背誦量

全像記憶 3

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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(TK: 運算機會率題目時,如何提升準確度?)

九成九是靠背誦 —— 背誦眾多運算方法,和萬千驗算技巧。當然,我不是要你「死背」,而是要你「生背」,即是明白以後才背。

千萬不要企圖,自己發明任何方法。一來,你未有那些智力。二來,即使有,你也負擔不到那些時間。

只有數學家才會,負擔得起那些智力,和那些時間。

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(TK: 其實我是有背的,但是,時常也誤中副車,差一點才能想中正確方法。)

或者說,你背得不夠多,或者不夠詳細。我所指的「背」,其實份量是十分驚人的。

例如,假設考試有可能出現的機會率題目,總共有 5 類。我並不是說,你每類也背誦一題的方法,就可以奪得好成績。

實際上,你的背誦量,並不只是 5 題,而隨時可能是 50 題,因為,同一種題目,可以有(例如)10 種不同的問法。

那 10 種題形的應對方法(和對應的驗算技巧),你都要背誦,因為,同一種題目,你要背誦了它,很多不同的版本,才會領略到,背後的精髓。那你才可以做到「明白以後才背」,即是「生背」。

如果你一定要成績奪 A,背誦量是十分驚人的。所以,我多次提醒你,你在每次做 past paper(以往試題),或其他練習之前,也一次要先背誦你的「魔法筆記」。

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「背」的意思並不是說,你把「魔法筆記」,由頭至尾,閱讀一次就算。「背」的真正意思是,要你做到「過目不忘」,即是,在平日做練習,或者考試時,你都可以在心裡翻查,筆記上的每一頁,每一個細節。

— Me@2014.10.05

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2014.10.06 Monday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 4

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 個蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)

因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。

如果你要百分百地通透理解,這一題的運作原理,你不妨試試重組案情 —— 用最原始的方法去思考和運算,而不用排列(nPr)和組合(nCr)的公式。

7 個蘋果中選 3 出來,即是相當於有 3 個格子要填滿:

(_)(_)(_)

第一格有 7 個選擇:

(7)(_)(_)

第二格則有,餘下的 6 個可能性:

(7)(6)(_)

如此類推:

(7)(6)(5)

這代表了 7 個蘋果抽 3 個出來排隊的話,有多少個排列方法(permutation)。但是,現在重視的是組合(combination),而不是排列。亦即是話,重要的是,你究竟要在那 7 個蘋果之中,選了哪 3 個出來。至於它們 3 個之中,哪一個先被選出、哪一個後被選出,並不重要。

所以,你應該把剛才的中途答案,除以(3!),因為,被選的 3 個蘋果,內部總共有(3!)種排列方法。

3! = 6

那 6 個「排列」,都應歸類為,同一個「組合」 。

(7)(6)(5)
—————-
    (3!)

= 35

至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。

如果你任何「數學科技」也不喜歡,而想再原始一點,直情(乾脆)連「階乘公式」(n!)都不用的話,你可以自行推斷一下,已選了的那 3 個蘋果之中,內部會有多少個排列方法。

那其實就相當於,已知有 3 個人入了總決賽,爭奪冠亞季軍,然後問,總共有多少個,可能的比賽結果?

你可以這樣想,冠亞季有 3 個席位:

(_)(_)(_)

第一格有 3 個選擇:

(3)(_)(_)

第二格則有,餘下的兩個可能性:

(3)(2)(_)

如此類推:

(3)(2)(1)

所以,那 3 個蘋果的內部,總共有(3)(2)(1),即是 6 個排列方法。那 6 個排列,都應歸類為是同一個組合。

(7)(6)(5)
—————-
(3)(2)(1)

= 35

至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。

但是,而「7C2 x 5C1」則不行,等如 105,不是正確的。不信的話,你可以試試建構一下,「7C2 x 5C1」的原始式子:

(7)(6)|(5)
——— ——-
(2)(1)|(1)

  (7)(6)|(5)
= ——— ——
    (2!) |(1!)

= 105

你會發現,這式子答非所問,並不是題目描述的情況。

— Me@2014.04.21

2014.04.24 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 3

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以,而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤?)

如果要變成正確,你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3,才會得到正確答案呢?

亦即是話,在這裡,「除以 3」的實際意思,又是什麼呢?

把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」是錯誤的原因是,你暗地裡為那三個蘋果,加了一點次序。

例如,假設原本的 7 個蘋果是 A、B、C、D、E、F 和 G,而你抽到了 A、B、E 三個蘋果。在考慮 7C3 時,

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個次序,要視為一個情況,因為 7C3 的意思是「組合」,重點是你由那 7 個蘋果之中,買了哪 3 個,而不是先拿哪一個,後拿哪一個。

如果你接受不到這一點,你可以想像,現在是要由 A、B、C、D、E、F 和 G 七個人之中,抽 3 個出來,組成一隊 3 人樂隊,即是音樂組合。組成音樂組合的話,

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個選人次序,要視為一個情況,因為這 6 個次序,都代表著同一隊樂隊,都同樣是由 A、B、E 三人組成的。但是,如果你把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」,即是把「7 選 3」硬要看成「7 選完 2 後再選 1」的話,運算的結果就會變成:

AB E

BA E

AE B

EA B

BE A

EB A

意思是,

AB E

BA E

會視為同一個情況;

AE B

EA B

又會視為同一個情況;

BE A

EB A

則會視為第三個情況。但是,這 3 類情況,會視為 3 個不同的可能性。亦即是話,原本應視為同一個「組合」的 6 個「排列」,會被誤會為 3 個不同的「組合」方法。

建構樂隊時時,只要被選的是 A、B、E,哪一個是最尾被抽出來,根本不重要。但是,「7C2 x 5C1」卻偏偏重視,哪一個是最尾被抽出來。那就是為什麼,「7C3」和「7C2 x 5C1」的不同之處,在於「7C2 x 5C1」中,你暗地裡為那三個蘋果,加了一點次序。

(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)

因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。

— Me@2014.04.14

2014.04.15 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 2

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

(A:我大概明白你的解釋。但是,情感上,我仍然接受不到,「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」,的確有所不同。)

如果你堅持要把「7 選 3」,看成「7 選完 2 後再選 1」,而又要得到正確答案的話,你可以用 nPr 的方法。

「nPr」即是「n 排 r」—— 如果有 n 個物件,選 r 出來排隊,總共有多少個排列方法?

例如,由 7 個蘋果之中,選 3 個蘋果出來,總共就有 7P3,即是 210 個排法。

但是,題目要的是「組合」,不是「排列」。亦即是話,題目只重視,如果 7 個蘋果之中購買 3 個,有多少個選擇方法,而購買的次序並不重要。

換句話說,被選的 3 個蘋果的內部次序,不予考慮。所以,你應該把 7P3 除以(3!),才可以把「排列」翻譯成「組合」,得到正確的答案:

7P3/(3!)

= 210/6

= 35

這個答案,和 7C3 的結果相同。

你剛才說,你很想把「7 選 3」,看成「7 選完 2 後再選 1」。你可以這樣做:

首先,由 7 個蘋果之中,選兩個出來排隊。

7P2

然後,再由餘下的 5 個蘋果之中,選 1 個出來排隊。

(7P2)(5P1)

最後,就把次序因素刪除。

(7P2)(5P1)/(3!)

= 35

你都會得到 35。

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以,而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤?)

如果要變成正確,你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3,才會得到正確答案呢?

亦即是話,在這裡,「除以 3」的實際意思,又是什麼呢?

— Me@2014.04.05

2014.04.06 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

nCr

乘法意思 6

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

答案是 7C3(「7 選 3」),即是總共有,35 個可能的組合。

(A:那我可不可以把題目看成,分兩次抽 3 個蘋果出來?

首先,我由那 7 個蘋果中,抽兩個出來,即是 7C2。然後,我由餘下的 5 個蘋果中,再抽 1 個出來,即是 5C1。所以,答案應該可以寫成「7C2 乘以 5C1」。

但是,「7C2 x 5C1」卻是 105,不是 35 。錯在那裡呢?)

「7C3」和「7C2 x 5C1」,所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中,任意選 3 個出來,總共有多少個可能。

而「7C2 x 5C1」則是指,由一箱 7 個蘋果之中,任意選 2 個出來;然後,再由另一箱 5 個蘋果之中,抽一個出來,即是 5C1,總共有多少抽法。

留意,「7C2 x 5C1」根本不是你所指,代表「首先由 7 個蘋果中,抽兩個出來;然後,再由同一箱餘下的 5 個蘋果中,抽 1 個出來」。

(A:但是我仍然不太明白,「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」,為何有所不同。)

互相獨立的因素,才會用乘法。你記不記得,在學習「機會率」時,學過這一點?

其實,歸根究底,「互相獨立的因素,如果一併考慮,總共有多少個組合」,就是乘法的根本意思,即是定義。

例如,一個長方形的長度增減,並不會影響闊度的大小,反之亦然。所以,長方形面積等於「長乘闊」的其中一個原因是,長和闊,是互相獨立的因素。

如果你把「7C2 x 5C1」看成,「由第一箱 7 個蘋果之中,任意選兩個出來;然後,再由另外箱 5 個蘋果中,抽 1 個出來,即是 5C1,總共有多少個抽法」,那就正確,因為,你由第一箱 7 個蘋果之中,抽了哪兩個出來,並不會影響到,你由第二箱 5 個蘋果之中,抽了 1 個出來時,會抽到哪 1 個。

但是,如果你把「7C2 x 5C1」看成,「由 7 個蘋果中,抽兩個出來;然後,再由同一箱餘下的 5 個蘋果中,抽一個出來」,那就不正確,因為,這兩個步驟,並不是互相獨立。第一個步驟結果,會影響到第二個步驟的結果。

你在「由 7 個蘋果中,抽兩個出來」時,抽了哪兩個,會影響到那箱中,將會餘下哪 5 個蘋果,給你第二個步驟去選。

— Me@2014.04.01

2014.04.01 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 1.2

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

(問:在運算機會率題目時,怎樣可以知道,自己的思路有沒有錯呢?)

一方面,你盡量在每一題的機會率題目,也同時使用「P 方法」和「S 方法」,互作驗算。

另一方面,在用「P 方法」時,如果面對的是稍為複雜的題目,你要重點留意的,是畫好 Tree Diagram(樹形圖)。Tree Diagram 雖然是最原始,但同時亦是最有效的,機會率思考工具。

— Me@2013.12.24

2013.12.24 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 1.1

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

有一個箱子,內裡有三顆骰子。三顆之中,只有一顆是「公平骰子」,有 1、2、3、4、5、6 六面。另外的兩顆,每一顆有 0、0、1、1、2、2 六面。假設對於三顆骰子中的每一顆而言,每一面出現的機會率都是六分之一。那樣,如果從那箱子中,隨機抽兩顆出來,然後再擲的話,擲到兩顆都是 2 的機會率是多少?

做機會率題目的主要難處是,好像沒有步驟可言,導致很難檢驗,自己的思考有沒有漏洞。所以,做機會率的題目時,一定要驗算。而驗算的方法就是,用兩個完全不同的方法去做。如果它們都得出同樣的答案,錯的機會就很微。對於機會率題目而言,建議同時使用「P 方法」和「S 方法」,互作校對。

「P 方法」的意思是 Probability(機會率)方法,即是將幾個 probability 分數乘在一起,從而得到最終的機會率分數。

「S 方法」的意思是 Statistics(統計學)方法,即是透過 counting(點數)去運算;由此至終,只寫一個分數 —— 將所有可能性放在分數,然後再將你想要的可能性,放在分子。

以這題為例:

~~~

P 方法:

透過 Tree Diagram(樹形圖),可以得出:

P(三顆骰抽兩顆,然後兩顆都擲到 2)

= (1/3)(1/6)(1)(1/3) + (2/3)(1/3)[(1/2)(1/6) + (1/2)(1/3)]

= …

= 2/27

~~~

S 方法:

一個大分數

= (分子)/(分母)

= 想要的可能性/所有的可能性

所有的可能性 = 三顆骰子選兩顆 x 每顆有六面 = (3C2)(6)(6) = 108

(「3C2」即是「3 選 2」;「3 選 2」有 3 個可能性。

想要的可能性 = 二粒都是 2

= 1×2 (抽到一顆骰子正常,一顆不正常)+ 1×2(抽到一顆正常,和抽到另一顆的不正常骰子)+ 2×2(兩顆骰子也不正常)

= 8

所以,

P(三顆骰抽兩顆,然後兩顆都擲到 2)

= 8/108

= 2/27

「S 方法」所得出的答案

= 2/27

= 「P 方法」所得出的答案

所以,這題機會率的運算,錯的機會就很微。

— Me@2013.12.20

2013.12.21 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

機會率一樣

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

運算機會率題目時,盡量不要用「一樣」這個字眼;盡量不要說「因為兩個情況一樣,所以你要將中途答案乘二」這類說話。

例如,問題是:

如果擲兩個錢幣,擲到一公一字(1H1T)的機會率是多少?

假設每一個錢幣都是正常的,即是擲到公字的機會均等,也是 1/2。

這題很簡單容易,所以用最原始的方法也無妨:

HH
HT
TH
TT

總共有 4 個可能的結果。根據題目的假設,它們每個的發生機會均等,都是 1/4;而中間的兩個可能,都是題目想要的結果,所以,答案是 2/4,即是 1/2。

在解釋這一點時,如果要用「一樣」這個詞語,我可以用兩個完全相反的講法。換而言之,「一樣」會造成混淆。

HH
HT <
TH <
TT

我既可以說,因為中間的兩個案例「一樣」 —— 都是「一公一字」 —— 符合題目的要求,所以兩個案例都要,導致分子是 2,答案是四分之二:

2
_

4

但是,我又可以說,因為中間的兩個案例「不一樣」 —— 一個是「第一個公、第二個字」,而另一個是「第一個字、第二個公」 —— 所以應該視為兩個案例,而不是 1 個。那樣,分子就應該是 2,而不是 1。答案是四分之二:

2
_

4

化簡後是 1/2。

— Me@2013.07.27

2013.07.27 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 3

二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事:

利用 multinomial coefficient(分組公式)時,有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,各自有 5 人,那總共有多少個可能?

答案表面上是 10_C_5,即是「10 選 5」,因為,你要考慮由那 10 人之中,選 5 人出來組成第一組樂隊,有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是,實際上,正確的運算方法,應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是,題目只要求把那 10 人分成,兩組人數相同的樂隊,而題目並沒有要求區分,哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如,

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『ACEGI』5 人出來,先組成一隊

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『BDFHJ』5 人出來,先組成一隊

」,

在這一題上文下理的要求下,應該歸納為同一個「case」(事件可能性),因為,兩者的結果都同樣是:

『ACEGI』為之一隊,而『BDFHJ』則為之另一隊。

如果題目改為:

如果有 10 個人,要抽 5 人出來,組成一隊音樂組合,那總共有多少個可能?

答案則是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,第一組有 5 人,而第二組又有 5 人,那總共有多少個可能?

答案都是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話,試一試這題:

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人,而第二輛的載客量是 5 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5,還是 10_C_5 呢?

— Me@2013.07.19

2013.07.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.6

二項式係數 4.6 | Binomial coefficient 4.6

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率,或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

首先,總共有 10 個坐位,第一輛車有 4 個,而第二輛車有 6 個:

(_)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第一個人去第一輛車時,有 10 個可能的人:

(10)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第一輛車時,有 9 個可能性:

(10)(9)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 4 人也是乘坐第一輛車,題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共有 24 個。所以,分母應該要有一個 24 的因子:

24 = 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

然後,我們考慮第二輛車。因為餘下的有 6 個人,抽第一個人去第二輛車時,就有 6 個可能的人:

(10)(9)(8)(7)|(6)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第二輛車時,有 5 人可能性:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 6 人也是去乘坐第二輛車。題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共就有 720 個。所以,分母還有一個, 720 的因子:

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
———————————————————
 (4)(3)(2)(1)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)

= 210

在連 factorial(階乘)都不懂的情況下,你就需要用到這個詳細的做法。如果你懂 factorial,即使假設還未學會 n_C_r,你仍然可以用一個,精簡一點的做法:

首先,有 10 個人 10 個位,所以總共有(10!)個排法:

(10!)
——–
(_)(_)

但是,第一輛車的那 4 人,內在次序不重要,所以,你要把那(4!)個排法「歸一」:

(10!)
——–
(4!)(_)

同理,第二輛車的那 6 人,內在次序亦不重要,所以分母再有一個(6!)的因子:

(10!)
——–
(4!)(6!)

= 210

— Me@2013.07.15

2013.07.15 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.5

二項式係數 4.5 | Binomial coefficient 4.5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

言歸正傳,剛才我講過:

記住,是否視之為「一個」可能性,並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如,在這一題中,題目問的是「分法」,而不是「抽法」,或者「坐法」。

所以,答案明顯是 10_C_4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

而我亦提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」—— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 4 個人 和 第二組有 6 個人。因為是「分組」,即是「分成組合」,所以每組內部的次序並不重要。

但是,你剛才又追問:

但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?

那樣,我就會答:

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

— Me@2013.07.12

2013.07.12 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.4

二項式係數 4.4 | Binomial coefficient 4.4

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

換而言之,從 10 人中抽 4 人出來,組成第一隊樂隊,總共有多少個抽法呢?

在這個情況下,次序很明顯不重要。試想想,假設你從那 10 人中,抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」,還是「ACBE」,他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合,你都會視之為「同一隊」樂隊。

但是,如果問題改為:

從 10 人中抽 4 人出來,去參加一個音樂比賽,而沒有其他參賽者的話,總共有多少個可能的比賽排名結果呢?

那樣,被抽了出來的那 4 個人中,不同的人拿冠軍,為之不同的排名,不同的結果。所以,次序需要考慮。運算方面,詳細的版本是:

首先,考慮有「冠、亞、季、殿」軍 4 個空格:

(_)(_)(_)(_)

因為冠軍寶座有 10 個可能的奪得者,所以,第一格是 10:

(10)(_)(_)(_)

其中 1 人奪得冠軍後,亞軍還有 9 個可能的領獎人士:

(10)(9)(_)(_)

如此類推的話,我們就可以推斷到,總共有 5040 個可能的比賽結果:

(10)(9)(8)(7)

= 5040

精簡的版本則是:

題目明確地問,有多少個可能的比賽排名。所以,題目所問的,就相當於:

從 10 人中抽 4 人出來,而次序重要的話,總共有多少個抽法呢?

那是 permutation(排列)。答案明顯是 10_P_4,即是「10 排 4」,等於 5040。

10_P_4 =

10!
——-
(10-4)!

結論是,總共有 5040 個可能的比賽排名。

— Me@2013.07.08

2013.07.08 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.3

二項式係數 4.3 | Binomial coefficient 4.3

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

(CYW:用你這個講法,我好像明白多了一點。但是,如果沿用我剛才的問法,我又確實感覺到,應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心,可以在考試時準確分辨,哪些時候需要考慮「次序」,哪些時候不需要。)

那就代表了,你仍然不太明白我的解答。或者,你先搞清楚,combination(組合)和 permutation(排列)的分別。

運算方面,毋須考慮次序的,就為之「組合」,公式是「nCr」;必須考慮次序的,就為之「排列」,公式是「nPr」。

而真正困難的,是在運算之前,要準確分辨,需要考慮次序,還是不需要。你只要利用正常的智力,一般的常識,再加上「組合」和「排列」這兩個詞語的輔助,就可以清晰劃分。

意思是,凡是題目明示或者暗示,尋找「組合」數目的,就毋須考慮,各個組合內部的次序,因為那是「組合」這個詞語的意思。例如,假設那 10 人是「ABCDE FGHIJ」,要分成兩隊「音樂組合」,簡稱「樂隊」。如果第一隊有 4 人,第二隊有 6 人,總共有多少個分配隊員方法?

換而言之,從 10 人中抽 4 人出來,組成第一隊樂隊,總共有多少個抽法呢?

在這個情況下,次序很明顯不重要。試想想,假設你從那 10 人中,抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」,還是「ACBE」,他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合,你都會視為「同一隊」樂隊。

— Me@2013.07.04

2013.07.04 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.2

二項式係數 4.2 | Binomial coefficient 4.2

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

答案明顯是 10C4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

結論同樣是,如果第一輛車載 4 名乘客,而第二輛車載 6 名,總共就有 210 個,可能的分配乘客方法。

(CYW:但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?)

因為題目並沒有問這一點;那並不是題目所問的問題。那是答非所問也。如果我把你的問題轉一轉化,那就會清晰一些:

但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來後,例如「甲、乙、兩、丁」四人,他們去乘坐第一輛車時,將會有很多種編配座位的方法。所以,我覺得「甲、乙、兩、丁」並不應視為「一個」可能性。

記住,是否視之為「一個」可能性,並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如,在這一題中,題目問的是「分法」,而不是「抽法」,或者「坐法」。

題目重視的是,10 人之中,分配 4 人去乘第一輛車,有多少個方法。題目並不介意,某 4 人被抽出來時的先後次序,或者在上第一輛車時,有多少個選位方法。

(CYW:用你這個講法,我好像明白多了一點。但是,如果沿用我剛才的問法,我又確實感覺到,應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心,可以在考試時準確分辨,哪些時候需要考慮「次序」,哪些時候不需要。)

— Me@2013.07.01

2013.07.02 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.1

二項式係數 4.1 | Binomial coefficient 4.1

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

你只要用二項式係數(binomial coefficient),就可以立刻知道答案。題目所問的,就相當於

如果要從那 10 人之中,抽 4 個出來(去乘坐第一輛車),總共有多少種抽法?

答案明顯是 10_C_4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

另一個看法是,你直接把這題看成「分組問題」,用「多項式係數」(multinomial coefficient)去運算。

總共有 10 個人,所以分子是 (10!):

(10!)
——–
(__)

總共有兩組,所以分母有兩個因子:

(10!)
——–
(_)(_)

第一組有 4 個人,所以第一個因子是 (4!):

(10!)
——–
(4!)(_)

第二組有 6 個人,所以第二個因子是 (6!):

(10!)
——–
(4!)(6!)

結論同樣是,如果第一輛車載 4 名乘客,而第二輛車載 6 名,總共就有 210 個,可能的分配乘客方法。

(CYW:但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?)

— Me@2013.06.29

2013.06.29 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

考慮次序與否 2.2

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

有一個袋子,內裡有十張卡紙。每張卡紙上,都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」,即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙,不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。問題是,你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少?

P 方法:

S 方法:

我們先考慮所有可能結果的總數,放於分母;然後,再考慮可以接受的結果有多少,放於分子。

(_)
(   )

總共有 10 字母,選 3 個出來,所以共有 10_C_3 個可能。(10_C_3)即是 「10 選 3」,等於 120。

(____)
(10_C_3)

而眾多可能的結果中,我們接受的,是「兩 A 一 B」的情況。換句話說,即是要從三個 A 中,選兩個出來;從三個 B 中,選一個出來;和從四個 C 中,選零個出來。

(3_C_2)(3_C_1)(4_C_0)
____________
          (10_C_3)

   (3)(3)(1)
= _____
      (120)

結論是,抽到三個 A 的機會率是 3/40。

(3)(3)(1)
_____
   (120)

= 3/40

答案和 P 方法的結果相同,即是正確的機會很大。

— Me@2013.01.27

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.27 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

考慮次序與否 2.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

初學機會率的其中兩個最大難處是,要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」,例如:

我們再考慮另一個例子:

有一個袋子,內裡有十張卡紙。每張卡紙上,都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」,即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙,不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。問題是,你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少?

P 方法:

總共要抽三個字母:

(_)(_)(_)

抽第一個時,總共有十個字母,而你想要的 A,則有三個。所以,第一個機會率分數是十分之三(3/10)。

(3/10)(_)(_)

抽第二個時,總共餘下九個字母,而你想要的 A,則還有兩個。所以,第二個機會率分數是九分之二(2/9)。

(3/10)(2/9)(_)

最後,總共餘下八個字母,而你想要的 B,則有三個。所以,第三個機會率分數是八分之三(3/8)。

(3/10)(2/9)(3/8)

暫時的結論是,抽到 A A B 的機會率是 1/40。

(3/10)(2/9)(3/8)

= 1/40

在用「S 方法」驗算前,我們先考慮,我們需不需要,再額外考慮「次序問題」呢?

需要,因為剛才那幾個機會率分數,只包括了 A A B,即是「頭兩個是 A 而最尾一個是 B」的情況。那並不是題目的設定。題目並沒有要求三個之中,哪一個是 B。所以,還有其他情況需要考慮:

(A)(A)(B)

(A)(B)(A)

(B)(A)(A)

(HYC:這一題很明顯是只有三種情況。但是,當題目不是那麼簡單,數字不是那麼小,而是要我選(例如)「四 C 三 A」時,我怎樣保證,可以羅列所有相關的情況,沒有遺漏?)

你可以這樣想:

(_)(_)(_)

三格之中,你要放一個是 B,有多少方法呢?

很明顯,有 3_C_1 種可能。3_C_1 即是「3 選 1」,等於 3。所以,你只要將剛才的中途結果乘以 3,就可以得到最終答案。

(3/10)(2/9)(3/8)3_C_1

=(1/40)3

= 3/40

結論是,抽到「兩 A 一 B」的機會率是 3/40。

(HYC:我明白為何共有 3_C_1 種情況。但是,我不明白,為何只要將 3_C_1 乘上其中一個案例的機會率,就可以得到整體的機會率。)

你的憂慮是合理的。實情是,那 3_C_1 種情況,是三種不同的處境,需要各自計算,然後把它們相加,來得出整體的機會率。

(A)(A)(B)=(_)(_)(_)

(A)(B)(A)=(_)(_)(_)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

剛才運算過,「(A)(A)(B)」的機會是 1/40。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(_)(_)(_)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

而第二種情況「(A)(B)(A)」,抽到第一張是 A 的機會是 3/10,因為十張卡紙中,有三張是 A;抽第二張是 B 的機會是 3/9,因為餘下的九張卡紙中,有三張是 B;抽第三張是 C 的機會是 2/8,因為餘下的八張卡紙中,還剩兩張是 A。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

類似地,第三種情況「(B)(A)(A)」的機會是(3/10)(3/9)(2/8)。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

(B)(A)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

理論上,三種情況要各自計算,從而會有三道不同的算式。但是實際上,你會發覺三道不同算式,會有相同的結果,都是 1/40。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)= 1/40

(B)(A)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)= 1/40

所以,剛才的講法「只要把『(A)(A)(B)』的機率乘以 3_C_1,就可以得以整體結果」,雖然概念上「有點不負責任」,但實際上,會得到正確的最終答案。

還有,很多時候,那是必須的捷徑。例如,如果題目問你「從『AAABBBCCCC』中,抽出七個字母,抽到『兩 A、兩 B 和 三 C』的機會是多少」,你就總共有 210 種情況要各自考慮、個別運算,除非你願意使用捷徑。

— Me@2013.01.24

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.25 Friday (c) All rights reserved by ACHK