無限年 3.7

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：那就即是話，我們使用「無限小」這個詞語，只是為了教學和運算上的便利，而並不是真的有一個數字，叫做「無限小」。）

無錯。

— Me@2013.03.13

2013.03.13 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

無限年 3.6

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：但是， (\delta) 是什麼呢？

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話，你對「無限小」的定義，尚未完成？）

無錯。我還需要講清楚，\delta 究竟是什麼。

不過，每一題極限（limit）題目的 \delta 都會不同。\delta 並沒有通用的定義，而是要經過一點運算才知道。例如，以這一題極限題目而言，\delta 剛好等於 (\epsilon)。

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

意思是，如果你要求數式 和 6 的距離，小於 (\epsilon)，無論 \epsilon 有多麼小，你都一定可以達成，只要你設定 x 和 3 的偏差，小於 (\epsilon)。例如，如果你要求數式和 6 的距離，小於 0.001（\epsilon），只要你設定 x 和 3 的偏差小於 0.001（\delta = \epsilon），就可以達成。

（安：還有，你說那些後期數學家，就是用了這一套避開了「無限小」這個詞彙的語言，來描述牛頓和萊布尼茲，在「微積分初版」中，原本想帶出的意念。

你是否暗示了，其實「微積分初版」中的結果是正確的，雖然運算步驟含糊其詞？）

可以那樣說。「微積分初版」的運算結果大致正確；對於日常用家而言，可信可用。現在中學的「微積分」課程，也是「微積分初版」。

（安：那為什麼還要嚴格定義「無限小」？那是否庸人自擾？）

因為「微積分初版」的運算結果，只是「大致正確」，並非「完全正確」。在高深一點的理論或應用中，「微積分初版」會完全瓦解。

還有，「『微積分初版』的運算結果大致正確」，是事後孔明。「微積分初版」並不知道自己，原來「大致正確」。那是「微積分再版」對它的評語。

一日「無限小」這個邏輯漏洞尚未修補，一日也不知道，「微積分初版」在什麼情況下可以用，什麼情況下不可以。

— Me@2013.03.11

2013.03.11 Monday (c) All rights reserved by ACHK

無限年 3.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

如果用粗疏的語言，我們會說，當 x 非常接近 3 時， 就會非常接近 6。

如果用「微積分初版」的語言，我們會說，當 x 和 3 的距離是「無限小」時， 和 6 的距離，都會是「無限小」。

如果準確一點的語言，我們會說，當 x 足夠接近 3 時， 就會足夠接近 6；又或者說，無論你要數式的數值，多麼接近 6 都可以，只要 x 足夠接近 3。

如果用後期數學家，所創製的嚴格語言，我要會說，

0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3 | < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right|

\forall \epsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3| < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right| < \epsilon)

意思是，如果你要求數式   和 6 的距離，小於 (\epsilon)，無論 \epsilon 有多麼小，你都一定可以達成，只要你設定 x 和 3 的偏差，小於 (\delta)。換句話說，這裡定義了，何謂「足夠接近」。

那些後期數學家，就是用了這套「(ε, δ)-definition of limit」(epsilon-delta definition of limit) 的語言，來描述牛頓和萊布尼茲，在「微積分初版」中，原本想帶出的意念，而又避開了「無限小」這個詞彙。

（安：但是， (\delta) 是什麼呢？

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話，你對「無限小」的定義，尚未完成？）

— Me@2013.03.09

2013.03.09 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：你的意思是，牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初，雖然必須使用「無限小」這個概念，但卻沒有賦予它，一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞，是後人幫他們修補的。）

無錯。那些數學後人，用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”)，來定義「無限小」。

（安：那樣，「無限小」的嚴格定義是什麼？）

例如，數式

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時，並沒有數值，因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數，沒有任何數學意義。但是，我們卻可以研究，

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說，雖然 x = 3 並不合法，但是，我們仍然可以追問，「x 非常接近 3」時，這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的：

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後，我們約了分子和分母的(x-3)：

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

…

— Me@2013.03.07

2013.03.07 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

無限年 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

這個定義，填補了「微積分」原本的漏洞。

（安：「微積分」原本有什麼漏洞？）

原本的漏洞，在於使用了「無限小」這個字眼，而又沒有明確講述，「無限小」究竟是什麼意思。

This work is in the public domain in the United States, and those countries with a copyright term of life of the author plus 100 years or less.

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「微積分」的發明者，和早期的使用者，都對「無限小」的意思含糊其詞，例如：

「無限小」小過任何其他數，但它本身又不是零。（簡化起見，這裡不討論負數。）

這個講法的問題，在於自相矛盾：

即使 x = 無限小，x/2（x 的一半）理應仍然會小於 x 本身。但是，你又宣稱，x 會小於任何其他數。結論是，x 既會小於 x/2，又會大於 x/2，自相矛盾也。

— Me@2013.03.04

2013.03.04 Monday (c) All rights reserved by ACHK

無限年 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「爺爺」=「爸爸的爸爸」

「」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

「\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0」 = 「如果 x 越來越大，1/x 會越來越接近零。」

還有，這一句仍然只是「簡稱」，還未精確到可以視為數學句子。完整的版本詳盡很多。

詳細一點的版本是，

「」 = 「只要 x 足夠大，1/x 就會足夠接近零。」

只要具體釐清，在這個上文下理中，何謂「足夠大」和「足夠接近」，你就可以得到「」的正式數學意思。

「」 = 「無論 a 的數值是多麼小，你都可以令 1/x 和零的相差小於 a，只要你設定 x 的數值大於 1/a 。」

— Me@2013.03.03

2013.03.03 Sunday (c) All rights reserved by ACHK