人格考試 1.1

萬事俱備 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

年青時,我怕考試時忘記帶計數機。所以,我會有一部計數機,長駐於我的書包之中。那樣,即使我忘記了帶計數機,也會帶了計數機。

(LMC:那你平時豈不是沒有計數機可用?)

我書包內的那一部,並不是平時用的那一部。反正你在考試時,都要帶兩部計數機。

(LMC:我在公開試時會那麼小心。但是,在校內試就不會那麼認真,真的每次也帶兩部計數機。)

你應付「校內試」時,就應該好像面對「公開試」那麼認真。那樣,「校內試」才會有「公開試演習」的功用。如果你在「校內試」得過且過,它就喪失了訓練你「考試心理質素」的效果。

考試不單會考驗你的具體知識,而且會測試你的整體人格。以數學科為例,大概只有兩成是考你的數學知識。其餘八成,則是考你的人格。人格之中,數學科主要考你三方面 —— 速度、準確度 和 語言。

「速度」的意思是,你能否在作答試題時,妥善管理時間,完成所有題目?

「準確度」的意思是,你對題目指示的理解,是否鉅細無遺?然後,你的推理運算,是否分毫不差?

「語言」的意思是,你能否用最簡單清晰的語言,來表達你的數學思想?

這些都要靠平日,長年累月的習慣訓練,導致考試時可以條件反射;並沒有任何直接的「溫習」方法,可以「溫習人格」。換而言之,考試是兩分考學問,八分考能力。如果你只是「知識多」但是「能力差」,考試不會有好結果。

— Me@2013.05.07

2013.05.09 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

萬事俱備

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

凡是你有東西怕不記得帶,有一個絕招,可以令你不用再怕。那就是不要把那樣東西,由書包拿出來。那樣,你就變相每天都會帶那樣東西。

年青時,我怕考試時忘記帶計數機。所以,我會有一部計數機,長駐於我的書包之中。那樣,即使我忘記了帶計數機,也會帶了計數機。

— Me@2013.05.04

2013.05.04 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.5

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法,來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案,有三種可能。

第一種情況是,因為分母中 x 的最大次方,大過分子中 x 的最大次方,所以當 x 趨向「無限大」時,整個分數會趨向「無限小」,即是零。例如,

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是,由於分母中 x 的最大次方,小過分子中 x 的最大次方,導致當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向「無限大」,即是「沒有極限」。例如,

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是,分母中 x 的最大次方,和分子中 x 的最大次方相同。那樣,當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼,你只要看看分子和分母中, x 最大次方的係數(coefficients),就可以判斷到。例如,

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

2013.02.24 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.4

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit(極限值)的正式運算方法是:

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是,雖然,因為「無限」()並不是一個數,你不可以代它於任何變數 x 之中;但是, 是卻一個數,而且等於零,所以,你可以把「零」代於所有(1/x)出現的地方。

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過,如果分子和分母同時趨向「無限」,整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」,要視乎分子中 x 次方比較大,還是分母。例如在這一題中,分子的 x 是二次方(x^2),而分母的 x 是三次方(x^3),所以,分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果,整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼,並不是正確合法的數學符號:

你可以在心裡運用,但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= (無限)^2/((無限)^3 + 6)

= 0

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法來驗算,牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

2013.02.17 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.3

無限年 2.3 | 微積分 4.3

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

由於「無限」不可以用來比較大小,它不是一個數字。所以,例如

\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)

的意思,並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說,這個極根值題目並不是問你,當 x 的數值是「無限」時,整個分數的數值是多少,因為,「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是,如果分子是一個「超大」的數,而「分母」又同時是一個「超大」數的話,整個分數的數值會是多少。

留意,這個問題並不能直接回答,因為,如果不作詳細一點的分析,我們知道的只是,當 x 是「超大」時,分子的 x^2 會變成「超大」,而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」,則暫時不知道。

它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」,要視乎分子的「超大」,還是分母的「超大」,會大過對方。在這個例子中,由於分母中 x 的次方,比分子中 x 的次方大,所以分母的「超大」,會遠遠大過分子的「超大」。例如,當 x = 100,000 (十萬)時,x^2 = 10^10(一百億),而 x^3 卻已經變成 10^15(一千兆)。結果,(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。

— Me@2013.02.14

2013.02.14 Thursday (c) All rights reserved by ACHK