人格考試 1.1

Posted on May 9, 2013 by rpflee

萬事俱備 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

年青時，我怕考試時忘記帶計數機。所以，我會有一部計數機，長駐於我的書包之中。那樣，即使我忘記了帶計數機，也會帶了計數機。

（LMC：那你平時豈不是沒有計數機可用？）

我書包內的那一部，並不是平時用的那一部。反正你在考試時，都要帶兩部計數機。

（LMC：我在公開試時會那麼小心。但是，在校內試就不會那麼認真，真的每次也帶兩部計數機。）

你應付「校內試」時，就應該好像面對「公開試」那麼認真。那樣，「校內試」才會有「公開試演習」的功用。如果你在「校內試」得過且過，它就喪失了訓練你「考試心理質素」的效果。

考試不單會考驗你的具體知識，而且會測試你的整體人格。以數學科為例，大概只有兩成是考你的數學知識。其餘八成，則是考你的人格。人格之中，數學科主要考你三方面 —— 速度、準確度和語言。

「速度」的意思是，你能否在作答試題時，妥善管理時間，完成所有題目？

「準確度」的意思是，你對題目指示的理解，是否鉅細無遺？然後，你的推理運算，是否分毫不差？

「語言」的意思是，你能否用最簡單清晰的語言，來表達你的數學思想？

這些都要靠平日，長年累月的習慣訓練，導致考試時可以條件反射；並沒有任何直接的「溫習」方法，可以「溫習人格」。換而言之，考試是兩分考學問，八分考能力。如果你只是「知識多」但是「能力差」，考試不會有好結果。

— Me@2013.05.07

萬事俱備

Posted on May 4, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

凡是你有東西怕不記得帶，有一個絕招，可以令你不用再怕。那就是不要把那樣東西，由書包拿出來。那樣，你就變相每天都會帶那樣東西。

年青時，我怕考試時忘記帶計數機。所以，我會有一部計數機，長駐於我的書包之中。那樣，即使我忘記了帶計數機，也會帶了計數機。

— Me@2013.05.04

無限蘋果 1.5

Posted on February 24, 2013 by rpflee

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法，來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案，有三種可能。

第一種情況是，因為分母中 x 的最大次方，大過分子中 x 的最大次方，所以當 x 趨向「無限大」時，整個分數會趨向「無限小」，即是零。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} = 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是，由於分母中 x 的最大次方，小過分子中 x 的最大次方，導致當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向「無限大」，即是「沒有極限」。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} \to \infty$

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是，分母中 x 的最大次方，和分子中 x 的最大次方相同。那樣，當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼，你只要看看分子和分母中， x 最大次方的係數（coefficients），就可以判斷到。例如，

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + 3 x + 7}{5 x^3 + 3 x^2 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + \hspace{5mm} \dots}{5 x^3 + \hspace{5mm} \dots}$

$= \hspace{5mm} \dots$

$= \frac{2}{5}$

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

無限蘋果 1.4

Posted on February 17, 2013 by rpflee

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit（極限值）的正式運算方法是：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{x^2}{x^3} \right)}{\left(\frac{x^3 + 6}{x^3}\right)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{1}{x} \right)}{\left(1 + \frac{6}{x^3}\right)}$

$= \frac{\left( 0 \right)}{\left(1 + 0 \right)}$

$= 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是，雖然，因為「無限」（ $\infty$ ）並不是一個數，你不可以代它於任何變數 x 之中；但是， $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ 是卻一個數，而且等於零，所以，你可以把「零」代於所有（1/x）出現的地方。

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過，如果分子和分母同時趨向「無限」，整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子中 x 次方比較大，還是分母。例如在這一題中，分子的 x 是二次方（x^2），而分母的 x 是三次方（x^3），所以，分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果，整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼，並不是正確合法的數學符號：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3}$

$= 0$

你可以在心裡運用，但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= （無限）^2/（（無限）^3 + 6）

= 0

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法來驗算，牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

無限蘋果 1.3

Posted on February 14, 2013 by rpflee

無限年 2.3 | 微積分 4.3

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

由於「無限」不可以用來比較大小，它不是一個數字。所以，例如

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)

的意思，並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說，這個極根值題目並不是問你，當 x 的數值是「無限」時，整個分數的數值是多少，因為，「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是，如果分子是一個「超大」的數，而「分母」又同時是一個「超大」數的話，整個分數的數值會是多少。

留意，這個問題並不能直接回答，因為，如果不作詳細一點的分析，我們知道的只是，當 x 是「超大」時，分子的 x^2 會變成「超大」，而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」，則暫時不知道。

它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子的「超大」，還是分母的「超大」，會大過對方。在這個例子中，由於分母中 x 的次方，比分子中 x 的次方大，所以分母的「超大」，會遠遠大過分子的「超大」。例如，當 x = 100,000 （十萬）時，x^2 = 10^10（一百億），而 x^3 卻已經變成 10^15（一千兆）。結果，(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} = 0$

— Me@2013.02.14

驗算極限 1.1

Posted on January 30, 2013 by rpflee

微積分 3.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

運算 limit（極限值）的題目時，有一個很簡單的方法驗算。那就是用計數機再運算一次。例如，假設你透過徒手運算，得到以下答案：

$\lim_{x \to 3} \left( \frac{x^2 - 9}{x - 3} \right) = 6$

lim_{x -> 3} (x^2 – 9)/(x – 3) = 6

用計數機驗算時，雖然你不可以代 3 落 x 之中，因為那會導致分母變 0，但是，你卻可以代一個十分接近 3 的數字，例如 3.001，看看那數學式子的數值，是否十分接近你的運算結果。（還有，那正正是 limit 這個抽象數學概念，背後的真正實際意思。）

$\left( \frac{3.001^2 - 9}{3.001 - 3} \right) = 6.001 \approx 6$

(3.001^2 – 9)/(3.001 – 3) = 6.001

但是，如果 x 所趨向的是「無限大」，你應代什麼數，才為之「接近無限大」呢？

你可以試試代一個大數，例如 100,000。我們看看另一道例題：

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{3 x^2 - 9 x - 3}{4x^2 - 3} \right)$

lim_{x -> infinity} (3 x^2 – 9 x – 3)(4 x^2 – 3)

你先徒手運算。假設得到的答案是 3/4。然後，你用計數機，把 x = 100,000 代落數式之中：

$\left( \frac{3 (100000)^2 - 9 (100000) - 3}{4(100000)^2 - 3} \right)$

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3}{4(100000)^2 – 3)

如果你發覺計數機的結果，十分接近你的答案，你運算錯誤的機會，就微乎其微。

$\left( \frac{3 (100000)^2 - 9 (100000) - 3}{4(100000)^2 - 3} \right) \approx 0.7499775 \approx 0.75 = \frac{3}{4}$

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3)/(4(100000)^2 – 3) = 0.7499775

— Me@2013.01.29

微積分驗算 1.1

Posted on April 23, 2012 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。

考試時，你怕做錯 differentiation 的話，就應該做驗算。驗算的方法有兩種。你選擇其中一種方法去用就可以。

第一種方法是，做了 differentiation 後，用計數機核對。現在，有一些計數機，有 differentiation 的功能。

第二種方法是，你用超過一種途徑，去運算同一題 differentiation，看看可不可以得到同一個答案。例如，如果要運算 d/dx ( sin x / x )，你既可以用 product rule，又可以用 quotient rule。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right)$

用 product rule 的話，你就要把「sin x 除以 x」看成「sin x 乘以 1/x」。

$\frac{d}{dx} \left[ (\sin x) \left(\frac{1}{x}\right) \right]$

— Me@2012.04.23

微積分 2

Posted on May 18, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 1 日的對話。

留意，我只是說做了一個「不定積分」（indefinite integration）後，你可以對答案式子做一次「微分」（differentiation），看看是否得回題目的式子。是的話，你答案正確的機會就十分高。

但是，我從來沒有說過，你做了一題「微分」題目後，可以透過對答案做一次「不定積分」，以作驗算。那是不行的。

「微分」是機械程序，「不定積分」不是。「微分」比「不定積分」簡單容易很多。所以，你應該用「微分」來驗算「不定積分」題目，而不應該用「不定積分」來校對「微分」題目。

如果要驗算「微分」題目的話，你要用其他方法。其中一個方法是，用一部有「微積分」功能，而又被考試局認可的計數機。

— Me@2011.05.18

倒轉步驟按

Posted on May 15, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 1 日的對話。

考試時，大部分考生即使懂做題目，往往會因為按計數機時按錯按鍵，導致損失大量的答案分。

（CSK：我時常都是那樣的。）

（CKY：我會按完以後，立刻重新再按一次，以作檢查。）

你可以試試用我的方法：第一次按完後，你會得到一個答案。在第二次按時，利用那個答案倒轉步驟按，看看能否得回題目的數字。

例如，題目是「1.831 x 6.234 = ?」假設第一次按時，你按到 11.41。第二次按時，你可以試試按「11.41 除以 6.234」，看看是否等如題目的 1.831。

即使是特別複雜的運算，「倒轉步驟按」其實也很容易簡單。

例如，題目是 $\sqrt{1.367\sin{58^\circ}}=?$ 。假設第一次按時，你按到 1.077。第二次按時，你可以試試按 $\sin^{-1}[1.077^2\div1.367]$ ，看看是否等如題目的 $58^\circ$ 。

「重新用原本的方法按一次」的不好處是，如果你第一次按錯了，你有機會在第二次按時，在同一個步驟按錯。而「倒轉步驟按」就正正防範了這個問題。一個錯的答案，通過「倒轉步驟按」，可以和題目數字吻合的機會微乎其微。

如果你在第一次按時的答案是錯的，而利用那個錯的答案，在「倒轉步驟按」時，你竟然可以得回題目的數字，導致你誤以為那個答案是對的話，那就即是天意：命中注定你要錯那一題。

— Me@2011.05.15

兩部計數機

Posted on October 28, 2010 by rpflee

這段改篇自 2010 年 4 月 8 日的對話。

考試當日，要帶兩部計數機。

（CN：兩部計數機？）

考試時，萬一你原本的計數機壞了，而又沒有後備的話，你就斷送了一生幸福（，因為你該科將會不合格）。

（CN：那又是。）

— Me@2010.10.28

Physics Town

continues

Category Archives: calculator | 神奇計數機

人格考試 1.1

萬事俱備

無限蘋果 1.5

無限蘋果 1.4

無限蘋果 1.3

驗算極限 1.1

微積分驗算 1.1

微積分 2

倒轉步驟按

兩部計數機