考慮次序與否 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

初學機會率的其中兩個最大難處是,要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」,例如:

有一個袋子,內裡有十張卡紙。每張卡紙上,都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」,即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙,不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。問題是,你抽中三個都是 A 的機會率是多少?

P 方法:

S 方法:

我們先考慮所有可能結果的總數,放於分母;然後,再考慮可以接受的結果有多少,放於分子。

(_)
(   )

總共有 10 字母,選 3 個出來,所以共有 10_C_3 個可能。(10_C_3)即是 「10 選 3」,等於 120。

(____)
(10_C_3)

而眾多可能的結果中,我們接受的,是「三個都是 A」的情況。換句話說,即是要從三個 A 中,選三個出來;從三個 B 中,選零個出來;和從四個 C 中,選零個出來。

(3_C_3)(3_C_0)(4_C_0)
____________ 
          (10_C_3)

   (1)(1)(1)
= _____ 
      (120)

結論是,抽到三個 A 的機會率是 1/120。

(1)(1)(1)
_____ 
   (120)

= 1/120

答案和 P 方法的結果相同,即是正確的機會很大。

— Me@2013.01.22

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.22 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

考慮次序與否 1.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

初學機會率的其中兩個最大難處是,要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」,例如:

有一個袋子,內裡有十張卡紙。每張卡紙上,都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」,即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙,不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。問題是,你抽中三個都是 A 的機會率是多少?

P 方法:

總共要抽三個字母:

(_)(_)(_)

抽第一個時,總共有十個字母,而你想要的 A,則有三個。所以,第一個機會率分數是十分之三(3/10)。

(3/10)(_)(_)

抽第二個時,總共餘下九個字母,而你想要的 A,則有兩個。所以,第二個機會率分數是九分之二(2/9)。

(3/10)(2/9)(_)

類似地,第三個機會率分數是八分之一(1/8)。

(3/10)(2/9)(1/8)

結論是,抽到三個 A 的機會率是 1/120。

(3/10)(2/9)(1/8)

= 1/120

在用「S 方法」驗算前,我們先考慮,我們需不需要,再額外考慮「次序問題」呢?

(HYC:你的意思是,你只考慮了,抽到「AAA」這個籠統的情況。但是「A」其實有三個,所以會形成六種可能性。

方便起見,我叫第一個 A 做「A1」、第二個 A 做「A2」和 第三個 A 做「A3」。那六種可能的結果是:

(A1)(A2)(A3)

(A1)(A3)(A2)

(A2)(A1)(A3)

(A2)(A3)(A1)

(A3)(A1)(A2)

(A3)(A2)(A1)

那樣,我們需不需要再把,以上的結果乘以 6 呢?)

不需要,因為剛才那幾個機會率分數,其實已內置了次序的考慮:

3/10)(2/9)(1/8)

正正是因為第一張被抽出來的卡紙,無論是 A1、A2 還是 A3 都可以接受,第一個機會率分數的分子才會是 3。你那種結果,正正是分子的(3 x 2 x 1)。

3/10)(2/9)(1/8)

= 6/720

— Me@2013.01.20

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.20 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

對稱情境 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙,而每張卡紙上,都有由 1 到 10 的其中一個數字,沒有重複。現在,甲要由第一個袋中,抽一張卡紙出來。而乙則要在另一個袋中,抽另一張卡紙出來。假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。

如果甲的數字大過乙,那就為之「甲勝」。如果乙的數字大過甲,那就為之「乙勝」。已知「甲勝」的機會率是 q。問題是,「甲乙打和」的機會是多少?

甲乙所面對的情境,完全相同,所以「甲勝」和「乙勝」的機會率,不會有分別。這種「情境相同」的情況,學名叫做「對稱」。

(CYM:為何沒有分別?)

這裡有兩點需要明白。第一點是,何謂「對稱情境」。第二點是,為何「對稱情境」會導致「甲乙的機會率相同」。

第二點「只能意會 不能言傳」。如果你不是立刻感受到,我亦很難透過直接的解釋,令到你明白。我唯有詳細一些,解釋第一點的「何謂對稱情境」,從而間接令你感受到第二點的「為何機會率相同」。

你現在先試試站在甲的立場,體會一下他感受到什麼。他看的是:

自己的袋中有 1 到 10 的十張卡紙。而對方的袋中,又同樣有 1 到 10 的十張卡紙。如果我抽到的卡紙,數字比對方的大,我就獲勝。

然後,你再站在乙的立場,體會一下他又感受到什麼。他看的是:

自己的袋中有 1 到 10 的十張卡紙。而對方的袋中,又同樣有 1 到 10 的十張卡紙。如果我抽到的卡紙,數字比對方的大,我就獲勝。

你會發覺,甲乙的處境一模一樣,隻字不差。同一個處境,就會有同一個結果。(那就是「科學」的意思。)所以,「甲勝」和「乙勝」的機會必定相同。

— Me@2013.01.17

2013.01.17 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

對稱情境 1.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙,而每張卡紙上,都有由 1 到 10 的其中一個數字,沒有重複。現在,甲要由第一個袋中,抽一張卡紙出來。而乙則要在另一個袋中,抽另一張卡紙出來。假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。

如果甲的數字大過乙,那就為之「甲勝」。如果乙的數字大過甲,那就為之「乙勝」。已知「甲勝」的機會率是 q。問題是,「甲乙打和」的機會是多少?

整個遊戲只有三個可能的結果 ── 「甲勝」、「乙勝」 或者 「打和」 ── 而它們是互斥事件。所以,

P(甲勝)+ P(打和)+ P(乙勝)= 1

因為「甲勝」的機會是 q,而甲乙所面對的情境,又完全相同,所以「乙勝」的機會和「甲勝」一樣,都是 q。

q + P(打和)+ q = 1

P(打和)= 1 – 2q

結論是,「甲乙打和」的機會率是(1 – 2q)。

— Me@2013.01.13

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.13 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

抽兩個數

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

假設有兩個袋。每個袋中都有十張卡紙,而每張卡紙上,都有一個由 1 到 10 的其中一個數字,沒有重複。現在,你要由每個袋中,隨機抽一張卡紙出來。換句話說,各個可能性的機會均等。問題是,你抽到兩個相同數字的機會率是多少?

P 方法:

總共要抽兩個數字:

(_)(_)

第一個數字,什麼也可以接受,所以機會率分是一。

(1)(_)

第二個數字,則要同第一個數字吻合,而十個數字中,只有一個和第一個相同。所以,第二格的機會率是十分之一(1/10)。

(1)(1/10)

結論是,抽到兩個相同數字的機會率是 1/10。

(1)(1/10)= 1/10

S 方法:

我們先考慮所有可能結果的總數,放於分母;然後,再考慮可以接受的結果有多少,放於分子。

(_)
(   )

總共要抽兩個數字。每個數字各自有十個可能性。所以,整體有(10 x 10)個可能結果。

(___)
(10)(10)

而眾多可能之中,只有十組是可以接受的,包括(1,1)、(2,2)……(10,10)。所以,分子是十(10)。

 (10)
____
(10)(10)

結論是,抽到兩個相同數字的機會率是 1/10。

 (10)
____
(10)(10)

= 1/10

— Me@2013.01.10

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK

機會率哲學 5

Interpretations of probability | Tree diagram 2

For a fraction representing a probability, the denominator is the known.

In a tree diagram, the starting point is the known.

conditional probability

= changing the denominator

= changing the starting point of a tree diagram

— Me@2012.12.07

2012.12.09 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

機會率悲劇 1.2

Monty Hall problem 1.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

.

「機會均等假設」如果胡亂使用,會得到很多荒唐的結論。例如,小明跟媽媽說:「在這次考試,我的成績有兩個可能。要麼我考到全班第一,要麼我考不到全班第一。所以,今次我有一半的機會,考到全班第一。」

媽媽回答:「荒謬!」

小明再解釋:「『考到全班第一』和『考不到全班第一』已經窮盡了,這次考試結果的所有可能。你不會想像到,有第三個情況出現。」

那樣,小明的媽媽,應該如何反駁他呢?

只有兩個可能的結果,並不代表各自的機會率是二分之一。除非題目假設,又或者有以往的實驗數據支持,例如小明在以往的考試中,平次每兩次中,就會有一次考第一;否則,你不能自己假設,機會率會平均分配於各個可能性。

而這個「故亂假設機會均等」的思考錯誤,往往形成塵世間很多悲劇,例如選錯配偶和選錯事業。「我加入這一行,要麼成功,要麼失敗。所以,我成功的機會有一半。」那即使不是顯意識的思考,大概也會是潛意識的想法。

這個錯誤來自,不必要地選擇無知。正當的做法是,先做功課,先做好資料搜集。以自己當時可以得到,最多和最準確的資訊,去評價自己,加入某一行時,成功和失敗的機會率,各佔多少。即使那個機會率不會十分詳細,例如「成功的機會是 57%」,你也至少要有個大概,知道成功的機會較大,還是失敗。如果成功的機會較大,是約略大多少呢?是不是大到,值得你投資未來五年的人生,去作嘗試呢?

雖然,那也不保證一定成功,但是至起碼,即使錯了,也可以問心無愧。而且,如果你是在做足功課的情況下失敗,你吸收到的知識經驗,將會是最豐富的。那將大大提高你,未來成功的機會率。

— Me@2012.11.19

.

.

2012.11.19 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機會率悲劇 1.1

Monty Hall problem 1.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

(安:「蒙提霍爾問題」(Monty Hall problem)十分有趣。有趣的地方在於,一方面,大部分人都會答錯;另一方面,即使知道了答案及其運算方法,大部分人都仍然接受不到,因為答案嚴重違反一般人的直覺。甚至,很多受過「機會率」正式訓練的人士,都誤墮這個「機會率陷阱」。

「蒙提霍爾問題」的劇情是,有關一個「開門抽獎遊戲」。遊戲的大局是,在一位遊戲參加者的面前,會有三扇門。其中一扇門的後面,有一輛名貴房車。另外兩扇間後面,各有一隻山羊。

首先,主持人會叫那位參賽者,選擇其中一扇門。然後,主持人會打開那一扇門。遊戲的規則是,如果門後的是名貴房車,參賽者就可以得到它。

「蒙提霍爾問題」的第一個假設是,三扇門「門後有房車」的機會均等。換句話說,無論參賽者選擇哪一扇門,中獎的機會,同是三分之一。

「蒙提霍爾問題」的第二個假設是,參賽者選了一扇門後,主持人在第一步,不會打開那扇門,反而,會先打開另外兩扇門的其中一扇。然後,大家會發現,開了的門後面,有一隻山羊。亦即是話,房車位於未開的兩扇門的其中一扇後面。這時,主持人會給予參賽者,一次重新選擇的機會。那位參賽者可以維持選擇,或者改為要另一扇門。

「蒙提霍爾問題」是,這個情況下,參賽者應否改變選擇?又或者說,參賽者如果改變選擇,可不可以提高他中獎的機會率呢?

This is a public domain image.

In search of a new car, the player picks a door, say 1. 
The game host then opens one of the other doors, say 3, 
to reveal a goat and offers to let the player pick door 2 instead of door 1.

— Wikipedia on Monty Hall problem

一般人的想法是,既然選兩扇門中的任何一個,機會都是二分之一,即使轉換選擇,也不會增加勝算。

但是,答案竟然不是那樣。原來,維持選擇的中獎機會,只有三分之一。改變選擇的中獎機會,卻有三分之二。)

這個結果震撼的地方在於,它違反人們一個根深柢固,但通常也錯的直覺。大部人也以為,各個可能結果的機會均等。如果一件事只有兩個可能的結果,每個結果的機會率,就一定是二分之一。這個「機會均等假設」大錯特錯。

— Me@2012.11.18

2012.11.18 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

歸納筆記 2.2

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

試想想,如果你有在臨考前背誦「魔記筆記」,又怎可能在考試時「臨場遺忘」,內裡記載的常用技巧呢?

你們可能會問:「又怎可能在半小時內,把『魔法筆記』的所有內容,都閱讀一次呢?」

你留意,你現在手上的「魔法筆記」,並不是「真身」,而只是第一個版本。如果你跟足「魔法筆記方法」的劇情,臨考試前「魔法筆記」,一定會很薄。「魔法筆記」的原意,是把課程內容的(例如)四百頁,歸納成二百頁,成為第一個版本。然後,再把那二百頁,歸納成一百頁,成為第二版,如此類推。臨考試前的「魔法筆記」,應該只有少於五十頁。

另外,保證準時的唯一方法,就是大大提早到達。考試當日,正常人也會十分緊張,會提早出門,以防有突發交通事故。如果行程順利,你會在早於開考前的一個小時,就到達試場。所以,可用於背誦筆記的時間,通常也不只半小時那麼少。 

— Me@2012.11.16

2012.11.16 Friday (c) All rights reserved by ACHK

歸納筆記 2.1

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

這個方法,只作「娛樂」之用。考試時,就應該用剛才的速成方法,以節省時間。又或者,兩個方法也用,以作驗算。

(HYC:但是,這一題我只會想到正常的,慢一點的方法。)

那你又毋須要求,自己會發明到那個速成方法。你現在試試用一次,然後把它記載於「魔法筆記」之中,考試時就自然會記得,因為根據「魔法筆記」的設計,你除了在平日要背誦外,在臨考試前的半小時,還要高速瀏覽一次,提一提醒自己。

(CYW:但是,我一到考試臨場緊張時,很多時也會忘記,必須的技巧。有沒有方法可以記得呢?)

我不斷推介的「魔法筆記」方法,正正是要徹底解決這個問題。而這個方法的重點是,必須有系統地,長期反覆背誦,考試必須的知識和技巧。試想想,如果你有在臨考前背誦「魔記筆記」,又怎可能在考試時「臨場遺忘」,內裡記載的常用技巧呢?

你們可能會問:「又怎可能在半小時內,把『魔法筆記』的所有內容,都閱讀一次呢?」

— Me@2012.11.13

2012.11.14 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

至少兩個不同 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

有三個方格,你要填上三個英文字母。

_ _ _

每一格都是由 {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J} 十個字母中,抽其中一個出來。字母可以重複被抽中,例如,第一格是 A 的話,第二格都可能是 A。假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。那樣,「至少有兩個字母不同」的機會率是多少?

(HYC:如果不用你的速成方法,可以怎樣做?)

P(「三個之中,至少有兩個字母不同」)

= P(「三個也不同」或者「其中兩個相同,而餘下的一個不同」)

由於這兩種情況「互斥」,不可能同時發生,所以可以化作加數。

P(「三個之中,至少有兩個字母不同」)

= P(「三個也不同」)+ P(「其中兩個相同,而餘下的一個不同」)

= (1)(9/10)(8/10) + (1)(1/10)(9/10)(3_C_2)

(CYW:為什麼第二項會多了一個「3_C_2」?)

第二項的意思是,

P(「其中兩個相同,而餘下的一個不同」)

= P(「第一、二個相同,而第三個不同」) 乘以 「三選二」

因為「其中兩個相同」,可以有幾個可能,包括「頭兩個相同」、「尾兩個相同」或者「頭尾相同」。換句話說,三個之中選兩個相同,共有 3_C_2 種方法。「3_C_2」即是「三選二」,等如 3。

結論是

P(「三個之中,至少有兩個字母不同」)

= (1)(9/10)(8/10) + (1)(1/10)(9/10)(3_C_2)

= 0.99

這個方法,只作「娛樂」之用。考試時,就應該用剛才的速成方法,以節省時間。又或者,兩個方法也用,以作驗算。

— Me@2012.11.11

2012.11.11 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

至少兩個不同

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

有三個方格,你要填上三個英文字母。

_ _ _

每一格都是由 {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J} 十個字母中,抽其中一個出來。字母可以重複被抽中,例如,第一格是 A 的話,第二格都可能是 A。假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。那樣,「至少有兩個字母不同」的機會率是多少?

(HYC:好像有很多個可能,例如:AAB、ABB、BBA 和 EFG 等等。)

你可以試試這樣想:「至少兩個不同」即是「不是全部相同」。

P(at least two are different)

= P(not all the same)

= 1 – P(all the same)

你先計「全部相同」的機會率,然後用「一」去減它就可以。 

— Me@2012.11.08

2012.11.08 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

機會率應試 1.5

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

(CYW:我思考機會率題目時,時常都會數漏了一些 cases(情況/事件的可能性)。那樣 … … 我不知如何問。)

不要緊,我大概估計到,你想問什麼。解決的方法是,你記錄下自己的錯誤,用以提醒將來的自己,不要再犯同一個錯誤。

(CYW:那我豈不是要記錄很多東西?)

無錯。你這個講法非常有見地。考試致勝之道是

always make new mistakes

(不斷犯新錯)

這兒有兩句。你看不看到有兩句?

第一句是「_always_ make new mistakes」。第二句是「always make _new_ mistakes」。要成功,一來要不斷不停地犯錯,二來要保證每個錯誤都是全新的。同一個錯誤,不可犯多過一次。留意,「全新」的意思是,不單是相對於自己來說,而且是相對於「全人類」來說。亦即是話,即使不是自己犯錯的運算錯誤,如果你已經見證過其他同學犯過,那對你來說,都是「舊錯誤」,不容再犯。

「為何那個同學,在考試時不會犯錯呢?」因為他在家裡大量做題目,把考試時人類所有可能犯的錯誤,都事先犯過一次,導致在考試時,對那些錯誤,都有免疫力。當然,他為了塑造一個「神人」的形象,通常也不會給你知道,家中溫習時的慘痛經歷。

情形就好像,「為什麼電視劇中的演員,說話十分暢順,從來沒有口吃的情況呢?」同一個場景,同一個「鏡頭」,同一句對白,電視台會不斷重複拍攝,直到「完成」為止。演員的說話暢順,只不過是電視台把所有「NG 鏡頭」都刪除罷了。

— Me@2012.11.02

2012.11.02 Friday (c) All rights reserved by ACHK

機會率應試 1.4

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

「基礎類型」就好像是「積木方塊」;而「組合化身」就即是那堆「積木方塊」,所砌成的東西。「砌法」有很多,「積木」有很少。那如何令到自己,清晰看到那些「積木方塊」呢?

最理想是有理想的老師教你,直接給予你那些「積木方塊」。另外,你亦可以透過對比不同題目。例如,這題和那題的外表,雖然大大不同,但是,都同樣要用到「技巧甲」。那樣,「技巧甲」就是其中一塊「重要積木」。

我們之所以要有一雙眼,而不是一隻,是為了在任何時間,都可以在同一時刻,從同一個客觀環境中,接收到兩個稍為不同的主觀影像。從左右影像的差別,腦部可以判斷環境中,各個物件的深度,即是距離自己有多遠。兩隻眼看東西,才會有明顯的立體感。同理,透過對比同一個章節中的不同題目,你可以明確判斷,各個技巧的相對重要程度。亦即是話,哪些是核心?哪些是次要?哪些是技節?哪些是不相干?

你不用太擔心,因為那不算是額外的工作。我提議的「魔法筆記」系統,已經「內置」了「對比題目」的功能。如果你平日會做大量題目,而又習慣了每題收集重點的話,那些機會率題目的「基礎類型」,自然會盡收於你的「魔法筆記」之中。

— Me@2012.10.31

2012.10.31 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

機會率應試 1.3

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

或者這樣,你試試不斷收集各種類型的機會率題目,於「魔法筆記」中。當你已經收集了四十類時,如果竟然再發現有第四十一類,你就應該退修這一科。

(CYW:退修這一科,豈不是會浪費了一年?)

浪費一年,總好過浪費兩年。

(HYC:Drop o左佢?!那樣,我會不夠科目升讀大學。)

那是最極端悲觀的情況,當然不易會發生。公開試中的機會率題目,大概不會有四十類那麼多吧。實情可能是有二十多類。如果只有二十多類,對年青人的頭腦來說,不會是困難,一定會記得到。

而且,我所講的「機會率題目類型」中的所謂「類型」,是指「基礎類型」。「基礎類型」即使不多,它們的組合可以千變萬化,可以有各式各樣的化身。換句話說,我要你收集的,是「基礎類型」,而不是它們的「組合化身」,除非是特別常見的「組合化身」。如果你發現往年的公開試中,機會率題目的類型,竟然有超過四十種的話,你大概是誤入歧途,不是真的在收集「基礎類型」。

— Me@2012.10.29

2012.10.29 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機會率應試 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

所以,你在平日溫習時,要盡量儲備多些案例,尤其是 past paper(歷屆試題)的案例。如果你在考試前,已經儲了二十種類型的機會率題目,而在考試時,竟然出現第二十一類的話,你不用太擔心,因為其他考生也會同樣驚慌失措。

然後,你要小心一點,真正的公開試歷屆試題,或者考試範圍,會不會有超多類型的機會率題目?

(CYW:我也不太清楚。)

或者這樣,你試試不斷收集各種類型的機會率題目,於「魔法筆記」中。當你已經收集了四十類時,如果竟然再發現有第四十一類,你就應該退修這一科。

— Me@2012.10.27

2012.10.27 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

機會率應試 1.1

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

(CYW:這類題目好像真的很難。如果考試遇到這些題目,應該怎麼辦?)

那要視乎你在考試前,即是平日溫習時,有否做過這類題目。做過的話,可以試一試。未做過的話,未必需要做,因為對於機會率題目來說,如果做一類從來未遇過的,通常都會錯。

不信的話,你試想一想一些已經明白的題目類型,回憶第一次見到它們時的感受。其實是一頭霧水的。莫講話要運算到正確答案,有時連題目問什麼,也不是十分清楚。例如,剛才我們討論這一題時,是亂打亂撞,互相提點下完成的。考試時時間倉促,大概不能那麼奢侈。

那你如何知道一題,是否以前遇過類型的題目呢?

你可以嘗試做一做,做到多少得多少,做不到就算。

— Me@2012.10.25

2012.10.25 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

淘汰賽 2.2

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽,共有八人參加。換句話說,有四場初賽,淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象,由抽籤隨機決定,即是各個可能性的機會均等。

另外,每人在每場勝利的機會相同,都是二分之一。

問題是,其中兩個參賽者 A 和 B,在第二輪比賽,即是準決賽,相遇的機會率有多少?

             (_)  (_)                決賽  

     (_)  (_)        (_)  (_)       準決賽

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)   初賽

第一對  第二對  第三對  第四對

P 方法:

S 方法:

我們先考慮所有可能排列的總數,放於分母;然後,再考慮可以接受的排列有多少,放於分子。

(_)
(   )

準決賽總共有 8 個可能的參加者, 4 個位置,所以共有 8P4 個可能的排列。(8P4)即是 「8 排 4」,等於 1680。

(__)
(8P4)

而眾多可能的排列中,我們接受的是 A B 對賽的情況,總共有 4 類。

(A)(B)  (_)(_)

(B)(A)  (_)(_)

(_)(_)  (A)(B)

(_)(_)  (B)(A)

所以,分子先有一個(4)的因素。

  (4)
___
(8P4)

另外,餘下有 6 個可能的參加者,兩個位置,所以共有 6P2 個可能的排列。所以,分子再有一個(6P2)。

(4)(6P2)
____
  (8P4)

結論是, A 和 B 在準決賽相遇的機會是 1/14。

(4)(30)
____
 (1680)

= 1/14

答案和 P 方法的結果相同,即是正確的機會很大。

— Me@2012.10.22

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2012.10.22 Monday (c) All rights reserved by ACHK

淘汰賽 2.1

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽,共有八人參加。換句話說,有四場初賽,淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象,由抽籤隨機決定,即是各個可能性的機會均等。

另外,每人在每場勝利的機會相同,都是二分之一。

問題是,其中兩個參賽者 A 和 B,在第二輪比賽,即是準決賽,相遇的機會率有多少?

             (_)  (_)                決賽   

     (_)  (_)        (_)  (_)       準決賽

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)   初賽

第一對  第二對  第三對  第四對

P 方法:

在準決賽相遇的先決劇情是

1. A B 的初賽比賽位置,可以令他們晉級後相遇;

2. A B 在初賽各自勝利。

先考慮第一點,有關 A B 的初賽位置。我們假想先放 A、B 的其中一個,例如 A,在適當的位置。然後,再放 B 於適當的位置。

(_)(_)

只要把兩個機會率相乘,就代表 A 和 B 都在適當位置的機會。

首先,第一個人放在哪個位置都可以,所以第一個人的位置一定會適當,機會率是一(1)。亦即是話,對於第一個人來說,有 8 個可能的位置,而 8 個都可以接受,所以機會率是八分之八(8/8)。

(1)(_)

然後,對於第二個人來說,有 7 個可能的位置,而只有 2 個可以接受。亦即是話,如果 A 已經選定比賽位置,而 B 又要和 A 於準決賽相遇的話, B 就只有兩個選擇。例如,如果 A 在第一對位置出現, B 就一定要在第二對位置參賽。所以, B 在適當位置的機會率是七分之二(2/7)。

(1)(2/7)

另外, A B 在初賽各自要勝利。所以,要乘多兩個二分之一。

(1)(2/7)(1/2)(1/2)

結論是, A 和 B 在準決賽相遇的機會是 1/14。

(1)(2/7)(1/2)(1/2)= (1/14)

S 方法:

— Me@2012.10.21

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2012.10.21 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

淘汰賽 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽,共有八人參加。換句話說,有四場初賽,淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象,由抽籤隨機決定,即是各個可能性的機會均等。問題是,其中兩個參賽者 A 和 B,在初賽相遇的機會率有多少?

P 方法:

S 方法:

初賽共有 8 格參賽位置,即是 4 對。

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)

我們先考慮所有可能排列的總數,放於分母;然後,再考慮可以接受的排列有多少,放於分子。

(_)
(   )

總共有 8 個人 8 個位置,所以共有 8! 個可能的排列。

(_)
(8!)

而我們想要的結果是, A、B 在初賽相遇。我們接受的可能性包括,

A、B 在第一對參賽位置、

(A)(B)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)

A、B 在第二對參賽位置、

(_)(_)  (A)(B)  (_)(_)  (_)(_)

A、B 在第三對參賽位置、

(_)(_)  (_)(_)  (A)(B)  (_)(_)

或者 A、B 在第四對參賽位置。

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (A)(B)

所以,分子有一個(4)的因素。

(4)
__
(8!)

然後,考慮到即使 A、B 的內部對調位置,結果都可以接受:

(B)(A)  (_)(_)  (_)(_)  (_)(_)

(_)(_)  (B)(A)  (_)(_)  (_)(_)

(_)(_)  (_)(_)  (B)(A)  (_)(_)

(_)(_)  (_)(_)  (_)(_)  (B)(A)

分子再有一個(2)。

(4)(2)
___
  (8!)

餘下有 6 個位置給 6 個人選擇。所以,分子還有一個(6!)。

(4)(2)(6!)
_____
    (8!)

結論是, A 和 B 在初賽相遇的機會是 1/7。

(4)(2)(6!)
_____
    (8!)

= (1/7)

答案和 P 方法的結果相同,即是正確的機會很大。

— Me@2012.10.18

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.18

2012.10.19 Friday (c) All rights reserved by ACHK