排列組合 1.2

nCr, 0.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

.

1.4.2 另外一種設計定義的想法是,由 \displaystyle{n!}算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少,\displaystyle{n!} 就有多少項相乘,那樣,零的階乘,\displaystyle{0!},理應只有零項相乘,\displaystyle{~a^0~}

\displaystyle{0! = a^0}

.

但是,「零項相乘」的數值,又應該是什麼呢?

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」,所以是一,因為任何數乘了一,效果都等於沒有乘;所以,

\displaystyle{a^0 = 1}

\displaystyle{0! = 1}

.

「零項相乘」的正式學名是,「空積」或「零項積」。

.

1.4.3 如果要詳細一點,去理解「空積」的話,可以先嘗試了解「次方」的意思。

首先,\displaystyle{a} 五次方的意思,就是有五個 \displaystyle{a} 相乘。

\displaystyle{a^5 = aaaaa}

.

如果在其之後,再乘 \displaystyle{a^3} 的話,就即是再乘多三個 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa)}

.

所以,

\displaystyle{a^5 a^3 = a^{5+3}}

.

既然,在其之後乘以 \displaystyle{a}三次方,就是乘多三個 \displaystyle{a}

那樣,在其之後乘以 \displaystyle{a}三次方,就可以理解成乘少三個 \displaystyle{a},即是:

.

你想想,自出生以來,你學過什麼操作,會有刪除因子的效果呢?

就是分母:

\displaystyle{a^5 a^{-3} = \frac{aaaaa}{aaa}}

.

所以,所謂「負三次方」的運算的方法,就是把那三次方,放於分母之中。

\displaystyle{a^{-3} = \frac{1}{a^3}}

.

然後,我們可以再研究,一個抽象一點的問題:

\displaystyle{a}次方,又會是什麼呢?

.

我們可以這樣想,如果 \displaystyle{a^{1/2}} 存在的話,它必須達到什麼效果呢?

.

如果暫時想不到的話,可以改為思考:「\displaystyle{a} 的五次方,乘了半次 \displaystyle{a},再乘半次 \displaystyle{a}」 的話,即是總共乘多了,多少個 \displaystyle{a} 呢?

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=?

.

那很明顯是,總共乘多了一次 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^5 a^1

.

所以,

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^6

.

亦即是話,

\displaystyle{a^{1/2} a^{1/2}}=a^1

.

究竟這個所謂的「半次 \displaystyle{a}」存不存在呢?

可以這個想,你自出生以來,有沒有學過什麼數字符號,自乘後會等如一次 \displaystyle{a} 呢?

有,那就是 \displaystyle{a} 的平方根。

\displaystyle{\sqrt{a} \sqrt{a}}=a^1

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所以,所謂的「半次 \displaystyle{a}」,其實就是,平方根 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}}

.

言歸正傳,我們再來研究,所謂的「\displaystyle{a} 零次方」,其實是什麼?

顧名思義,即是乘 \displaystyle{a} 的次數為零,不要乘也。

再想想:

\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的正三次,就是乘多三個 \displaystyle{a};所以,結果就是 \displaystyle{a} 的八次方。

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa) = a^8}

同理,\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a}三次,就是乘三個 \displaystyle{a};所以,結果就是 \displaystyle{a} 的二次方。

\displaystyle{a^5 a^{-3} = a^2}

.

那樣,\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a}次,理應就是「不乘多亦不乘少」,維持原來的 \displaystyle{a} 五次。

\displaystyle{a^5 a^{0} = aaaaa = a^5}

.

換句話說,「乘以 \displaystyle{a} 零次」的效果,就是「乘了等如沒乘」。

你想想,自出生以來,有沒有學過什麼數字符號,會有「乘了等如沒乘」的效果呢?

— Me@2022.09.07 08:09:14 PM

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2022.09.10 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

排列組合 1.1

nCr, 0

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

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\displaystyle{n!}

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1.1  意思:

\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位的話,有多少種坐法?

1.2.1  算式:

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

1.2.2  由來:

第一個位,有 \displaystyle{n} 個可能的人選;第一個位被坐後,第二個位只有 \displaystyle{(n-1)} 個,可能的人選;如此類推,直到最後一個位,被餘下的唯一個人,選了為此。

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1.3 

留意,\displaystyle{n} 是多少,就有多少項。

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

例如,\displaystyle{5!},就有 5 項相乘;

\displaystyle{\begin{aligned}     5! &= (5)(4)(3)(2)(1) \\ \\     \end{aligned}}

\displaystyle{3!},就有 3 項;等等。

\displaystyle{\begin{aligned}     3! &= (3)(2)(1) \\    \end{aligned}}

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1.4.0  零的階乘,\displaystyle{0!},還未有定義,因為,算式 \displaystyle{n! = (n)(n-1) \cdots (2)(1)} 中的 \displaystyle{n},只可以是正整體,不可以零。

階乘零,\displaystyle{0!},需要額外定義,因為會常用到。那樣,\displaystyle{0!} 應該定義為,什麼數值呢?

1.4.1  既然 \displaystyle{n!}意思是「\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位,有多少種坐法」,那樣,你就可以視,\displaystyle{0!} 的意思是「\displaystyle{0} 個人 \displaystyle{0} 個座位,有多少種坐法」;那明顯是一,因為,那個情況之下,只有一個「坐法」,就是「沒有人又沒有位」這個唯一的可能性。

\displaystyle{0! = 1}

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1.4.2  另外一種設計定義的想法是,由 \displaystyle{n!}算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少,\displaystyle{n!} 就有多少項相乘,那樣,零的階乘,\displaystyle{0!},理應只有零項相乘,\displaystyle{~a^0~}

\displaystyle{0! = a^0}

但是,「零項相乘」的數值,又應該是什麼呢?

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」,所以是一,因為任何數乘了一,效果都等於沒有乘。

\displaystyle{a^0 = 1}

(「零項相乘」的正式學名是,「空積」或「零項積」。)

\displaystyle{0! = 1}

— Me@2022-08-02 02:41:43 PM

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2022.08.02 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

物理避數學;數學避思考

數學教育 8.1

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

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科技是一套,避開科學的系統。

科技的存在,是為了讓不懂科學的人,也能享受,科學的成果。

例如,即使你不懂寫程式,也可以使用電腦。

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科學的起點是物理。物理是一套,避開數學的系統。

物理的存在,是為了讓人在,毋須全懂數學的情況下,也能享受,數學的成果。

例如,在物理科中「簡諧運動」,原本需要懂數學中的「三角學」和「微分方程」,才可以處理得到。但是,在中學的物理教科書中,會教你把「簡諧運動」,看成某個「圓周運動」的投影;那樣,你可以在不太懂,「三角學」和「微分方程」的情況下,獲得那些運算成果。

所以,如果一題物理題目,你竟然需要,大量的數學運算才能完成,有很大機會是,你根本不懂,該題的物理原理,導致沒有工具,去簡化(甚至避開)運算。

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數學的存在,是為了讓人在,盡量避開思考的情況下,也能享受,思考的成果。

例如,你在學過乘法的定義和原理後,就會背誦乘數表,從而毋須再刻意思考,也可以利用到,乘法的成果。

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那樣,既然數學是一個「盡量避開思考」的系統,為什麼還要學呢?

完全不學數學,就可以完全避開思考。那不是更好嗎?

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學過數學思考,才會有能力判斷,哪時需要思考,哪時不需要。

而有時「不需要思考」,正正是因為在那些情況,你知道可以用,哪些內在或外在工具,去避開思考之餘,而獲取成果。

如果你從來未學過乘法,即使給你計數機,你也不會用它來做乘法,因為,你根本不知道,有「乘法」這個數學概念工具。

— Me@2022-07-02 12:02:59 PM

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2022.07.02 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

數學教育 7.5.3

A Fraction of Algebra, 2.3

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

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大多數情況反而是,遇到不佳的教師,因為大部分教師,也不懂教學。那就導致,在某一年的數學知識,出現斷層。數學作為理科之心,累積性最高。不幸斷了一層的話,就會同時斷了,之後的每一層。

隨著越來越陌生,那些對數學先天的純真喜愛,也變得不再復見。與數學,再見也不會是朋友。

我比較幸運,在中學時代,遇到一些合理的數學教師。即使在中六七的預科中,一科「應用數學」的教師,未如理想;另一科「純數學」的教師,卻驚為天人。

而我的物理科,則沒有那麼幸運。

留意,我這裡問的是,

你的日校物理教師,有沒有教,實質內容呢?

而不是

你的日校物理教師,教得好不好?

因為「好不好」有時,只是主觀的感受,未必能化成,實質的知識和成績。

我當年就是就正正,犯下這個錯誤。

我中三和中四時覺得,日校物理教師十分好,因為他無論是講物理故事,或物理概念,都十分精采;精采到一個地步是,他啓發了我,對物理的興趣。

但是,當時不知何故,我大部分 MC(多項選擇題)都不懂做。

教師好,而我成績差,很明顯是我的問題。

那是一個無知年輕人的想法。

事隔多年,我終於知道,那不是我的問題。原來我的日校物理教師,極少跟我們研究題目。每類題目應該如何理解,如何運算,要運用什麼概念或技巧等,都是必須教的東西,因為,極少人可以,無師自通。

根本九成九的要點,在題目的解答過程之中。而我的日校教師,偏偏沒有教。很大可能是,其實連他自己也不太懂。

— Me@2022-06-21 11:51:20 AM

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2022.06.21 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

電腦病毒

這段改編自 2010 年 10 月 14 日的對話。

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很多時,「解決」問題最好的方法是,令到自己毋須,解決那個問題。

例如,你現在的問題是,本年是你的高考年。每天回家後,理應操練以往試題。但實情是,每天回家後,也會忍不住,打開電腦一會兒。而那「一會兒」卻往往會,橫跨數小時。

解決的方法是,訓練到自己每天回家後,忍得住不打開電腦。(我自己就在預科那兩年間,從來沒有開電腦,幾乎。)

更好的方法是,令到自己根本,毋須這個訓練。那就是每天下課後,留在學校完成了,自己給自己的試題操練目標,才回家。(這裡假設了,操練題目數小時後,回家仍然不會太晚。)

既然「每天回家後,也會忍不住,打開電腦一會兒」,倒不如索性,在完成功課前,暫時刪除了「每天回家後」這情節,那就完全避開了,「也會忍不住,打開電腦一會兒」這劇情。

跟壞人相處的最好方法是,不要跟他相處。不跟壞人相處的話,就毋須研究「如何跟壞人相處」。

完成操練試題前,暫時不讓「每天回家後的自己」出現,你就毋須研究,如何駕馭對付他。

— Me@2022-06-02 11:52:12 AM

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2022.06.02 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

王國之心

數學教育 7.5.2 | Genius 4.2.2 | A Fraction of Algebra, 2.2

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

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相比其他科目,數學複雜程度大,很容易遇到一個情形,就是去到某一章節,開始處理不到。這是問題描述的第一步。

第二步就是問,為何會「去到某一章節,就開始處理不到」呢?

第一個可能是,求學者不夠聰明。或者說,數學較抽象,所以需要一般人也沒有的天份,才能駕馭。但這個可能的機會,其實不大,只佔少數案例。

大多數情況反而是,遇到不佳的教師,因為大部分教師,也不懂教學。那就導致,在某一年的數學知識,出現斷層。數學作為理科之心,累積性最高。不幸斷了一層的話,就會同時斷了,之後的每一層。

隨著越來越陌生,那些對數學先天的純真喜愛,也變得不再復見。與數學,再見也不會是朋友。

— Me@2022-05-26 07:54:01 PM

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2022.05.28 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

數學教育 7.5.1

Genius 4.2.1 | A Fraction of Algebra, 2.1

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

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另外,他提的另一個,有關學習數學的要點是,即使假設你在大學中,學到的數學,在日常生活中沒有用,單單是為獲取,那些嶄新的元素概念本身,就已經能夠令你有超能力;令你有一些,常人沒有的思考工具、比喻語言。

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(安:但是,這個講法可能有一個問題。

雖然,你剛才列舉了數個例子,來示範如何將高深數學,間接應用到人生處世,但是,一般人未必有那種能力。所以我想問,你又是如何去跨過這個難關呢?)

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什麼難關?

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(安:去翻譯那些抽象數學概念,到其他範疇,或者日常生活。)

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那不是「難關」。你的意思是,一般人也沒有那個能力,而我有。所以,那是超能力;我當年一定是,用了一些秘技,才獲取之。

天才之道,點滴累積。其實並沒有所謂的「秘技」。只要一步一步地,學習數學,就自然建構出,一個相對接近完整的數學思考體系,生成「翻譯抽象數學概念到其他範疇」等能力。

所以,我猜想你的疑問是,其實我所講的「點滴累積」,或者「一步一步地」,雖然理想上是,基本的要求,但是現實中是,大部人也做不到。那就代表著,大部人可能也會遇到,一個共通的「難關」。那個「難關」究竟是什麼?我又是如何克服它,而做到「一步一步地」「點滴累積」的呢?

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你問題的最簡化版本是:「如何學習數學,開創人生?」

有起碼以下三個先決條件:

1. 對數學(及其他學問人生),有極大興趣;

2. 遇到合理的老師和書籍:

重點是,數學概念或運算上的主要步驟,亳無違漏。支節可免,但主旨必須。細節可以無師自通,大節必靠前人指點。平地自己行,斜地靠梯級。平地可跳步,梯不可跳級。

3. 極超大量的背誦和練習:

數學是理科,所以其背誦方法,不是「死背」零碎隨機的資料,而是「生背」息息相關的訊息。融匯貫通地背誦的唯一方法是,極超大量的操練。

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你所講的「難關」,就是以上的第二點。老師有分好老師和差老師。大部分也是差老師。而差老師再分兩類:不懂數學和不懂教學。

— Me@2022.05.02 11:48 PM

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2022.05.03 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

原來是我

原來是你, 3

這段改編自 2010 年 10 月 14 日的對話。

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你所追求的東西,可能一直在你身邊,只是你沒有留意。

這原理不只適用於,愛情方面。它也會現身於,才能和興趣等。

例如,我小時候,在中三之始,就開始修讀物理科。但是,我要在兩年後,中五前的暑假才發現,物理是我事業中的最愛;自始以其為人生目標。

— Me@2022-02-10 08:08:53 PM

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2022.02.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK

分支圖

這段改編自 2021 年 12 月 9 日的對話。

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條件概率(conditional probability)的公式中,會除以「已知」。

\displaystyle{P(A|B)={{P(B|A)*P(A)} \over {P(B)}}}

而「除以『已知』」的目的就是,改變 tree diagram 的起點。這一句是,我學了機會率之後的十幾年間,原本都不知道的東西。在 2010 年,第一次教時,我才領悟得到。

This file is made available under the Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

樹形圖的起點,機率必為一,因為「樹形圖起點」的定義,就正正是「已知」。

樹形圖的重要性在於,多複雜的題目,只要你用樹形圖來思考,通常都可以明白到。

甚至,如果你問最根本的問題「乘法從何而來」,其實,都需要用樹形圖來解釋。例如,\displaystyle{3 \times 2} 是什麼意思呢?

三大分支的每支上,再有 2 小分支的話,就總共有 6 個終點。

— Me@2022-01-02 12:20:15 PM

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2022.01.03 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 2

Proofreading probability

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There are 5 women and 6 men in a bus. But there are only 4 seats.

Assume that all the seats will be occupied and all possible seating arrangements have the same probability to appear.

What is the probability that 2 or more men will have seats?

~~~

Probability method gets the final probability by multiplying several fractions of probability together.

P method:

This method considers each seat one by one: what is the probability that this seat will get, for example, an M?

Let \displaystyle{x} be the number of men that will have seats. Also, instead of writing \displaystyle{C^n_r}, we use the standard notation \displaystyle{{n \choose r}}.

\displaystyle{P(x \ge 2)}
\displaystyle{= 1 - P(x = 0) - P(x = 1)}
\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - P(MFFF) - P(FMFF) - P(FFMF) - P(FFFM)}

\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - {4 \choose 1} P(FFFM)}

.

\displaystyle{P(FFFF) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{2}{8} \right)}

\displaystyle{P(FFFM) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{6}{8} \right)}

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\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}

\displaystyle{= \frac{53}{66}}

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Statistics method gets the final probability by dividing the number of ways of getting the desired result by the number of all possible results.

S method 1:

This method considers all the seats at once: what is the number of ways that they will get, for example, 3F and 1M?

In other words, instead of the seats, this method focuses on the people: what is the number of ways that 3F and 1M will be chosen?

In other words, instead of the choosing process, this method focuses on counting the results of the choosing.

Let \displaystyle{N(...)} = the number of ways of …

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose 2 or more men})}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5 and then 1 M among 6})}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose any 4 people}) - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5}) \times N(\text{1 M among 6})}{N(\text{seats choose any 4 people})}}

\displaystyle{= \left[{11 \choose 4} - {5 \choose 4} - {5 \choose 3} {6 \choose 1} \right] / \left[ {11 \choose 4} \right]}

\displaystyle{= \frac{ 330 - 5 - 10 \times 6 }{330}}

\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}

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S method 2:

This method considers each seat one by one: what is the number of ways that this seat will get, for example, an M?

In other words, instead of the results, this method focuses on choosing process itself.

Note that this method uses permutation instead of combination.

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(FFFF) - N(MFFF) - N(FMFF) - N(FFMF) - N(FFFM)}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - (6)(5)(4)(3) - (5)(6)(4)(3) - (5)(4)(6)(3) - (5)(4)(3)(6)}{(11)(10)(9)(8)}}

\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - 4(6)(5)(4)(3)}{(11)(10)(9)(8)}}

\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}

\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}

— Me@2021-10-02 05:18:02 PM

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2021.10.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

尋覓

這段改編自 2010 年 10 月 14 日的對話。

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你為什麼哭?可不可以告訴我?

(CPK: 可不可以講呀?可以?

她剛剛和男朋友分了手,因為,她男朋友長期不理會她。)

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我剛才見到你哭,不知發生什麼事。現在,我知道是失戀。那是我所能想像的災難中,最小的一種,因為,那幾乎是,每個人都必會遇到的事情。

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如果想避免,那就先寫下筆記。

第一點,你不要找一般的地球人,做你的另一半,因為,剛才你所講的劇情,如果是地球人的話,就一定會發生。

例如,追到你之前,會很愛惜你。不應該說「愛惜」。應該怎樣說呢?

追到你之前,就很想見到你,但追求成功後,就不太理會你。你遇到的,是不是這樣?

(CSY: 是。)

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你想像一下,如果將來與他結了婚,會有什麼後果?

只會更加嚴重。他只會更加不理會你。所以,不可永久相愛的話,越早分手越好。試想想,如果結了婚後才分手的話,情況會有多麻煩。

結了婚但未有子女時,離婚還可以。但如果有子女的話,那就不知如何是好了。

既然幾乎是人生必經階段,那就分手越早越好。

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當然,那不是地球人的唯一缺點。其他不能忍受的缺點,還有(例如),誠信有問題。你認識的人當中,有多少人是守時的呢?

其實,大部分人不只不守時,還常常會爽約。

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但是,要找到你,心目中的那個外星人,不易做到。

一來,地球上,地球人很多,外星人很少。

二來,外星人中,都可以有好有壞。

三來,你二十歲未到,還未有足夠的人生閱歷,去辨認哪些人是,有誠信的外星人。

所以,你等年紀大一點,例如大學時代,才拍拖,可能會好一點。

— Me@2020-10-28 10:26:23 PM

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2020.10.31 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

相對論加量子力學

三一萬能俠, 2.2 | 太極滅世戰 2.3 | PhD, 4.2 | 財政自由 4.2

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如果是最快樂的一個時代,我選預科的那兩年。

我暫時不能重造那個時代,主要因為還未有足夠的金錢儲備,令我可以,毋須做工維生,從而「全天候研究數學和物理」。

預科時代,需要為自己大學選擇主修。如果入到大學的話,我要選物理。但是,那時,我已經知道,中學的物理,其實不只對應於,大學的物理。其實,中學的物理有大半是,對應於大學的工程。

我想要全部,所以,如果成績許可的話,我會主修物理,副修工程。但是,一位回我中學講講座的師兄說:「工程無得(作為)副修架喎。」

工程屬於專業科目,只能作主修。所以,我立刻計劃倒轉,打算主修工程,副修物理;大學本科畢業後,到研究院時,才再研究物理。

預科後,有幸升到大學。我真的以工程為主修。

大學第二年時,可以開始有副修。但是,工程所需要讀的科目,多於其他主修一點。所以,我的時間表中,其實沒有足夠的空檔,去兼顧一個完整的副修。

我現在不記得副修物理,要修讀多少科物理科目。以下假設是八科。亦即是話,我要修夠八科,才可以於畢業成績表中,標籤物理為我的「副修」。

最終,我在第二年的上學期,和第三年的下學期,各自選修了一科。換句話說,我在大學本科時期,只修了兩科物理。

不幸中的大幸是,那兩科偏偏是,最重要的那兩科。

— Me@2020-09-16 04:01:32 PM

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2020.09.21 Monday (c) All rights reserved by ACHK

三一萬能俠, 2

太極滅世戰 2.2 | PhD, 4 | 財政自由 4

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一九九六年的那個暑假,我開始參加 Ken Chan 的物理補習班,開始一步一步的,解決了「空有目標,沒有執行之道」這問題。

有了「做物理學家」這長遠目標後,我感到人生不再一樣,雖然,我讀書的日常生活,仍然十分混亂。不一樣的地方主要是,我讀書的動機,大了很多;次要是,我開展了閱讀的習慣,不只是物理書籍。

那時,我的短期夢想是,升讀預科,選修物理、純數學 和 應用數學 三科。在書局,見到應用數學的一排課本,單單是書脊上的課題名稱時,就已經觸動我心靈:

Theoretical Mechanics I

Theoretical Mechanics II

Differential Equations

Numerical Methods

Probability and Statistics

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雖然中五會考的成績不好,但是幸好仍然足夠令我選俢到,物理、純數學 和 應用數學 三科。所以,中六中七那兩年的預科生活,暫時而言,是我人生中最快樂的時光。

但那段時間,同時是最辛苦的。當然,正正是因為最辛苦,才可爭奪到,那麼密集深刻的數學物理知識和功力,繼而為我帶來最大的快樂。那正正是「難能可貴」的意思。

How would it be possible, if salvation were ready to our hand, and could without great labour be found, that should be by almost all men neglected?

But all excellent things are as difficult as they are rare.

— Spinoza

其實,莫講話有鉅大收穫;即使沒有,單單是可以「全天候研究數學和物理」,就足夠令我把那兩年,視為「直到現在,是我人生中最快樂的時光」。

那時那境,難以複製。

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幾年前,不記得從何而來的靈感,創作了以下的面試題目:

1. What is the happiest moment in your life ever?

2. Can you re-create that moment?

3. If not, why not?

— Me@2013.08.03

  1. 到目前為止,哪個時刻是你最快樂的?

  2. 你可以重造那個時刻嗎?

  3. 如果不可以的話,為什麼不可以呢?

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(如果是最快樂的一刻,我選第一次見到我弟弟的那一刻。

如果是最快樂的一天,我選大學第一天。)

如果是最快樂的一個時代,我選預科的那兩年。

我暫時不能重造那個時代,主要因為還未有足夠的金錢儲備,令我可以,毋須做工維生,從而「全天候研究數學和物理」。

— Me@2020-08-16 07:15:02 PM

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2020.08.21 Friday (c) All rights reserved by ACHK

太極滅世戰 2.1

似水流年 2.2

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還記得童年時不太開心,好像沒有太多事情,令我快樂。換句話說,即是過得沉悶。一方面喜歡讀書,另一方面卻緊張成績,終日惶恐。

近乎唯一娛樂就是看電視。那時,我還沒有電腦,更加沒有互聯網。那時,沒有什麼金錢買玩具。就算有新玩具,我有時會想:「怎麼辦呢? 很快又會厭倦。」

中二開始,發覺對數學幾有興趣。

中途又有些所謂的嗜好,例如集郵,其實沒有意義。相對沒有那麼無聊的,有電腦遊戲。我的摯愛有 Simcity 2000 和 Chrono Trigger 等。但那也只是暫時的快樂,仍未能為我生活,帶來意義;遊戲完結時,感到額外的空虛。

中四上物理時,不知何故,精神上,有一點清涼暢快的感覺。那就代表著,疑似喜歡物理。但是,不知何故,幾乎凡是需要物理思考的題目,我都不懂得做。

一九九六年,逛書店時,看到有一本書叫《時間簡史》。我同學說:「這書(內容)就是你最喜愛的那些東西。」那時,我尚未有觸動心靈的感覺,所以不以為意,沒有購買。

那年暑假,看了香港太空館天象廳的《輪椅中的宇宙》,十分震撼。我大概記得,那是我自己一個去看,沒有朋友一起。

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從紀錄片中,我認識了霍金,知道了《時間簡史》的來源。不久之後,我買了《時間簡史》,企圖一口氣讀完它。過程中,我有惶恐不安的感覺。原因不是書中內容,而是我沒有閱讀的習慣。換句話說,《時間簡史》令我開始了,培養閱讀的習慣。

《輪椅中的宇宙》和《時間簡史》令我發現,我的人生目標是物理。

但是,我自中三開始,那些物理題目,真是不太懂做呀。空有目標,沒有執行之道。

其實,我那時沒有也辦法,因為,我日校物理教師,講物理講得十分有趣,而我又有留心聽講。如果在這個情況下,我仍然不懂的話,那大概是我的智力問題。

幸好,後來發現,那不是事實。至起碼,中五會考物理,並不需要高智力,也可以奪得 A 級成績。十多年後,在自己有足夠的讀書和教學經驗後,我發現,我當年不懂做題目,主因是日校物理教師,只談理論,不會教題目細節。甚至,有些課題,例如電學,連他自己也根本不太認識。

一九九六年的那個暑假,我開始參加 Ken Chan 的物理補習班,開始一步一步的,解決了「空有目標,沒有執行之道」這問題。

有了「做物理學家」這長遠目標後,我感到人生不再一樣,雖然,我讀書的日常生活,仍然十分混亂,

— Me@2020-07-27 07:33:45 AM

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2020.08.03 Monday (c) All rights reserved by ACHK

反貼士搵笨大行動 1.5

中六時,我日校的同學中,有些在中五時和我一樣,都是補 Ken Chan 的物理班。升上中六後,他們大部分也補 MC Chan 的物理班。我在中六時則沒有補習。我在中六升中七的暑假,才去上 MC Chan 的物理班。

我的那個年代,有很多補習班也以「貼中考試題目」作為招徠。有一次上課時,MC Chan 說:

如果到咗呢個時候,你仍然相信,世間上有『貼士』嘅話,咁你都無資格讀大學啦。

(如果到了這個時候,你仍然相信,世間上有『貼士』的話,你大概沒有資格讀大學吧。)

他說,出題人員有著極高的月薪(當年七萬多港元)。他們根本沒有任何動機去貪污。

他又解釋,他當年所謂的「貼中」題目,是如何達成的。當年他在高考前,預測題目會有「光電效應」。結果,有一題長題目,真的是考「光電效應」。而方法則很簡單,就是每年也預測同一個課題。他每年也預測「光電效應」,總有一年會「貼中」。然後補習社就可以,大肆宣傳。

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其實,根本不用他提點,一般人只要冷靜一點,也可以想到,「貼士」近乎沒有可能。

第一,如果有一位補習導師的「貼題」命中率,真的十分高的話,他為何還未被廉政公署拘捕呢?

第二,或者有人會為他辯護:「可能他有超能力,能知過去未來。運用超能力,是完全合法的。」

如果是那樣的話,他在公開試前,開幾堂就可以;為何一科要上那麼多堂,收我那麼多學費?

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即使命中了題目,那代表你會懂答嗎?

即使命中了題目,那代表單憑該題的分數,你就會有上乘成績嗎?

— Me@2020-07-10 04:13:13 PM

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2020.07.10 Friday (c) All rights reserved by ACHK

反貼士搵笨大行動 1.4

這五篇文章的主旨是,

「無知」即是「缺乏足夠資料」;

「無知」不是「愚蠢」。

需不需要補習的一個指標是,你在日校專心聽課後,懂不懂做以往的公開試試題?

如果你大部分試題也不懂做,那就代表了,你的日校導師,沒有提供足夠的資料給你,簡稱「無料到」。那樣,解決辦法是,找過另一位,可以提供足夠物理資料的導師。

記住,如果需要「補習」的話,重點不在於「補習」(額外上課),重點在於,你可以選擇導師。

而「選擇導師」的重點則在於「選擇」,而不在於「導師」。

有補習導師並不代表,你就會懂得做試題。

補習導師和日校導師一樣,可能提供不到足夠資料,即是「無料到」。補習導師和日校導師一樣,質素都是沒有保證的。「沒有保證」的意思是,如果補習無用,導師並不會賠償,你所損失的,大量金錢和時閶。

所以,「選擇導師」的重點在「選擇」,不在「導師」。

選擇對導師,才會有成果。

而「有料到」的導師極少,不易找到。以下是選擇導師的方法:

請到本站底部,點擊到達本人的補習網站。

該站有三篇文章:頭兩篇有關「選擇導師」的方法,尾一篇是廣告。

廣告那篇可以忽略。頭兩篇的內容,則適用於大部分人。

— Me@2020-04-25 08:08:39 AM

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2020.04.25 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

反貼士搵笨大行動 1.3

無足夠資料 12

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中六時,我日校的同學中,有些在中五時和我一樣,都有補 Ken Chan 的物理班。升上中六後,他們大部分也補 MC Chan 的物理班。我在中六時則沒有補習。

哪我為什麼在中六時,不去補 MC Chan 的物理班呢?

一方面,那時我覺得,只要足夠勤力,不補也沒有大所謂。另外,補習本身,就要花很多,我原本可以用來,研習的時間。

會考的兩年課程中,因為不開心,荒廢了第一年。所以,中五時的補習,是必須的。 但是,我在預科一開始的中六時,就立刻起步讀書,所以,我覺得我可能,毋須補習物理。

思前想後,結果,我在中六升中七的暑假,才去上 MC Chan 的物理班。那算是有點兒幸運,因為太多人報讀,不一定有學位給我。我第一次上他的課時,情形如我日校同學所述,真的連桌子之間的行人路,也放了椅子坐了人。好處是,那證明了導師真的很有型。壞處是,萬一有火警的話,一定傷亡慘重。

事後看來,我當年應該要中六開始時,就補 MC Chan 的物理。

理論上,只要花得足夠多時間研習,不補習也可以獲得,補習時獲得的知識。

實際上,這個講法,就有如:「雖然我住在十二樓,但是只有花足夠多的時間,用心行樓梯,我不乘搭升降機,也可以過到快樂的生活。」

(問:那你即是贊成補習?)

你這樣問沒有意思,因為,那就好像問我,贊不贊成看醫生。那要看情況而定,不能一概而論。

需不需要補習的一個指標是,你在日校專心聽課後,懂不懂做以往的公開試試題?

你可先參考本網誌的五篇文章:

無足夠資料

自我實現預言

天人天書

無足夠資料 4

無足夠資料 5.2

這五篇文章的主旨是,

  1. 「無知」即是「缺乏足夠資料」;

  2. 「無知」不是「愚蠢」。

需不需要補習的一個指標是,你在日校專心聽課後,懂不懂做以往的公開試試題?

如果你大部分試題也不懂做,那就代表了,你的日校導師,沒有提供足夠的資料給你,簡稱「無料到」。那樣,解決辦法是,找過另一位,可以提供足夠物理資料的導師。

記住,如果需要「補習」的話,重點不在於「補習」(額外上課),重點在於,你可以選擇導師。

而「選擇導師」的重點則在於「選擇」,而不在於「導師」。

有補習導師並不代表,你就會懂得做試題。

補習導師和日校導師一樣,可能提供不到足夠資料,即是「無料到」。補習導師和日校導師一樣,質素都是沒有保證的。「沒有保證」的意思是,如果補習無用,導師並不會賠償,你所損失的,大量金錢和時閶。

所以,「選擇導師」的重點在「選擇」,不在「導師」。

選擇對導師,才會有成果。

而「有料到」的導師極少,不易找到。以下是選擇導師的方法:

— Me@2020-03-31 04:28:23 PM

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2020.04.05 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

反貼士搵笨大行動 1.2

幾個月後,考了物理科後的一晚,我和馬同學於電話傾談。他說他在見到試題時,十分生氣,因為不如傳說中的所謂「5 題貼中 4 題」。(根本就一題也沒有貼中,除非「貼中」的定義,就只是「同一課題」而已;例如,貼「力學」題目,又真是出了「力學」題目。)

我則不會有那樣的期望。我回答他說:「如果他真的可以貼中題目,他在平時又何須那麼用心去授課?他又何須在聖誕假和農曆年假中,再要不斷的補課呢?」

他:「真希望思考可以像你那麼成熟。那不是反話。那是我真正覺得。」

幾個月後,我有幸升到預科中六,打算再參加 Ken Chan 的補習班。他在我中五時,沒有同時開中六的課程。我估計,那是因為高考班的市場,只有會考班的五分之二。但是,在我中五後,傳說他會開中六班。所以,我打算去問一問,本來。

不幸,該補習社的負責人,在那時(1997 年的暑假)因涉嫌無牌經營補習社,被警方的重案組拘捕了。結果,我不了了之,中六時沒有再補物理。

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在我參加 Ken Chan 補習班的年代,在他的筆記中,每題 MC 題目方格的底部,都會有一句署名,大概是

This question set is prepared by Ken Chan. Please contact Ken Chan if you want to use it in your class.

我也不記得確實在哪時,但大概是在 1996 年底,他說:「最近的筆記,可能署名不是我,而是 MC Chan。我的手提電腦中了毒,所以需要問他借筆記。」

幾個月後,1997 年初,補習課程的尾聲時,Ken Chan 說:「今年我無開 intensive course(臨近正式公開試時的精修密集班),如果需要的話,你可以找市面上另一位導師。」

那另一位導師,因為在另一間補習社任教,Ken Chan 所以不好意思,直接開名介紹,唯有暗示:

「我係 Long Ques 陳,你估吓另一位係邊個。」

「Long Ques」即是長題目。相反就是「MC」,即 multiple choices(多項選擇題)。他所暗示的,其實就是 MC Chan。

Ken Chan 竟然會介紹其他導師,其實我有一點意外。他願意介紹的,必定和他的水平相當。但是,Ken Chan 對我來說是,半人半神。難以想像有另一個物理的半人半神。

在大約十年後,2007 年時,我是一位日校的數學教師。數學問題外,有空時,我也時常答學生物理問題。有一次,我向給有幾位學生解釋物理時,有一位學生突然講:「好似 Ken Chan 呀!」

她的意思是,我解釋物理時的說話風格,與 Ken Chan 的,十分相似。由於法例所限,日校教師不可介紹補習導師,所以,我沒有回應。我只能在心裡說:「梗係以啦,好細個嗰陣,係佢學生吖嘛。」(當然相似啦,因為我小時候是他學生。)

另一次那位學生問我物理。那份筆記我揭到封面看一看,原來是 Ken Chan 班的筆記。我感格外親切。

「咦,你識佢呀?」(你認識他嗎?)我的學生問。

又由於法例所限,我再沒有回應。但她再講多一句:「佢仲有個呀哥 MC Chan。」(他還有一個哥哥 MC Chan。)

雖然我不知其真假,但我覺得十分有可能,因為,那解釋了為何 Ken Chan 會信任他。

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中六時,我日校的同學中,有些在中五時和我一樣,都是補 Ken Chan 的物理班。升上中六後,他們大部分也補 MC Chan 的物理班。我在中六時則沒有補習。

— Me@2020-03-04 11:18:52 PM

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2020.03.07 Saturday (c) All rights reserved by ACHK