多項選擇題 6

Multiple Choices 6

這段改編自 2010 年 8 月 24 日的對話。

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有時,一題物理 MC(多項選擇題)會,同時有數學做法和物理做法。

那時,你就先用物理方法做一次,再用數學方法做多一次,以作驗算。

(問:哪有那麼多的時間?)

之前講過,那些做法,必須透過考試前,平日多加收集和練習而來;並不是在考試中途,才花額外時間發明。

— Me@2018-05-22 06:02:40 PM

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2018.05.22 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

背誦量

全像記憶 3

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

(TK: 運算機會率題目時,如何提升準確度?) 

九成九是靠背誦 —— 背誦眾多運算方法,和萬千驗算技巧。當然,我不是要你「死背」,而是要你「生背」,即是明白以後才背。

千萬不要企圖,自己發明任何方法。一來,你未有那些智力。二來,即使有,你也負擔不到那些時間。

只有數學家才會,負擔得起那些智力,和那些時間。

(TK: 其實我是有背的,但是,時常也誤中副車,差一點才能想中正確方法。) 

或者說,你背得不夠多,或者不夠詳細。我所指的「背」,其實份量是十分驚人的。

例如,假設考試有可能出現的機會率題目,總共有 5 類。我並不是說,你每類也背誦一題的方法,就可以奪得好成績。

實際上,你的背誦量,並不只是 5 題,而隨時可能是 50 題,因為,同一種題目,可以有(例如)10 種不同的問法。

那 10 種題形的應對方法(和對應的驗算技巧),你都要背誦,因為,同一種題目,你要背誦了它,很多不同的版本,才會領略到,背後的精髓。那你才可以做到「明白以後才背」,即是「生背」。

如果你一定要成績奪 A,背誦量是十分驚人的。所以,我多次提醒你,你在每次做 past paper(以往試題),或其他練習之前,也一次要先背誦你的「魔法筆記」。

「背」的意思並不是說,你把「魔法筆記」,由頭至尾,閱讀一次就算。「背」的真正意思是,要你做到「過目不忘」,即是,在平日做練習,或者考試時,你都可以在心裡翻查,筆記上的每一頁,每一個細節。

— Me@2014.10.05

2014.10.06 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 1.2

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

(問:在運算機會率題目時,怎樣可以知道,自己的思路有沒有錯呢?)

一方面,你盡量在每一題的機會率題目,也同時使用「P 方法」和「S 方法」,互作驗算。

另一方面,在用「P 方法」時,如果面對的是稍為複雜的題目,你要重點留意的,是畫好 Tree Diagram(樹形圖)。Tree Diagram 雖然是最原始,但同時亦是最有效的,機會率思考工具。

— Me@2013.12.24

2013.12.24 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 1.1

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

有一個箱子,內裡有三顆骰子。三顆之中,只有一顆是「公平骰子」,有 1、2、3、4、5、6 六面。另外的兩顆,每一顆有 0、0、1、1、2、2 六面。假設對於三顆骰子中的每一顆而言,每一面出現的機會率都是六分之一。那樣,如果從那箱子中,隨機抽兩顆出來,然後再擲的話,擲到兩顆都是 2 的機會率是多少?

做機會率題目的主要難處是,好像沒有步驟可言,導致很難檢驗,自己的思考有沒有漏洞。所以,做機會率的題目時,一定要驗算。而驗算的方法就是,用兩個完全不同的方法去做。如果它們都得出同樣的答案,錯的機會就很微。對於機會率題目而言,建議同時使用「P 方法」和「S 方法」,互作校對。

「P 方法」的意思是 Probability(機會率)方法,即是將幾個 probability 分數乘在一起,從而得到最終的機會率分數。

「S 方法」的意思是 Statistics(統計學)方法,即是透過 counting(點數)去運算;由此至終,只寫一個分數 —— 將所有可能性放在分數,然後再將你想要的可能性,放在分子。

以這題為例:

~~~

P 方法:

透過 Tree Diagram(樹形圖),可以得出:

P(三顆骰抽兩顆,然後兩顆都擲到 2)

= (1/3)(1/6)(1)(1/3) + (2/3)(1/3)[(1/2)(1/6) + (1/2)(1/3)]

= …

= 2/27

~~~

S 方法:

一個大分數

= (分子)/(分母)

= 想要的可能性/所有的可能性

所有的可能性 = 三顆骰子選兩顆 x 每顆有六面 = (3C2)(6)(6) = 108

(「3C2」即是「3 選 2」;「3 選 2」有 3 個可能性。

想要的可能性 = 二粒都是 2

= 1×2 (抽到一顆骰子正常,一顆不正常)+ 1×2(抽到一顆正常,和抽到另一顆的不正常骰子)+ 2×2(兩顆骰子也不正常)

= 8

所以,

P(三顆骰抽兩顆,然後兩顆都擲到 2)

= 8/108

= 2/27

「S 方法」所得出的答案

= 2/27

= 「P 方法」所得出的答案

所以,這題機會率的運算,錯的機會就很微。

— Me@2013.12.20

2013.12.21 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

逃避問題 1.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

例如,有一隻獅子,正在追殺你。你總不能說:「千萬不要逃避問題。我一定面對問題,和獅子搏鬥一番。」

如果有獅子正在追殺你,最恰當的「面對」方法應該是,立刻逃走。

又例如,這一題微分題目,正常來說,要用 quotient rule(除法定則)才能完成。但是,quotient rule 的外表,又異常複雜。那樣,你可以考慮避開它,改為使用 product rule(乘積法則)。凡是 quotient rule 可以處理的東西,原則上,product rule 都可以處理得到。例如,你可以把

\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right)

看成

\frac{d}{dx} \left[ (\sin x) \left( \frac{1}{x} \right) \right]

但是有些時候,即使你可以逃避,都應該刻意不逃避,因為有些時候,quotient rule 雖然會複雜一點,但又的確會快過 product rule 很多。

而最理想的情況是,你兩種方法也駕馭自如,在處理同一題時,可以兩種方法也用,各自運算一次,互作驗算。

— Me@2013.12.04

2013.12.04 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

逃避問題

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

一般人云亦云的所謂「做人道理」,很多也是錯的。其中一個是:「千萬不要逃避問題。」

這句說話未必正確,因為,我可以追問,為什麼不可以逃避問題?

正確的講法應該是,問題有兩種。一種是不可以逃避的,一種是可以逃避的。不可以逃避的問題,你就不要逃避。可以逃避的,為什麼不逃避?

例如,有一隻獅子,正在追殺你。你總不能說:「千萬不要逃避問題。我一定面對問題,和獅子搏鬥一番。」

如果有獅子正在追殺你,最恰當的「面對」方法應該是,立刻逃走。

— Me@2013.11.30

2013.11.30 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

驗算校對 2.7

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

近乎每種題目,都有對應的高速驗算方法。而那些驗算方法背後的精神,或者大方向,就是做完每一小題後,立刻用另一個完全不同的方法,去做多一次。記住,驗算時千萬不要,用原本的思路重做一次,因為如果原本有錯,你驗算時很可能會錯在同一個步驟。

如果不幸遇上了一題,當時沒有「另一個方法」的題目,你就唯有在運算時格外小心 —— 寫完每一行的運算時,就立刻望一望、瞥一瞥,看看有沒有寫錯東西。而這個「望一望」,如果要做到快而準,是一種「超能力」。換而言之,沒有平日的反覆訓練的話,你考試時不會做得到。

留意,這個「每步也驗」的方法比較費時,應該在逼不得已時,才拿出來使用。

— Me@2013.11.15

2013.11.15 Friday (c) All rights reserved by ACHK

驗算校對 2.6

活在當下 6.6 | 唔識就飛 10.5

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

所以,有很大的機會,「完成了一題的一個部分後,就立刻作校對」這個策略,會令你的考試成績好一點。

那様,你怎樣可以肯定,對你來說,「每題即驗」是否真的好過「做完卷才驗」呢?

你一定要在平時先行測試。你在「按年份、計時間、計分數」做 past paper(歷屆試題)時,就應留意一下,兩個驗算策略之中,哪個對你最有利。

即使假設你選定了「每題即驗」,你還要研究,面對各種情境時,應該如何自處。例如,每種題目有何高速驗算方法?甚至,有哪些題目,你根本不應該驗算?

近乎每種題目,都有對應的高速驗算方法。例如,一題如果需要三分鐘運算,通常 15 秒內就可以完成驗算。那些高速驗算方法,你一定要在平時先行收集,因為,你不可能在考試的緊迫時間之中,即製即用。

但是,有時候,你會遇到一些新奇一點的題目,沒有你已知的高速驗算技巧,只能靠低速。例如,那一題運算需要五分鐘,而驗算亦需要五分鐘。那樣,你就要立刻取捨,決定值不值得花那額外的五分鐘,去驗算校對。

如果那一題是某長題目的第一部分,你就應該花,因為,那長題目之後幾部分的對錯,會建基於第一部分答案的正確與否。相反,如果那一題是某長題目的最後一部分,你就可以考慮,在題號上寫一個「C」字,代表暫時擱置驗算。

要掌握這些隨機應變的能力,就要靠試前日積月累的修行。考試時的清晰頭腦,來自平日的混亂心靈。

— Me@2013.11.12

2013.11.12 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

活在當下 6.5

驗算校對 2.5 | 唔識就飛 10.4

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

如果你在平日先行收集和鍛鍊了,各類題目的驗算技巧,考試時就很難會遇上,不懂驗算或者緩慢驗算的情況。

每題每部後,就即時驗算,除了可以避免沒有時間驗算外,還有其他重大的好處。例如,你考試時的心理壓力會小很多,因為,大部分你已經完成的題目,你都有即時作驗算,導致正確的機會非常大。那樣,做往後的題目時,你就不會再擔憂 —— 究竟之前的題目,我會不會錯了很多運算,導致損失了大量分數?

即使到最後,你只完成了,整份試卷中九成的題目,至起碼,那九成的題目之中,你會得到幾乎全部的分數。相反,在沒有驗算的情況下,即使完成了所有題目,你也很可能會因為運算錯誤,導致只得到大概五成的分數;因為,如果一題長題目第一部分的答案數值錯了,該題的其他部分,就自然沒有什麼可能會正確。

還有,如果你從來都打算,完成所有題目後才驗算的話,你在做題目時,就會格外焦急,因為你很怕完成不了全部題目,導致沒有機會驗算;或者,你怕即使完成了所有部分,剩餘的時間仍然不足夠,去校對全部題目。格外的焦急,只會為你在運算時,帶來加倍的誤差。

所以,有很大的機會,「完成了一題的一個部分後,就立刻作校對」這個策略,會令你的考試成績好一點。

— Me@2013.11.08

2013.11.08 Friday (c) All rights reserved by ACHK

活在當下 6.4

驗算校對 2.4 | 唔識就飛 10.3

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

所以,如果你打算,做完所有題目後,才開始作驗算,那就相當於打算了,從來不作驗算。

在那個根本沒有時間「返回來」的情況下,我就索性在完成任何一題的任何一部分後,都立刻作校對。

(✓)完成驗算的題目部分,我會在旁邊剔一剔(✓)。

(Q)如果某一題我暫時想不到,我就會在題號上圈一個「Q」字,示意立刻要去做下一題或者下一部分;如果完成了所有其他題目後,竟然還有時間剩餘的話,才回去再想再試。

(C)如果某一題完成了,但是發覺驗算過份花時間,我則會在題號上寫一個「C」字,代表暫時擱置,有緣再見。

如果你在平日先行收集和鍛鍊了,各類題目的驗算技巧,考試時就很難會遇上,不懂驗算或者緩慢驗算的情況。

每題每部後,就即時驗算,除了可以避免沒有時間驗算外,還有其他重大的好處。例如,你考試時的心理壓力會小很多,因為,大部分你已經完成的題目,你都有即時作驗算,導致正確的機會非常大。那樣,做往後的題目時,你就不會再擔憂 —— 究竟之前的題目,我會不會錯了很多運算,導致損失了大量分數?

— Me@2013.11.04

2013.11.04 Monday (c) All rights reserved by ACHK

驗算校對 2.3

活在當下 6.3 | 唔識就飛 10.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

留意,驗算校對有兩個大方向。其一是做了所有題目後,才開始作驗算。其二是完成了一題的一個部分後,就立刻作校對。有時候,第一個進路會好一點;有時候,第二個進路會較合適。

大部分情況下,我會建議使用第二個進路 —— 每題每部後,就即時驗算,因為這方法特別適合用於,時間緊迫的公開試。

例如,我當年高考 Pure Maths(純數學)試卷的結構,會令人在考試時,繁忙到不會有時間「返轉頭」 —— 完成了的題目,不可能第二次閱讀修正的機會;除非,中途我有很多題目,也因為不懂做而留空跳過,導致「節省」了大量時間。那絕對是一件,非常不幸事件。

所以,如果你打算,做完所有題目後,才開始作驗算,那就相當於打算了,從來不作驗算。

— Me@2013.10.31

2013.10.31 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

活在當下 6.2

驗算校對 2.2 | 唔識就飛 10

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

而我慣常使用的,是這方法一個絕一點的版本。即使是對於同一題而言,如果它分了例如 a,b,c,d 四部分,做 a 部分時,我不會容許自己看到 b 部分;做 b 部分時,我亦不會容許自己看到 c 部分;如此類推。因為在每一步,我也只專心閱讀那一個部分、那一句句子,錯誤理解題目的機會,就會大大減少。

完成了 a 部分後,我會立刻驗算該部分。驗算完畢,我就會在 a 部分旁邊剔一剔(✓)。那樣,即使在運算 b 部分時,我仍然和必須看到 a 部分,我也不會覺得煩擾,反而,我會覺得愉快滿足。

留意,驗算校對有兩個大方向。其一是做了所有題目後,才開始作驗算。其二是完成了一題的一個部分後,就立刻作校對。有時候,第一個進路會好一點;有時候,第二個進路會較合適。

大部分情況下,我會建議使用第二個進路 —— 每題每部後,就即時驗算。

— Me@2013.10.29

2013.10.29 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

活在當下 6

驗算校對 2.1

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

還有另一個方法,可以令你在閱讀長題目時,快一點和準一點,你可以同時使用。

對我來說,考試是一個十分厭惡的過程,尤其是數學科。在數學科的考試中,每每有十幾題有很多文字的長短題目,而即使精確地明白了那堆文字,亦不代表你知道,如何運算作答;即使知道如何作答,你又不知道,中途有沒有運算錯誤。所以,為了減低厭惡程度,我習慣在做第一題時,用答案紙順勢遮蓋住,第二題和其他題目。那會令我舒服一點。

到要做第二題時,我才會讓自己看到第二題。在我的視線範圍內,就只有第一和第二題,而第三題或以後的,就會仍然遮蓋著。雖然,在運算第二題時,我會看到第一題,但是,因為那時的第一題是「已答之題」,所以並不會構成,我額外的心理壓力。

而我慣常使用的,是這方法一個絕一點的版本。即使是對於同一題而言,如果它分了例如 a,b,c,d 四部分,做 a 部分時,我不會容許自己看到 b 部分;做 b 部分時,我亦不會容許自己看到 c 部分;如此類推。

— Me@2013.10.27

2013.10.27 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

速度準確表達

人格考試 1.2 | 學科用處

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

這些都要靠平日,長年累月的習慣訓練,導致考試時可以條件反射;並沒有任何直接的「溫習」方法,可以「溫習人格」。換而言之,考試是兩分考學問,八分考能力。如果你只是「知識多」但是「能力差」,考試不會有好結果。

「速度」、「準確度」和「語言」這三項性格特點,其實是同一樣東西的三個方面,而不是三樣各自獨立的東西。例如,如果你運算不準確,就即是花了時間,也拿不到分數。得分效率等如零,沒有任何速度可言。又例如,如果你的語言表達欠佳,閱卷員不能明白你的思想,那就等價於你的作答不準確。你亦會損失大量分數。

這三樣處事效能,統稱為「人格」;「人格」就那「同一樣東西」。

有了「人格考試」這個概念後,你不應該再投訴,中學的學術科目,對你沒有用處;你亦不應該再追問,既然數學科中所學的數學,在日常生活中甚少應用,為什麼我們要花那麼多的時間去學呢?

其實,數學科中的數學,只佔整個「數學科」課程目標的兩成。其餘的八成,都是考驗你的人格。你大概不能說,「人格」不會在日常生活中應用到。

— Me@2013.05.11

2013.05.11 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

人格考試 1.1

萬事俱備 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 29 日的對話。

年青時,我怕考試時忘記帶計數機。所以,我會有一部計數機,長駐於我的書包之中。那樣,即使我忘記了帶計數機,也會帶了計數機。

(LMC:那你平時豈不是沒有計數機可用?)

我書包內的那一部,並不是平時用的那一部。反正你在考試時,都要帶兩部計數機。

(LMC:我在公開試時會那麼小心。但是,在校內試就不會那麼認真,真的每次也帶兩部計數機。)

你應付「校內試」時,就應該好像面對「公開試」那麼認真。那樣,「校內試」才會有「公開試演習」的功用。如果你在「校內試」得過且過,它就喪失了訓練你「考試心理質素」的效果。

考試不單會考驗你的具體知識,而且會測試你的整體人格。以數學科為例,大概只有兩成是考你的數學知識。其餘八成,則是考你的人格。人格之中,數學科主要考你三方面 —— 速度、準確度 和 語言。

「速度」的意思是,你能否在作答試題時,妥善管理時間,完成所有題目?

「準確度」的意思是,你對題目指示的理解,是否鉅細無遺?然後,你的推理運算,是否分毫不差?

「語言」的意思是,你能否用最簡單清晰的語言,來表達你的數學思想?

這些都要靠平日,長年累月的習慣訓練,導致考試時可以條件反射;並沒有任何直接的「溫習」方法,可以「溫習人格」。換而言之,考試是兩分考學問,八分考能力。如果你只是「知識多」但是「能力差」,考試不會有好結果。

— Me@2013.05.07

2013.05.09 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.6

無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7

大概而言,接受不到「無限」的話,你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象,而不是一個明確的數字。 

準確而言,「無限」不是一個數字,而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程,的一個簡稱。

— Me@2013.02.27

2013.02.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.5

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法,來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案,有三種可能。

第一種情況是,因為分母中 x 的最大次方,大過分子中 x 的最大次方,所以當 x 趨向「無限大」時,整個分數會趨向「無限小」,即是零。例如,

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是,由於分母中 x 的最大次方,小過分子中 x 的最大次方,導致當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向「無限大」,即是「沒有極限」。例如,

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是,分母中 x 的最大次方,和分子中 x 的最大次方相同。那樣,當 x 趨向「無限大」時,整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼,你只要看看分子和分母中, x 最大次方的係數(coefficients),就可以判斷到。例如,

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

2013.02.24 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.4

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit(極限值)的正式運算方法是:

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是,雖然,因為「無限」()並不是一個數,你不可以代它於任何變數 x 之中;但是, 是卻一個數,而且等於零,所以,你可以把「零」代於所有(1/x)出現的地方。

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過,如果分子和分母同時趨向「無限」,整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」,要視乎分子中 x 次方比較大,還是分母。例如在這一題中,分子的 x 是二次方(x^2),而分母的 x 是三次方(x^3),所以,分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果,整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼,並不是正確合法的數學符號:

你可以在心裡運用,但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= (無限)^2/((無限)^3 + 6)

= 0

換句話說,這個高速心算方法,其實就是由 x 次方的大小,來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方 法」,你在作正式的運算前,就可以直接知道答案。所以,除了剛才提及,「用計數機代 x = 100,000」的方法外,你還可以用這個方法來驗算,牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

2013.02.17 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

無限蘋果 1.3

無限年 2.3 | 微積分 4.3

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

由於「無限」不可以用來比較大小,它不是一個數字。所以,例如

\lim_{x -> infinity} (x^2)/(x^3+6)

的意思,並不是要你把「無限」代落 x 之中。換句話說,這個極根值題目並不是問你,當 x 的數值是「無限」時,整個分數的數值是多少,因為,「無限」根本不是一個「數值」。題目真正問你的是,如果分子是一個「超大」的數,而「分母」又同時是一個「超大」數的話,整個分數的數值會是多少。

留意,這個問題並不能直接回答,因為,如果不作詳細一點的分析,我們知道的只是,當 x 是「超大」時,分子的 x^2 會變成「超大」,而分母的 (x^3+6) 又會變成「超大」。整個分數會變成「超小」、「正常」還是「超大」,則暫時不知道。

它究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」,要視乎分子的「超大」,還是分母的「超大」,會大過對方。在這個例子中,由於分母中 x 的次方,比分子中 x 的次方大,所以分母的「超大」,會遠遠大過分子的「超大」。例如,當 x = 100,000 (十萬)時,x^2 = 10^10(一百億),而 x^3 卻已經變成 10^15(一千兆)。結果,(x^2)/(x^3+6) 會非常接近零。

— Me@2013.02.14

2013.02.14 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

驗算極限 1.1

微積分 3.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

運算 limit(極限值)的題目時,有一個很簡單的方法驗算。那就是用計數機再運算一次。例如,假設你透過徒手運算,得到以下答案:

lim_{x -> 3} (x^2 – 9)/(x – 3) = 6

用計數機驗算時,雖然你不可以代 3 落 x 之中,因為那會導致分母變 0,但是,你卻可以代一個十分接近 3 的數字,例如 3.001,看看那數學式子的數值,是否十分接近你的運算結果。(還有,那正正是 limit 這個抽象數學概念,背後的真正實際意思。)

(3.001^2 – 9)/(3.001 – 3) = 6.001

但是,如果 x 所趨向的是「無限大」,你應代什麼數,才為之「接近無限大」呢?

你可以試試代一個大數,例如 100,000。我們看看另一道例題:

lim_{x -> infinity} (3 x^2 – 9 x – 3)(4 x^2 – 3)

你先徒手運算。假設得到的答案是 3/4。然後,你用計數機,把 x = 100,000 代落數式之中:

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3}{4(100000)^2 – 3)

如果你發覺計數機的結果,十分接近你的答案,你運算錯誤的機會,就微乎其微。

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3)/(4(100000)^2 – 3) = 0.7499775

— Me@2013.01.29

2013.01.30 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK