Goodstein’s theorem

[guess]

Goodstein’s theorem is an example that sometimes a finite result requires the existence of infinity in its proof.

— Me@2021-05-09 11:06:34 PM

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Goodstein’s theorem itself assumes that there is an infinite number of natural numbers, so it is not really a finite result.

— Me@2017-02-20 06:16:28 PM

[guess]

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2021.05.09 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Fallacy of infinity thinking, prequel

Why should you NOT murder one innocent person in order to save millions of people?

(Note: This question is NOT the same as “Could we give up one innocent person’s life in order to save millions of people’s?”)

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Could we murder one innocent person in order to save millions of people?

— Me@2017-06-20 01:04:56 PM

— Me@2021-01-19 06:15:54 PM

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NO.

If we can murder one innocent person in order to save all other people, then no one is safe after all, because anyone could be THAT innocent person, being sacrificed at any time.

(In the situation that we cannot save all the people at the same time, which person or which group has higher or lower priorities depends on context. There is no universal answer.)

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Instead, if we protect each person’s life, then all the people’s lives are protected.

— Me@2021-01-19 06:01:24 PM

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If you start with protecting each one, then every one person and thus the whole society will be protected.

If you start with protecting the whole society at all costs, then no one will be safe, because anyone could be that cost; any innocent person could be sacrificed at any time.

— Me@2021-01-20 6:48 AM

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2021.01.20 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.6

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所以,「同情地理解」,亦可稱為「意念淘金術」。

機遇再生論,可以同情地理解為,有以下的意思:

(而這個意思,亦在「機遇再生論」的原文中,用作其理據。)

假設,你現在手中,有一副樸克牌,存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後,排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌,共有 N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67} 個,可能的排列。亦即是話,洗牌後仍然是排列 A 的機會率,只有 \frac{1}{N}

由於分母 N 太大(相當於 8 之後,還有 67 個位),洗牌後,理應變成另外一個排列 B 。

P(A) = \frac{1}{N}

P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}

洗了一次牌後,發覺排列是 B 不是 A 後,我們可以再問,如果再洗一次牌,「是 A」和「不是 A」的機會,分別是多少?

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由於,機會率只是與未知的事情有關,或者說,已知的事件,發生的機會率必為 1;所以,如果發生了第一次洗牌,而你又知道其結果的情況下,問「如果再洗一次牌,『是 A』和『不是 A』的機會,分別是多少」,第二次洗牌各個可能結果,發生的機會率,與第一次洗牌的結果無關。

第二次洗牌結果為組合 A 的機會率,仍然是

P(A) = \frac{1}{N}

不是組合 A 的機會率,仍然是

P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}

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(問:那樣,為什麼要問多一次呢?)

我是想釐清,我真正想問的是,並不是這個問題,而是另一個:

如果在第一次洗牌之前,亦即是話,一次牌都未洗的話,問:

「如果洗牌兩次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?」

把該事件標示為 A_2

A_2 = 兩次洗牌的結果,起碼一次洗到原本排列 A

再把該事件的機會率,標示為 P(A_2)

由於 P(A_2) 相對麻煩,我們可以先行運算其「互補事件」的機會率。

A_2 的互補事件為「不是 A_2」:

不是 A_2

= 兩次洗牌的結果,不是起碼一次洗到原本排列 A

= 兩次洗牌的結果,都不是排列 A

其機會率為

P(\text{not} A_2) = (1 - \frac{1}{N})^2

那樣,我們就可推斷,

P(A_2)
= 1 - P(\text{not} A_2)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^2

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同理,在一次牌都未洗的時候,問:

如果洗牌 m 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_m)= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m

留意,N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67},非常之大,導致 (1 - \frac{1}{N}) 極端接近 1。在一般情況,m 的數值還是正常時, P(A_m) 會仍然極端接近 0。

例如,你將會連續洗一千萬次牌(m = 10,000,000),起碼有一次,回到原本排列 A 的機會是:

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000}

你用一般手提計算機的話,它會給你 0。你用電腦的話,它會給你

1.239799930857148592 \times 10^{-61}

— Me@2018-01-25 12:38:39 PM

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2018.02.13 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.5

例如,

甲在過身之後,一千億年內會重生。

是句「科學句」(經驗句),因為你知道在什麼情境下,可以否證到它 —— 如果你在甲過身後,等了一千億年,甲還未重生的話,那句就為之錯。

但是,

甲在過身之後,只要等足夠長的時間,必會重生。

則沒有任何科學意義,只是一句「重言句」;因為,沒有人可以講得出,它在什麼情況下,為之錯。

如果你等了一千億年,甲還未重生的話,這個「機遇再生論」,仍然不算錯;因為,那只代表了,那一千億年,還未「足夠長」。

把「重言句」假扮成「經驗句」,就為之「空廢命題」。

(請參閱本網誌,有關「重言句」、「經驗句」和「印證原則」的文章。)

但是,那不代表我們,應該立刻放棄,機遇再生論。反而,我們可以試行「同情地理解」。

「同情地理解」的意思是,有些理論,雖然在第一層次的分析之後,有明顯的漏洞,但是,我們可以試試,代入作者發表該理論時的,心理狀態和時空情境;研究作者發表該理論的,緣起和動機;從而看看,該理論不行的原因,會不會只是因為,作者的語文或思考不夠清晰,表達不佳而已?

其實,該理論的「真身」,可能充滿著新知洞見。那樣的話,我們就有機會把「機遇再生論」,翻譯成有意義,不空廢的版本。

所以,「同情地理解」亦可稱為「意念淘金術」。

機遇再生論,可以同情地理解為,有以下的意思:

(而這個意思,亦在「機遇再生論」的原文中,用作其理據。)

假設,你現在手中,有一副樸克牌,存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後,排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌,共有 N = 54! = 2.3 \times 10^{71} 個,可能的排列。亦即是話,洗牌後仍然是排列 A 的機會率,只有 \frac{1}{N}

由於分母 N 太大(相當於 2 之後,還有 71 個位),洗牌後,理應變成另外一個排列 B 。

P(A) = \frac{1}{N}

P(not A) = 1 - \frac{1}{N}

— Me@2017-12-18 02:51:11 PM
 
 
 
2017.12.18 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.4

『機遇再生論』的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,只要等足夠長的時間,總會發生。

但是,即使避開了「無限」,用了「足夠長」,仍然會有其他問題。「足夠長」這個詞語雖然不算違法,但是十分空泛,空泛到近乎沒有意義。

試想想,怎樣才為之「足夠長」呢?

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以前在本網誌中提及過,凡是科學句子,都一定要有「可否證性」。因為凡是科學句子,都對世界有所描述,所以必為「經驗句」,不是「重言句」。凡是「經驗句」,必定有機會錯。換而言之,無論正確的機會率有多高,都不會是百分百。

因此,要測試某一句說話,是不是「科學句子」,你可以檢查一下,它有沒有「可否證性」。「可否證性」的意思是,如果一句「科學句子」有意義,你就可以講得出,至少在原則上,它在什麼情況下,為之錯。

例如,

甲在過身之後,一千億年內會重生。

是句「科學句」(經驗句),因為你知道在什麼情境下,可以否證到它 —— 如果你在甲過身後,等了一千億年,甲還未重生的話,那句就為之錯。

但是,

甲在過身之後,只要等足夠長的時間,必會重生。

則沒有任何科學意義。

— Me@2015.04.08

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2015.04.15 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.3

『機遇再生論』的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,在無限長的未來時間中,必會發生。

機遇再生論原始版本,有問題的字眼中,除了「所有」之外,還有「無限」。「無限」通常都是一個違法詞語。「無限」引起的問題,以前論述過,現不再詳談。請參閱「無限」系列的文章。

你可以嘗試移除「無限」這個詞語,只把「無限」的意思中,有意義的部分保留:

『機遇再生論』的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,只要等足夠長的時間,總會發生。

但是,即使避開了「無限」,用了「足夠長」,仍然會有其他問題。「足夠長」這個詞語雖然不算違法,但是十分空泛,空泛到近乎沒有意義。

試想想,怎樣才為之「足夠長」呢?

— Me@2015.04.08

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2015.04.09 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.2.2

「所有」,就是「場所之有」。

沒有明確的場所,就不知所「有」何物。

「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾來源,在於「所有」。論述中,運用「所有」這個詞語時,並沒有講清楚情境,導致它不自覺地,包括了元層次的事物。「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾,來自「本層次」和「元層次」(meta level)的矛盾。

『機遇再生論』的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,只要等足夠長的時間,總會發生。

假設『事件甲』不自相矛盾,它發生的機會就不是零;那樣,根據『機遇再生論』,甲終會發生。

但是,除非甲是必然事件,否則,『事件甲不會發生』都不會自相矛盾,它發生的機會都不是零;那樣,根據『機遇再生論』,『事件甲不會發生』終會發生。

機會再生論,會引起邏輯矛盾。

留意,「事件甲」是「本層次」的事件。但是,「事件甲不會發生」卻是「元層次」的事件,即是「元事件」。所以,如果把「機會再生論」的原始版本,修正為嚴謹版本,講清楚當中的「所有」,限於「本層件」的事件,原始版中的邏輯矛盾,就可以避免。

留意,暫時的成果,只是透過分清楚語言層次,避開了邏輯矛盾。至於「機遇再生論嚴謹版」正不正確,符不符合實情,則是另一回事,另一個話題。

— Me@2015-03-21 10:07:51 PM

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2015.03.28 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.2.1

而這個「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾來源,在於「所有」。

論述中,運用「所有」這個詞語時,並沒有講清楚情境,導致它不自覺地,包括了元層次的事物。「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾,來自「本層次」和「元層次」(meta level)的矛盾。

「所有」即是「全部」,意思是「百分之一百」。但是,如果沒有明確的上文下理,講清楚是什麼的百分之一百,「百分之一百」就沒有明確的意思,不太知道所指何物。

相反,如果有明確的上文下理,就自然有明確的意思。例如,「三十元中的百分之一百」,就很明顯是指,那三十元。

又例如,「這間屋的所有人」,都有明確的意思,因為有明確的範圍;有範圍,就可點人數:

凡是在這間屋內遇到的人,包括你自己,你都記下名字,直到在這間屋,再不找到新的人為止。那樣,你就可以得到,有齊「這間屋所有人」的名單。

「所有」,就是「場所之有」。

沒有明確的場所,就不知所「有」何物。

— Me@2015-03-21 10:07:51 PM

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2015.03.21 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論

「機遇再生論」的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,只要等足夠長的時間,總會發生。

假設「事件甲」不自相矛盾,它發生的機會就不是零;那樣,根據「機遇再生論」,甲終會發生。

但是,除非甲是必然事件,否則,「事件甲不會發生」都不會自相矛盾,它發生的機會都不是零;那樣,根據「機遇再生論」,「事件甲不會發生」終會發生。

機會再生論,會引起邏輯矛盾。

— Me@2015-03-02 05:10:07 PM
 
 
 
2015.03.09 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.6

無限年 3.6

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

(安:但是, (\delta) 是什麼呢?

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話,你對「無限小」的定義,尚未完成?)

無錯。我還需要講清楚,\delta 究竟是什麼。

不過,每一題極限(limit)題目的 \delta 都會不同。\delta 並沒有通用的定義,而是要經過一點運算才知道。例如,以這一題極限題目而言,\delta 剛好等於 (\epsilon)。

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

意思是,如果你要求數式 和 6 的距離,小於 (\epsilon),無論 \epsilon 有多麼小,你都一定可以達成,只要你設定 x 和 3 的偏差,小於 (\epsilon)。例如,如果你要求數式和 6 的距離,小於 0.001(\epsilon),只要你設定 x 和 3 的偏差小於 0.001(\delta = \epsilon),就可以達成。

(安:還有,你說那些後期數學家,就是用了這一套避開了「無限小」這個詞彙的語言,來描述牛頓和萊布尼茲,在「微積分初版」中,原本想帶出的意念。

你是否暗示了,其實「微積分初版」中的結果是正確的,雖然運算步驟含糊其詞?)

可以那樣說。「微積分初版」的運算結果大致正確;對於日常用家而言,可信可用。現在中學的「微積分」課程,也是「微積分初版」。

(安:那為什麼還要嚴格定義「無限小」?那是否庸人自擾?)

因為「微積分初版」的運算結果,只是「大致正確」,並非「完全正確」。在高深一點的理論或應用中,「微積分初版」會完全瓦解。

還有,「『微積分初版』的運算結果大致正確」,是事後孔明。「微積分初版」並不知道自己,原來「大致正確」。那是「微積分再版」對它的評語。

一日「無限小」這個邏輯漏洞尚未修補,一日也不知道,「微積分初版」在什麼情況下可以用,什麼情況下不可以。

— Me@2013.03.11

2013.03.11 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.5

無限年 3.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

當 x 接近 3 時,(x+3) 很明顯會接近 6。所以,結論是,

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

如果用粗疏的語言,我們會說,當 x 非常接近 3 時, 就會非常接近 6。

如果用「微積分初版」的語言,我們會說,當 x 和 3 的距離是「無限小」時, 和 6 的距離,都會是「無限小」。

如果準確一點的語言,我們會說,當 x 足夠接近 3 時, 就會足夠接近 6;又或者說,無論你要數式的數值,多麼接近 6 都可以,只要 x 足夠接近 3。

如果用後期數學家,所創製的嚴格語言,我要會說,

0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3 | < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right|

\forall \epsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3| < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right| < \epsilon)

意思是,如果你要求數式   和 6 的距離,小於 (\epsilon),無論 \epsilon 有多麼小,你都一定可以達成,只要你設定 x 和 3 的偏差,小於 (\delta)。換句話說,這裡定義了,何謂「足夠接近」。

那些後期數學家,就是用了這套「(ε, δ)-definition of limit」(epsilon-delta definition of limit) 的語言,來描述牛頓和萊布尼茲,在「微積分初版」中,原本想帶出的意念,而又避開了「無限小」這個詞彙。

(安:但是, (\delta) 是什麼呢?

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話,你對「無限小」的定義,尚未完成?)

— Me@2013.03.09

2013.03.09 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.4

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

(安:你的意思是,牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初,雖然必須使用「無限小」這個概念,但卻沒有賦予它,一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞,是後人幫他們修補的。)

無錯。那些數學後人,用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”),來定義「無限小」。

(安:那樣,「無限小」的嚴格定義是什麼?)

例如,數式

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時,並沒有數值,因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數,沒有任何數學意義。但是,我們卻可以研究,

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說,雖然 x = 3 並不合法,但是,我們仍然可以追問,「x 非常接近 3」時,這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的:

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後,我們約了分子和分母的(x-3):

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時,(x+3) 很明顯會接近 6。所以,結論是,

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

— Me@2013.03.07

2013.03.07 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.3

無限年 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個定義,填補了「微積分」原本的漏洞。

(安:「微積分」原本有什麼漏洞?)

原本的漏洞,在於使用了「無限小」這個字眼,而又沒有明確講述,「無限小」究竟是什麼意思。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.
This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

「微積分」的發明者,和早期的使用者,都對「無限小」的意思含糊其詞,例如:

「無限小」小過任何其他數,但它本身又不是零。(簡化起見,這裡不討論負數。)

這個講法的問題,在於自相矛盾:

即使 x = 無限小,x/2(x 的一半)理應仍然會小於 x 本身。但是,你又宣稱,x 會小於任何其他數。結論是,x 既會小於 x/2,又會大於 x/2,自相矛盾也。

— Me@2013.03.04

2013.03.04 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.2

無限年 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

」 = 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

還有,這一句仍然只是「簡稱」,還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

詳細一點的版本是,

」 = 「只要 x 足夠大,1/x 就會足夠接近零。」

只要具體釐清,在這個上文下理中,何謂「足夠大」和「足夠接近」,你就可以得到「」的正式數學意思。

」 = 「無論 a 的數值是多麼小,你都可以令 1/x 和零的相差小於 a,只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」

— Me@2013.03.03

2013.03.03 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.1

無限年 3.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

簡便起見,你可以視「無限份之一」等如「零」。

1/infinity = 0

不過,那只是輔助記憶的密碼,而不是正確合法的數學符號,因為,「無限」並不是一個數字,你不可以用「無限」來運算,或者表達任何數量。正確的寫法是,

\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0

而它的真正意思是:

如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。

(安:那為什麼不直接那樣說,而要用複雜的數學符號來誤導人?)

因為那句說話冗長,但在數學中又要時常使用。沒有「簡稱」的話,會十分不便。正如,當我們教一個小朋友,「爺爺」是「爸爸的爸爸」的簡稱時,他同樣可以質疑,為什麼不直接說「爸爸的爸爸」,而要用複雜難寫的文字來誤導人?

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

」= 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

還有,這一句仍然只是「簡稱」,還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

— Me@2013.03.01

2013.03.02 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.6

無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7

大概而言,接受不到「無限」的話,你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象,而不是一個明確的數字。 

準確而言,「無限」不是一個數字,而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程,的一個簡稱。

— Me@2013.02.27

2013.02.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.5

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法,來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案,有三種可能。

第一種情況是,因為分母中 x 的最大次方,大過分子中 x 的最大次方,所以當 x 趨向「無限大」時,整個分數會趨向「無限小」,即是零。例如,

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是,由於分母中 x 的最大次方,小過分子中 x 的最大次方,導致當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向「無限大」,即是「沒有極限」。例如,

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是,分母中 x 的最大次方,和分子中 x 的最大次方相同。那樣,當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼,你只要看看分子和分母中, x 最大次方的係數(coefficients),就可以判斷到。例如,

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

2013.02.24 Sunday (c) All rights reserved by ACHK