驗算極限 1.1

微積分 3.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

運算 limit（極限值）的題目時，有一個很簡單的方法驗算。那就是用計數機再運算一次。例如，假設你透過徒手運算，得到以下答案：

$\lim_{x \to 3} \left( \frac{x^2 - 9}{x - 3} \right) = 6$

lim_{x -> 3} (x^2 – 9)/(x – 3) = 6

用計數機驗算時，雖然你不可以代 3 落 x 之中，因為那會導致分母變 0，但是，你卻可以代一個十分接近 3 的數字，例如 3.001，看看那數學式子的數值，是否十分接近你的運算結果。（還有，那正正是 limit 這個抽象數學概念，背後的真正實際意思。）

$\left( \frac{3.001^2 - 9}{3.001 - 3} \right) = 6.001 \approx 6$

(3.001^2 – 9)/(3.001 – 3) = 6.001

但是，如果 x 所趨向的是「無限大」，你應代什麼數，才為之「接近無限大」呢？

你可以試試代一個大數，例如 100,000。我們看看另一道例題：

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{3 x^2 - 9 x - 3}{4x^2 - 3} \right)$

lim_{x -> infinity} (3 x^2 – 9 x – 3)(4 x^2 – 3)

你先徒手運算。假設得到的答案是 3/4。然後，你用計數機，把 x = 100,000 代落數式之中：

$\left( \frac{3 (100000)^2 - 9 (100000) - 3}{4(100000)^2 - 3} \right)$

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3}{4(100000)^2 – 3)

如果你發覺計數機的結果，十分接近你的答案，你運算錯誤的機會，就微乎其微。

$\left( \frac{3 (100000)^2 - 9 (100000) - 3}{4(100000)^2 - 3} \right) \approx 0.7499775 \approx 0.75 = \frac{3}{4}$

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3)/(4(100000)^2 – 3) = 0.7499775

— Me@2013.01.29

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