機遇再生論 1.6

Posted on February 13, 2018 by rpflee

…

所以，「同情地理解」，亦可稱為「意念淘金術」。

—

機遇再生論，可以同情地理解為，有以下的意思：

（而這個意思，亦在「機遇再生論」的原文中，用作其理據。）

假設，你現在手中，有一副樸克牌，存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後，排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌，共有 $N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67}$ 個，可能的排列。亦即是話，洗牌後仍然是排列 A 的機會率，只有 $\frac{1}{N}$ 。

由於分母 N 太大（相當於 8 之後，還有 67 個位），洗牌後，理應變成另外一個排列 B 。

$P(A) = \frac{1}{N}$

$P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}$

洗了一次牌後，發覺排列是 B 不是 A 後，我們可以再問，如果再洗一次牌，「是 A」和「不是 A」的機會，分別是多少？

由於，機會率只是與未知的事情有關，或者說，已知的事件，發生的機會率必為 1；所以，如果發生了第一次洗牌，而你又知道其結果的情況下，問「如果再洗一次牌，『是 A』和『不是 A』的機會，分別是多少」，第二次洗牌各個可能結果，發生的機會率，與第一次洗牌的結果無關。

第二次洗牌結果為組合 A 的機會率，仍然是

$P(A) = \frac{1}{N}$

—

不是組合 A 的機會率，仍然是

$P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}$

(問：那樣，為什麼要問多一次呢？）

我是想釐清，我真正想問的是，並不是這個問題，而是另一個：

如果在第一次洗牌之前，亦即是話，一次牌都未洗的話，問：

「如果洗牌兩次，起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少？」

把該事件標示為 $A_2$ ：

$A_2$ = 兩次洗牌的結果，起碼一次洗到原本排列 A

再把該事件的機會率，標示為 $P(A_2)$ 。

由於 $P(A_2)$ 相對麻煩，我們可以先行運算其「互補事件」的機會率。

$A_2$ 的互補事件為「不是 $A_2$ 」：

不是 $A_2$

= 兩次洗牌的結果，不是起碼一次洗到原本排列 A

= 兩次洗牌的結果，都不是排列 A

其機會率為

$P(\text{not} A_2) = (1 - \frac{1}{N})^2$

那樣，我們就可推斷，

$P(A_2)$
$= 1 - P(\text{not} A_2)$
$= 1 - (1 - \frac{1}{N})^2$

同理，在一次牌都未洗的時候，問：

如果洗牌 m 次，起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少？

答案將會是

$P(A_m)= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m$

留意， $N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67}$ ，非常之大，導致 $(1 - \frac{1}{N})$ 極端接近 1。在一般情況， $m$ 的數值還是正常時， $P(A_m)$ 會仍然極端接近 0。

例如，你將會連續洗一千萬次牌（m = 10,000,000），起碼有一次，回到原本排列 A 的機會是：

$P(A_m)$
$= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m$
$= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000}$

你用一般手提計算機的話，它會給你 0。你用電腦的話，它會給你

$1.239799930857148592 \times 10^{-61}$

…

— Me@2018-01-25 12:38:39 PM

機遇再生論 1.5

Posted on December 18, 2017 by rpflee

…

例如，

「

甲在過身之後，一千億年內會重生。

」

是句「科學句」（經驗句），因為你知道在什麼情境下，可以否證到它 —— 如果你在甲過身後，等了一千億年，甲還未重生的話，那句就為之錯。

但是，

「

甲在過身之後，只要等足夠長的時間，必會重生。

」

則沒有任何科學意義，只是一句「重言句」；因為，沒有人可以講得出，它在什麼情況下，為之錯。

如果你等了一千億年，甲還未重生的話，這個「機遇再生論」，仍然不算錯；因為，那只代表了，那一千億年，還未「足夠長」。

把「重言句」假扮成「經驗句」，就為之「空廢命題」。

（請參閱本網誌，有關「重言句」、「經驗句」和「印證原則」的文章。）

但是，那不代表我們，應該立刻放棄，機遇再生論。反而，我們可以試行「同情地理解」。

「同情地理解」的意思是，有些理論，雖然在第一層次的分析之後，有明顯的漏洞，但是，我們可以試試，代入作者發表該理論時的，心理狀態和時空情境；研究作者發表該理論的，緣起和動機；從而看看，該理論不行的原因，會不會只是因為，作者的語文或思考不夠清晰，表達不佳而已？

其實，該理論的「真身」，可能充滿著新知洞見。那樣的話，我們就有機會把「機遇再生論」，翻譯成有意義，不空廢的版本。

所以，「同情地理解」亦可稱為「意念淘金術」。

—

機遇再生論，可以同情地理解為，有以下的意思：

（而這個意思，亦在「機遇再生論」的原文中，用作其理據。）

假設，你現在手中，有一副樸克牌，存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後，排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌，共有 $N = 54! = 2.3 \times 10^{71}$ 　個，可能的排列。亦即是話，洗牌後仍然是排列 A 的機會率，只有 $\frac{1}{N}$ 。

由於分母 N 太大（相當於 2 之後，還有 71 個位），洗牌後，理應變成另外一個排列 B 。

$P(A) = \frac{1}{N}$

$P($ not $A) = 1 - \frac{1}{N}$

…

— Me@2017-12-18 02:51:11 PM

2017.12.18 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.4

Posted on April 15, 2015 by rpflee

「

『機遇再生論』的大概意思是，所有可能發生的事情，例如重生，只要等足夠長的時間，總會發生。

」

但是，即使避開了「無限」，用了「足夠長」，仍然會有其他問題。「足夠長」這個詞語雖然不算違法，但是十分空泛，空泛到近乎沒有意義。

試想想，怎樣才為之「足夠長」呢？

以前在本網誌中提及過，凡是科學句子，都一定要有「可否證性」。因為凡是科學句子，都對世界有所描述，所以必為「經驗句」，不是「重言句」。凡是「經驗句」，必定有機會錯。換而言之，無論正確的機會率有多高，都不會是百分百。

因此，要測試某一句說話，是不是「科學句子」，你可以檢查一下，它有沒有「可否證性」。「可否證性」的意思是，如果一句「科學句子」有意義，你就可以講得出，至少在原則上，它在什麼情況下，為之錯。

例如，

「

甲在過身之後，一千億年內會重生。

」

是句「科學句」（經驗句），因為你知道在什麼情境下，可以否證到它 —— 如果你在甲過身後，等了一千億年，甲還未重生的話，那句就為之錯。

但是，

「

甲在過身之後，只要等足夠長的時間，必會重生。

」

則沒有任何科學意義。

— Me@2015.04.08

機遇再生論 1.3

Posted on April 9, 2015 by rpflee

「

『機遇再生論』的大概意思是，所有可能發生的事情，例如重生，在無限長的未來時間中，必會發生。

」

機遇再生論原始版本，有問題的字眼中，除了「所有」之外，還有「無限」。「無限」通常都是一個違法詞語。「無限」引起的問題，以前論述過，現不再詳談。請參閱「無限」系列的文章。

你可以嘗試移除「無限」這個詞語，只把「無限」的意思中，有意義的部分保留：

「

『機遇再生論』的大概意思是，所有可能發生的事情，例如重生，只要等足夠長的時間，總會發生。

」

但是，即使避開了「無限」，用了「足夠長」，仍然會有其他問題。「足夠長」這個詞語雖然不算違法，但是十分空泛，空泛到近乎沒有意義。

試想想，怎樣才為之「足夠長」呢？

— Me@2015.04.08

機遇再生論 1.2.2

Posted on March 28, 2015 by rpflee

「所有」，就是「場所之有」。

沒有明確的場所，就不知所「有」何物。

「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾來源，在於「所有」。論述中，運用「所有」這個詞語時，並沒有講清楚情境，導致它不自覺地，包括了元層次的事物。「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾，來自「本層次」和「元層次」（meta level）的矛盾。

「

『機遇再生論』的大概意思是，所有可能發生的事情，例如重生，只要等足夠長的時間，總會發生。

假設『事件甲』不自相矛盾，它發生的機會就不是零；那樣，根據『機遇再生論』，甲終會發生。

但是，除非甲是必然事件，否則，『事件甲不會發生』都不會自相矛盾，它發生的機會都不是零；那樣，根據『機遇再生論』，『事件甲不會發生』終會發生。

機會再生論，會引起邏輯矛盾。

」

留意，「事件甲」是「本層次」的事件。但是，「事件甲不會發生」卻是「元層次」的事件，即是「元事件」。所以，如果把「機會再生論」的原始版本，修正為嚴謹版本，講清楚當中的「所有」，限於「本層件」的事件，原始版中的邏輯矛盾，就可以避免。

留意，暫時的成果，只是透過分清楚語言層次，避開了邏輯矛盾。至於「機遇再生論嚴謹版」正不正確，符不符合實情，則是另一回事，另一個話題。

— Me@2015-03-21 10:07:51 PM

機遇再生論 1.2.1

Posted on March 21, 2015 by rpflee

而這個「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾來源，在於「所有」。

論述中，運用「所有」這個詞語時，並沒有講清楚情境，導致它不自覺地，包括了元層次的事物。「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾，來自「本層次」和「元層次」（meta level）的矛盾。

「所有」即是「全部」，意思是「百分之一百」。但是，如果沒有明確的上文下理，講清楚是什麼的百分之一百，「百分之一百」就沒有明確的意思，不太知道所指何物。

相反，如果有明確的上文下理，就自然有明確的意思。例如，「三十元中的百分之一百」，就很明顯是指，那三十元。

又例如，「這間屋的所有人」，都有明確的意思，因為有明確的範圍；有範圍，就可點人數：

凡是在這間屋內遇到的人，包括你自己，你都記下名字，直到在這間屋，再不找到新的人為止。那樣，你就可以得到，有齊「這間屋所有人」的名單。

「所有」，就是「場所之有」。

沒有明確的場所，就不知所「有」何物。

— Me@2015-03-21 10:07:51 PM

機遇再生論

Posted on March 9, 2015 by rpflee

「機遇再生論」的大概意思是，所有可能發生的事情，例如重生，只要等足夠長的時間，總會發生。

假設「事件甲」不自相矛盾，它發生的機會就不是零；那樣，根據「機遇再生論」，甲終會發生。

但是，除非甲是必然事件，否則，「事件甲不會發生」都不會自相矛盾，它發生的機會都不是零；那樣，根據「機遇再生論」，「事件甲不會發生」終會發生。

機會再生論，會引起邏輯矛盾。

— Me@2015-03-02 05:10:07 PM

2015.03.09 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.7

Posted on March 13, 2013 by rpflee

無限年 3.7

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：那就即是話，我們使用「無限小」這個詞語，只是為了教學和運算上的便利，而並不是真的有一個數字，叫做「無限小」。）

無錯。

— Me@2013.03.13

微積分 6.6

Posted on March 11, 2013 by rpflee

無限年 3.6

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：但是， $\delta$ (\delta) 是什麼呢？

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話，你對「無限小」的定義，尚未完成？）

無錯。我還需要講清楚，\delta 究竟是什麼。

不過，每一題極限（limit）題目的 \delta 都會不同。\delta 並沒有通用的定義，而是要經過一點運算才知道。例如，以這一題極限題目而言，\delta 剛好等於 $\epsilon$ (\epsilon)。

$\left( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \right) = 6$

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

意思是，如果你要求數式 $\left( \frac{x^2-9}{x-3} \right)$ 和 6 的距離，小於 $\epsilon$ (\epsilon)，無論 \epsilon 有多麼小，你都一定可以達成，只要你設定 x 和 3 的偏差，小於 $\epsilon$ (\epsilon)。例如，如果你要求數式和 6 的距離，小於 0.001（\epsilon），只要你設定 x 和 3 的偏差小於 0.001（\delta = \epsilon），就可以達成。

（安：還有，你說那些後期數學家，就是用了這一套避開了「無限小」這個詞彙的語言，來描述牛頓和萊布尼茲，在「微積分初版」中，原本想帶出的意念。

你是否暗示了，其實「微積分初版」中的結果是正確的，雖然運算步驟含糊其詞？）

可以那樣說。「微積分初版」的運算結果大致正確；對於日常用家而言，可信可用。現在中學的「微積分」課程，也是「微積分初版」。

（安：那為什麼還要嚴格定義「無限小」？那是否庸人自擾？）

因為「微積分初版」的運算結果，只是「大致正確」，並非「完全正確」。在高深一點的理論或應用中，「微積分初版」會完全瓦解。

還有，「『微積分初版』的運算結果大致正確」，是事後孔明。「微積分初版」並不知道自己，原來「大致正確」。那是「微積分再版」對它的評語。

一日「無限小」這個邏輯漏洞尚未修補，一日也不知道，「微積分初版」在什麼情況下可以用，什麼情況下不可以。

— Me@2013.03.11

微積分 6.5

Posted on March 9, 2013 by rpflee

無限年 3.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

$\left( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \right) = 6$

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

如果用粗疏的語言，我們會說，當 x 非常接近 3 時， $\left( \frac{x^2-9}{x-3} \right)$ 就會非常接近 6。

如果用「微積分初版」的語言，我們會說，當 x 和 3 的距離是「無限小」時， $\left( \frac{x^2-9}{x-3} \right)$ 和 6 的距離，都會是「無限小」。

如果準確一點的語言，我們會說，當 x 足夠接近 3 時， $\left( \frac{x^2-9}{x-3} \right)$ 就會足夠接近 6；又或者說，無論你要數式的數值，多麼接近 6 都可以，只要 x 足夠接近 3。

如果用後期數學家，所創製的嚴格語言，我要會說，

0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3 | < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right|

\forall \epsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3| < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right| < \epsilon)

意思是，如果你要求數式 $\left( \frac{x^2-9}{x-3} \right)$ 和 6 的距離，小於 $\epsilon$ (\epsilon)，無論 \epsilon 有多麼小，你都一定可以達成，只要你設定 x 和 3 的偏差，小於 $\delta$ (\delta)。換句話說，這裡定義了，何謂「足夠接近」。

那些後期數學家，就是用了這套「(ε, δ)-definition of limit」(epsilon-delta definition of limit) 的語言，來描述牛頓和萊布尼茲，在「微積分初版」中，原本想帶出的意念，而又避開了「無限小」這個詞彙。

（安：但是， $\delta$ (\delta) 是什麼呢？

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話，你對「無限小」的定義，尚未完成？）

— Me@2013.03.09

微積分 6.4

Posted on March 7, 2013 by rpflee

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：你的意思是，牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初，雖然必須使用「無限小」這個概念，但卻沒有賦予它，一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞，是後人幫他們修補的。）

無錯。那些數學後人，用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”)，來定義「無限小」。

（安：那樣，「無限小」的嚴格定義是什麼？）

例如，數式

$\frac{x^2-9}{x-3}$

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時，並沒有數值，因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數，沒有任何數學意義。但是，我們卻可以研究，

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說，雖然 x = 3 並不合法，但是，我們仍然可以追問，「x 非常接近 3」時，這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的：

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x-3)}{x-3}$

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後，我們約了分子和分母的(x-3)：

$= \lim_{x \to 3} (x + 3)$

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

$\left( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \right) = 6$

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

…

— Me@2013.03.07

微積分 6.3

Posted on March 4, 2013 by rpflee

無限年 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個定義，填補了「微積分」原本的漏洞。

（安：「微積分」原本有什麼漏洞？）

原本的漏洞，在於使用了「無限小」這個字眼，而又沒有明確講述，「無限小」究竟是什麼意思。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

「微積分」的發明者，和早期的使用者，都對「無限小」的意思含糊其詞，例如：

「無限小」小過任何其他數，但它本身又不是零。（簡化起見，這裡不討論負數。）

這個講法的問題，在於自相矛盾：

即使 x = 無限小，x/2（x 的一半）理應仍然會小於 x 本身。但是，你又宣稱，x 會小於任何其他數。結論是，x 既會小於 x/2，又會大於 x/2，自相矛盾也。

— Me@2013.03.04

微積分 6.2

Posted on March 3, 2013 by rpflee

無限年 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

詳細一點的版本是，

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「只要 x 足夠大，1/x 就會足夠接近零。」

只要具體釐清，在這個上文下理中，何謂「足夠大」和「足夠接近」，你就可以得到「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」的正式數學意思。

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」 = 「無論 a 的數值是多麼小，你都可以令 1/x 和零的相差小於 a，只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」

— Me@2013.03.03

微積分 6.1

Posted on March 2, 2013 by rpflee

無限年 3.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

簡便起見，你可以視「無限份之一」等如「零」。

$\frac{1}{\infty} = 0$

1/infinity = 0

不過，那只是輔助記憶的密碼，而不是正確合法的數學符號，因為，「無限」並不是一個數字，你不可以用「無限」來運算，或者表達任何數量。正確的寫法是，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0

而它的真正意思是：

如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。

（安：那為什麼不直接那樣說，而要用複雜的數學符號來誤導人？）

因為那句說話冗長，但在數學中又要時常使用。沒有「簡稱」的話，會十分不便。正如，當我們教一個小朋友，「爺爺」是「爸爸的爸爸」的簡稱時，他同樣可以質疑，為什麼不直接說「爸爸的爸爸」，而要用複雜難寫的文字來誤導人？

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「 $\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$ 」= 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

— Me@2013.03.01

無限蘋果 1.6

Posted on February 27, 2013 by rpflee

無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7

大概而言，接受不到「無限」的話，你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象，而不是一個明確的數字。　

準確而言，「無限」不是一個數字，而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程，的一個簡稱。

— Me@2013.02.27

無限蘋果 1.5

Posted on February 24, 2013 by rpflee

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法，來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案，有三種可能。

第一種情況是，因為分母中 x 的最大次方，大過分子中 x 的最大次方，所以當 x 趨向「無限大」時，整個分數會趨向「無限小」，即是零。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} = 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是，由於分母中 x 的最大次方，小過分子中 x 的最大次方，導致當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向「無限大」，即是「沒有極限」。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} \to \infty$

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是，分母中 x 的最大次方，和分子中 x 的最大次方相同。那樣，當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼，你只要看看分子和分母中， x 最大次方的係數（coefficients），就可以判斷到。例如，

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + 3 x + 7}{5 x^3 + 3 x^2 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + \hspace{5mm} \dots}{5 x^3 + \hspace{5mm} \dots}$

$= \hspace{5mm} \dots$

$= \frac{2}{5}$

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

無限蘋果 1.4

Posted on February 17, 2013 by rpflee

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit（極限值）的正式運算方法是：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{x^2}{x^3} \right)}{\left(\frac{x^3 + 6}{x^3}\right)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{1}{x} \right)}{\left(1 + \frac{6}{x^3}\right)}$

$= \frac{\left( 0 \right)}{\left(1 + 0 \right)}$

$= 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是，雖然，因為「無限」（ $\infty$ ）並不是一個數，你不可以代它於任何變數 x 之中；但是， $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ 是卻一個數，而且等於零，所以，你可以把「零」代於所有（1/x）出現的地方。

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過，如果分子和分母同時趨向「無限」，整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子中 x 次方比較大，還是分母。例如在這一題中，分子的 x 是二次方（x^2），而分母的 x 是三次方（x^3），所以，分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果，整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼，並不是正確合法的數學符號：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3}$

$= 0$

你可以在心裡運用，但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= （無限）^2/（（無限）^3 + 6）

= 0

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法來驗算，牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

無限蘋果 1.3

Posted on February 14, 2013 by rpflee

無限年 2.3 | 微積分 4.3

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

由於「無限」不可以用來比較大小，它不是一個數字。所以，例如

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)

的意思，並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說，這個極根值題目並不是問你，當 x 的數值是「無限」時，整個分數的數值是多少，因為，「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是，如果分子是一個「超大」的數，而「分母」又同時是一個「超大」數的話，整個分數的數值會是多少。

留意，這個問題並不能直接回答，因為，如果不作詳細一點的分析，我們知道的只是，當 x 是「超大」時，分子的 x^2 會變成「超大」，而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」，則暫時不知道。

它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子的「超大」，還是分母的「超大」，會大過對方。在這個例子中，由於分母中 x 的次方，比分子中 x 的次方大，所以分母的「超大」，會遠遠大過分子的「超大」。例如，當 x = 100,000 （十萬）時，x^2 = 10^10（一百億），而 x^3 卻已經變成 10^15（一千兆）。結果，(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} = 0$

— Me@2013.02.14

無限蘋果 1.2

Posted on February 12, 2013 by rpflee

無限年 2.2 | 微積分 4.2

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

其實，並不是真的有一樣東西，或者一個數字，叫做「無限」。它只是一個語言的技巧，說話的方法。每逢我們說「無限」時，即是沒有那樣東西。

例如，甲問乙：「你欠我的錢，什麼時候會歸還呢？」

乙答：「無限年之後。」

乙的意思，並不是真的有一個時間長度，叫做「無限年」。他等「無限年」之後，會把錢還給甲。乙的真正意思是，他不肯還錢。

再例如，「無人跑得快過我」，並不是指有一個人名叫「無人」，他跑得快過我。「無人」只是一種說話的方法。「無人跑得快過我」的真正意思是，「我是所有人之中，跑得最快的。」

「只是一種說話方法」的意思是，凡是有「無人」這個詞語的句子，你都可以改成沒有「無人」的版本，而又百分百保存到原本的意思。

— Me@2013.02.12

無限蘋果

Posted on February 9, 2013 by rpflee

無限年 2.1 | 微積分 4.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

…

（CYW：那是不是無限？）

不一定。如果一個分數的分子和分母，各自都是趨向「無限大」，那個分數整體，就未必會趨向「無限大」。它可能是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」。

留意，「無限」並不是一個數字。凡是「數字」，都可以用來表達大小，比較份量。例如，

3 + 1 > 3

4 > 3

的意思是，「4 個蘋果」多於「3 個蘋果」。而「4 > 3」的理由是，「4 個蘋果」等於「3 個蘋果再額外加多 1 個」。

對於任何稱得上為「數字」的東西，都會遵守

x + 1 > x

這個規則。換言話說，從來沒有一個「數字」會，加了 1 之後，仍然等於原本的數字，因為

x + 1 = x

的話，x 就不能用來比較大小。

試想想，「無限 + 1」是多少？

— Me@2013.02.09

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