我們知道的只是,當 x 是「超大」時,分子的 x^2 會變成「超大」,而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」,則暫時不知道。

它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」,要視乎分子的「超大」,還是分母的「超大」,會大過對方。在這個例子中,由於分母中 x 的次方,比分子中 x 的次方大,所以分母的「超大」,會遠遠大過分子的「超大」。例如,當 x = 100,000 (十萬)時,x^2 = 10^10(一百億),而 x^3 卻已經變成 10^15(一千兆)。結果,(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。

— Me@2013.02.14

2013.02.14 Thursday (c) All rights reserved by ACHK