機遇再生論 1.6

.

所以,「同情地理解」,亦可稱為「意念淘金術」。

機遇再生論,可以同情地理解為,有以下的意思:

(而這個意思,亦在「機遇再生論」的原文中,用作其理據。)

假設,你現在手中,有一副樸克牌,存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後,排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌,共有 N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67} 個,可能的排列。亦即是話,洗牌後仍然是排列 A 的機會率,只有 \frac{1}{N}

由於分母 N 太大(相當於 8 之後,還有 67 個位),洗牌後,理應變成另外一個排列 B 。

P(A) = \frac{1}{N}

P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}

洗了一次牌後,發覺排列是 B 不是 A 後,我們可以再問,如果再洗一次牌,「是 A」和「不是 A」的機會,分別是多少?

.

由於,機會率只是與未知的事情有關,或者說,已知的事件,發生的機會率必為 1;所以,如果發生了第一次洗牌,而你又知道其結果的情況下,問「如果再洗一次牌,『是 A』和『不是 A』的機會,分別是多少」,第二次洗牌各個可能結果,發生的機會率,與第一次洗牌的結果無關。

第二次洗牌結果為組合 A 的機會率,仍然是

P(A) = \frac{1}{N}

不是組合 A 的機會率,仍然是

P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}

.

(問:那樣,為什麼要問多一次呢?)

我是想釐清,我真正想問的是,並不是這個問題,而是另一個:

如果在第一次洗牌之前,亦即是話,一次牌都未洗的話,問:

「如果洗牌兩次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?」

把該事件標示為 A_2

A_2 = 兩次洗牌的結果,起碼一次洗到原本排列 A

再把該事件的機會率,標示為 P(A_2)

由於 P(A_2) 相對麻煩,我們可以先行運算其「互補事件」的機會率。

A_2 的互補事件為「不是 A_2」:

不是 A_2

= 兩次洗牌的結果,不是起碼一次洗到原本排列 A

= 兩次洗牌的結果,都不是排列 A

其機會率為

P(\text{not} A_2) = (1 - \frac{1}{N})^2

那樣,我們就可推斷,

P(A_2)
= 1 - P(\text{not} A_2)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^2

.

同理,在一次牌都未洗的時候,問:

如果洗牌 m 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_m)= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m

留意,N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67},非常之大,導致 (1 - \frac{1}{N}) 極端接近 1。在一般情況,m 的數值還是正常時, P(A_m) 會仍然極端接近 0。

例如,你將會連續洗一千萬次牌(m = 10,000,000),起碼有一次,回到原本排列 A 的機會是:

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000}

你用一般手提計算機的話,它會給你 0。你用電腦的話,它會給你

1.239799930857148592 \times 10^{-61}

— Me@2018-01-25 12:38:39 PM

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2018.02.13 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.5

例如,

甲在過身之後,一千億年內會重生。

是句「科學句」(經驗句),因為你知道在什麼情境下,可以否證到它 —— 如果你在甲過身後,等了一千億年,甲還未重生的話,那句就為之錯。

但是,

甲在過身之後,只要等足夠長的時間,必會重生。

則沒有任何科學意義,只是一句「重言句」;因為,沒有人可以講得出,它在什麼情況下,為之錯。

如果你等了一千億年,甲還未重生的話,這個「機遇再生論」,仍然不算錯;因為,那只代表了,那一千億年,還未「足夠長」。

把「重言句」假扮成「經驗句」,就為之「空廢命題」。

(請參閱本網誌,有關「重言句」、「經驗句」和「印證原則」的文章。)

但是,那不代表我們,應該立刻放棄,機遇再生論。反而,我們可以試行「同情地理解」。

「同情地理解」的意思是,有些理論,雖然在第一層次的分析之後,有明顯的漏洞,但是,我們可以試試,代入作者發表該理論時的,心理狀態和時空情境;研究作者發表該理論的,緣起和動機;從而看看,該理論不行的原因,會不會只是因為,作者的語文或思考不夠清晰,表達不佳而已?

其實,該理論的「真身」,可能充滿著新知洞見。那樣的話,我們就有機會把「機遇再生論」,翻譯成有意義,不空廢的版本。

所以,「同情地理解」亦可稱為「意念淘金術」。

機遇再生論,可以同情地理解為,有以下的意思:

(而這個意思,亦在「機遇再生論」的原文中,用作其理據。)

假設,你現在手中,有一副樸克牌,存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後,排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌,共有 N = 54! = 2.3 \times 10^{71} 個,可能的排列。亦即是話,洗牌後仍然是排列 A 的機會率,只有 \frac{1}{N}

由於分母 N 太大(相當於 2 之後,還有 71 個位),洗牌後,理應變成另外一個排列 B 。

P(A) = \frac{1}{N}

P(not A) = 1 - \frac{1}{N}

— Me@2017-12-18 02:51:11 PM
 
 
 
2017.12.18 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.4

『機遇再生論』的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,只要等足夠長的時間,總會發生。

但是,即使避開了「無限」,用了「足夠長」,仍然會有其他問題。「足夠長」這個詞語雖然不算違法,但是十分空泛,空泛到近乎沒有意義。

試想想,怎樣才為之「足夠長」呢?

.

以前在本網誌中提及過,凡是科學句子,都一定要有「可否證性」。因為凡是科學句子,都對世界有所描述,所以必為「經驗句」,不是「重言句」。凡是「經驗句」,必定有機會錯。換而言之,無論正確的機會率有多高,都不會是百分百。

因此,要測試某一句說話,是不是「科學句子」,你可以檢查一下,它有沒有「可否證性」。「可否證性」的意思是,如果一句「科學句子」有意義,你就可以講得出,至少在原則上,它在什麼情況下,為之錯。

例如,

甲在過身之後,一千億年內會重生。

是句「科學句」(經驗句),因為你知道在什麼情境下,可以否證到它 —— 如果你在甲過身後,等了一千億年,甲還未重生的話,那句就為之錯。

但是,

甲在過身之後,只要等足夠長的時間,必會重生。

則沒有任何科學意義。

— Me@2015.04.08

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2015.04.15 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.3

『機遇再生論』的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,在無限長的未來時間中,必會發生。

機遇再生論原始版本,有問題的字眼中,除了「所有」之外,還有「無限」。「無限」通常都是一個違法詞語。「無限」引起的問題,以前論述過,現不再詳談。請參閱「無限」系列的文章。

你可以嘗試移除「無限」這個詞語,只把「無限」的意思中,有意義的部分保留:

『機遇再生論』的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,只要等足夠長的時間,總會發生。

但是,即使避開了「無限」,用了「足夠長」,仍然會有其他問題。「足夠長」這個詞語雖然不算違法,但是十分空泛,空泛到近乎沒有意義。

試想想,怎樣才為之「足夠長」呢?

— Me@2015.04.08

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2015.04.09 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.2.2

「所有」,就是「場所之有」。

沒有明確的場所,就不知所「有」何物。

「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾來源,在於「所有」。論述中,運用「所有」這個詞語時,並沒有講清楚情境,導致它不自覺地,包括了元層次的事物。「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾,來自「本層次」和「元層次」(meta level)的矛盾。

『機遇再生論』的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,只要等足夠長的時間,總會發生。

假設『事件甲』不自相矛盾,它發生的機會就不是零;那樣,根據『機遇再生論』,甲終會發生。

但是,除非甲是必然事件,否則,『事件甲不會發生』都不會自相矛盾,它發生的機會都不是零;那樣,根據『機遇再生論』,『事件甲不會發生』終會發生。

機會再生論,會引起邏輯矛盾。

留意,「事件甲」是「本層次」的事件。但是,「事件甲不會發生」卻是「元層次」的事件,即是「元事件」。所以,如果把「機會再生論」的原始版本,修正為嚴謹版本,講清楚當中的「所有」,限於「本層件」的事件,原始版中的邏輯矛盾,就可以避免。

留意,暫時的成果,只是透過分清楚語言層次,避開了邏輯矛盾。至於「機遇再生論嚴謹版」正不正確,符不符合實情,則是另一回事,另一個話題。

— Me@2015-03-21 10:07:51 PM

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2015.03.28 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.2.1

而這個「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾來源,在於「所有」。

論述中,運用「所有」這個詞語時,並沒有講清楚情境,導致它不自覺地,包括了元層次的事物。「機會再生論」原始版本的邏輯矛盾,來自「本層次」和「元層次」(meta level)的矛盾。

「所有」即是「全部」,意思是「百分之一百」。但是,如果沒有明確的上文下理,講清楚是什麼的百分之一百,「百分之一百」就沒有明確的意思,不太知道所指何物。

相反,如果有明確的上文下理,就自然有明確的意思。例如,「三十元中的百分之一百」,就很明顯是指,那三十元。

又例如,「這間屋的所有人」,都有明確的意思,因為有明確的範圍;有範圍,就可點人數:

凡是在這間屋內遇到的人,包括你自己,你都記下名字,直到在這間屋,再不找到新的人為止。那樣,你就可以得到,有齊「這間屋所有人」的名單。

「所有」,就是「場所之有」。

沒有明確的場所,就不知所「有」何物。

— Me@2015-03-21 10:07:51 PM

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2015.03.21 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論

「機遇再生論」的大概意思是,所有可能發生的事情,例如重生,只要等足夠長的時間,總會發生。

假設「事件甲」不自相矛盾,它發生的機會就不是零;那樣,根據「機遇再生論」,甲終會發生。

但是,除非甲是必然事件,否則,「事件甲不會發生」都不會自相矛盾,它發生的機會都不是零;那樣,根據「機遇再生論」,「事件甲不會發生」終會發生。

機會再生論,會引起邏輯矛盾。

— Me@2015-03-02 05:10:07 PM
 
 
 
2015.03.09 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.6

無限年 3.6

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

(安:但是, (\delta) 是什麼呢?

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話,你對「無限小」的定義,尚未完成?)

無錯。我還需要講清楚,\delta 究竟是什麼。

不過,每一題極限(limit)題目的 \delta 都會不同。\delta 並沒有通用的定義,而是要經過一點運算才知道。例如,以這一題極限題目而言,\delta 剛好等於 (\epsilon)。

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

意思是,如果你要求數式 和 6 的距離,小於 (\epsilon),無論 \epsilon 有多麼小,你都一定可以達成,只要你設定 x 和 3 的偏差,小於 (\epsilon)。例如,如果你要求數式和 6 的距離,小於 0.001(\epsilon),只要你設定 x 和 3 的偏差小於 0.001(\delta = \epsilon),就可以達成。

(安:還有,你說那些後期數學家,就是用了這一套避開了「無限小」這個詞彙的語言,來描述牛頓和萊布尼茲,在「微積分初版」中,原本想帶出的意念。

你是否暗示了,其實「微積分初版」中的結果是正確的,雖然運算步驟含糊其詞?)

可以那樣說。「微積分初版」的運算結果大致正確;對於日常用家而言,可信可用。現在中學的「微積分」課程,也是「微積分初版」。

(安:那為什麼還要嚴格定義「無限小」?那是否庸人自擾?)

因為「微積分初版」的運算結果,只是「大致正確」,並非「完全正確」。在高深一點的理論或應用中,「微積分初版」會完全瓦解。

還有,「『微積分初版』的運算結果大致正確」,是事後孔明。「微積分初版」並不知道自己,原來「大致正確」。那是「微積分再版」對它的評語。

一日「無限小」這個邏輯漏洞尚未修補,一日也不知道,「微積分初版」在什麼情況下可以用,什麼情況下不可以。

— Me@2013.03.11

2013.03.11 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.5

無限年 3.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

當 x 接近 3 時,(x+3) 很明顯會接近 6。所以,結論是,

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

如果用粗疏的語言,我們會說,當 x 非常接近 3 時, 就會非常接近 6。

如果用「微積分初版」的語言,我們會說,當 x 和 3 的距離是「無限小」時, 和 6 的距離,都會是「無限小」。

如果準確一點的語言,我們會說,當 x 足夠接近 3 時, 就會足夠接近 6;又或者說,無論你要數式的數值,多麼接近 6 都可以,只要 x 足夠接近 3。

如果用後期數學家,所創製的嚴格語言,我要會說,

0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3 | < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right|

\forall \epsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3| < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right| < \epsilon)

意思是,如果你要求數式   和 6 的距離,小於 (\epsilon),無論 \epsilon 有多麼小,你都一定可以達成,只要你設定 x 和 3 的偏差,小於 (\delta)。換句話說,這裡定義了,何謂「足夠接近」。

那些後期數學家,就是用了這套「(ε, δ)-definition of limit」(epsilon-delta definition of limit) 的語言,來描述牛頓和萊布尼茲,在「微積分初版」中,原本想帶出的意念,而又避開了「無限小」這個詞彙。

(安:但是, (\delta) 是什麼呢?

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話,你對「無限小」的定義,尚未完成?)

— Me@2013.03.09

2013.03.09 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.4

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

(安:你的意思是,牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初,雖然必須使用「無限小」這個概念,但卻沒有賦予它,一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞,是後人幫他們修補的。)

無錯。那些數學後人,用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”),來定義「無限小」。

(安:那樣,「無限小」的嚴格定義是什麼?)

例如,數式

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時,並沒有數值,因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數,沒有任何數學意義。但是,我們卻可以研究,

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說,雖然 x = 3 並不合法,但是,我們仍然可以追問,「x 非常接近 3」時,這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的:

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後,我們約了分子和分母的(x-3):

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時,(x+3) 很明顯會接近 6。所以,結論是,

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

— Me@2013.03.07

2013.03.07 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.3

無限年 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個定義,填補了「微積分」原本的漏洞。

(安:「微積分」原本有什麼漏洞?)

原本的漏洞,在於使用了「無限小」這個字眼,而又沒有明確講述,「無限小」究竟是什麼意思。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.
This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

「微積分」的發明者,和早期的使用者,都對「無限小」的意思含糊其詞,例如:

「無限小」小過任何其他數,但它本身又不是零。(簡化起見,這裡不討論負數。)

這個講法的問題,在於自相矛盾:

即使 x = 無限小,x/2(x 的一半)理應仍然會小於 x 本身。但是,你又宣稱,x 會小於任何其他數。結論是,x 既會小於 x/2,又會大於 x/2,自相矛盾也。

— Me@2013.03.04

2013.03.04 Monday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.2

無限年 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

」 = 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

還有,這一句仍然只是「簡稱」,還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

詳細一點的版本是,

」 = 「只要 x 足夠大,1/x 就會足夠接近零。」

只要具體釐清,在這個上文下理中,何謂「足夠大」和「足夠接近」,你就可以得到「」的正式數學意思。

」 = 「無論 a 的數值是多麼小,你都可以令 1/x 和零的相差小於 a,只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」

— Me@2013.03.03

2013.03.03 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

微積分 6.1

無限年 3.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

簡便起見,你可以視「無限份之一」等如「零」。

1/infinity = 0

不過,那只是輔助記憶的密碼,而不是正確合法的數學符號,因為,「無限」並不是一個數字,你不可以用「無限」來運算,或者表達任何數量。正確的寫法是,

\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0

而它的真正意思是:

如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。

(安:那為什麼不直接那樣說,而要用複雜的數學符號來誤導人?)

因為那句說話冗長,但在數學中又要時常使用。沒有「簡稱」的話,會十分不便。正如,當我們教一個小朋友,「爺爺」是「爸爸的爸爸」的簡稱時,他同樣可以質疑,為什麼不直接說「爸爸的爸爸」,而要用複雜難寫的文字來誤導人?

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

」= 「如果 x 越來越大,1/x 會越來越接近零。」

還有,這一句仍然只是「簡稱」,還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

— Me@2013.03.01

2013.03.02 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.6

無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7

大概而言,接受不到「無限」的話,你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象,而不是一個明確的數字。 

準確而言,「無限」不是一個數字,而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程,的一個簡稱。

— Me@2013.02.27

2013.02.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.5

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法,來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案,有三種可能。

第一種情況是,因為分母中 x 的最大次方,大過分子中 x 的最大次方,所以當 x 趨向「無限大」時,整個分數會趨向「無限小」,即是零。例如,

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是,由於分母中 x 的最大次方,小過分子中 x 的最大次方,導致當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向「無限大」,即是「沒有極限」。例如,

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是,分母中 x 的最大次方,和分子中 x 的最大次方相同。那樣,當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼,你只要看看分子和分母中, x 最大次方的係數(coefficients),就可以判斷到。例如,

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

2013.02.24 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.4

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit(極限值)的正式運算方法是:

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是,雖然,因為「無限」()並不是一個數,你不可以代它於任何變數 x 之中;但是, 是卻一個數,而且等於零,所以,你可以把「零」代於所有(1/x)出現的地方。

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過,如果分子和分母同時趨向「無限」,整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」,要視乎分子中 x 次方比較大,還是分母。例如在這一題中,分子的 x 是二次方(x^2),而分母的 x 是三次方(x^3),所以,分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果,整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼,並不是正確合法的數學符號:

你可以在心裡運用,但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= (無限)^2/((無限)^3 + 6)

= 0

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法來驗算,牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

2013.02.17 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.3

無限年 2.3 | 微積分 4.3

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

由於「無限」不可以用來比較大小,它不是一個數字。所以,例如

\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)

的意思,並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說,這個極根值題目並不是問你,當 x 的數值是「無限」時,整個分數的數值是多少,因為,「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是,如果分子是一個「超大」的數,而「分母」又同時是一個「超大」數的話,整個分數的數值會是多少。

留意,這個問題並不能直接回答,因為,如果不作詳細一點的分析,我們知道的只是,當 x 是「超大」時,分子的 x^2 會變成「超大」,而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」,則暫時不知道。

它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」,要視乎分子的「超大」,還是分母的「超大」,會大過對方。在這個例子中,由於分母中 x 的次方,比分子中 x 的次方大,所以分母的「超大」,會遠遠大過分子的「超大」。例如,當 x = 100,000 (十萬)時,x^2 = 10^10(一百億),而 x^3 卻已經變成 10^15(一千兆)。結果,(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。

— Me@2013.02.14

2013.02.14 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.2

無限年 2.2 | 微積分 4.2

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

其實,並不是真的有一樣東西,或者一個數字,叫做「無限」。它只是一個語言的技巧,說話的方法。每逢我們說「無限」時,即是沒有那樣東西。

例如,甲問乙:「你欠我的錢,什麼時候會歸還呢?」

乙答:「無限年之後。」

乙的意思,並不是真的有一個時間長度,叫做「無限年」。他等「無限年」之後,會把錢還給甲。乙的真正意思是,他不肯還錢。

再例如,「無人跑得快過我」,並不是指有一個人名叫「無人」,他跑得快過我。「無人」只是一種說話的方法。「無人跑得快過我」的真正意思是,「我是所有人之中,跑得最快的。」

「只是一種說話方法」的意思是,凡是有「無人」這個詞語的句子,你都可以改成沒有「無人」的版本,而又百分百保存到原本的意思。

— Me@2013.02.12

2013.02.12 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果

無限年 2.1 | 微積分 4.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

(CYW:那是不是無限?)

不一定。如果一個分數的分子和分母,各自都是趨向「無限大」,那個分數整體,就未必會趨向「無限大」。它可能是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」。

留意,「無限」並不是一個數字。凡是「數字」,都可以用來表達大小,比較份量。例如,

3 + 1 > 3

4 > 3

的意思是,「4 個蘋果」多於「3 個蘋果」。而「4 > 3」的理由是,「4 個蘋果」等於「3 個蘋果再額外加多 1 個」。

對於任何稱得上為「數字」的東西,都會遵守

x + 1 > x

這個規則。換言話說,從來沒有一個「數字」會,加了 1 之後,仍然等於原本的數字,因為

x + 1 = x

的話,x 就不能用來比較大小。

試想想,「無限 + 1」是多少?

— Me@2013.02.09

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