排列組合 1.2

nCr, 0.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

.

1.4.2 另外一種設計定義的想法是,由 \displaystyle{n!}算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少,\displaystyle{n!} 就有多少項相乘,那樣,零的階乘,\displaystyle{0!},理應只有零項相乘,\displaystyle{~a^0~}

\displaystyle{0! = a^0}

.

但是,「零項相乘」的數值,又應該是什麼呢?

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」,所以是一,因為任何數乘了一,效果都等於沒有乘;所以,

\displaystyle{a^0 = 1}

\displaystyle{0! = 1}

.

「零項相乘」的正式學名是,「空積」或「零項積」。

.

1.4.3 如果要詳細一點,去理解「空積」的話,可以先嘗試了解「次方」的意思。

首先,\displaystyle{a} 五次方的意思,就是有五個 \displaystyle{a} 相乘。

\displaystyle{a^5 = aaaaa}

.

如果在其之後,再乘 \displaystyle{a^3} 的話,就即是再乘多三個 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa)}

.

所以,

\displaystyle{a^5 a^3 = a^{5+3}}

.

既然,在其之後乘以 \displaystyle{a}三次方,就是乘多三個 \displaystyle{a}

那樣,在其之後乘以 \displaystyle{a}三次方,就可以理解成乘少三個 \displaystyle{a},即是:

.

你想想,自出生以來,你學過什麼操作,會有刪除因子的效果呢?

就是分母:

\displaystyle{a^5 a^{-3} = \frac{aaaaa}{aaa}}

.

所以,所謂「負三次方」的運算的方法,就是把那三次方,放於分母之中。

\displaystyle{a^{-3} = \frac{1}{a^3}}

.

然後,我們可以再研究,一個抽象一點的問題:

\displaystyle{a}次方,又會是什麼呢?

.

我們可以這樣想,如果 \displaystyle{a^{1/2}} 存在的話,它必須達到什麼效果呢?

.

如果暫時想不到的話,可以改為思考:「\displaystyle{a} 的五次方,乘了半次 \displaystyle{a},再乘半次 \displaystyle{a}」 的話,即是總共乘多了,多少個 \displaystyle{a} 呢?

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=?

.

那很明顯是,總共乘多了一次 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^5 a^1

.

所以,

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^6

.

亦即是話,

\displaystyle{a^{1/2} a^{1/2}}=a^1

.

究竟這個所謂的「半次 \displaystyle{a}」存不存在呢?

可以這個想,你自出生以來,有沒有學過什麼數字符號,自乘後會等如一次 \displaystyle{a} 呢?

有,那就是 \displaystyle{a} 的平方根。

\displaystyle{\sqrt{a} \sqrt{a}}=a^1

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所以,所謂的「半次 \displaystyle{a}」,其實就是,平方根 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}}

.

言歸正傳,我們再來研究,所謂的「\displaystyle{a} 零次方」,其實是什麼?

顧名思義,即是乘 \displaystyle{a} 的次數為零,不要乘也。

再想想:

\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的正三次,就是乘多三個 \displaystyle{a};所以,結果就是 \displaystyle{a} 的八次方。

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa) = a^8}

同理,\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a}三次,就是乘三個 \displaystyle{a};所以,結果就是 \displaystyle{a} 的二次方。

\displaystyle{a^5 a^{-3} = a^2}

.

那樣,\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a}次,理應就是「不乘多亦不乘少」,維持原來的 \displaystyle{a} 五次。

\displaystyle{a^5 a^{0} = aaaaa = a^5}

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換句話說,「乘以 \displaystyle{a} 零次」的效果,就是「乘了等如沒乘」。

你想想,自出生以來,有沒有學過什麼數字符號,會有「乘了等如沒乘」的效果呢?

— Me@2022.09.07 08:09:14 PM

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2022.09.10 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

排列組合 1.1

nCr, 0

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

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\displaystyle{n!}

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1.1  意思:

\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位的話,有多少種坐法?

1.2.1  算式:

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

1.2.2  由來:

第一個位,有 \displaystyle{n} 個可能的人選;第一個位被坐後,第二個位只有 \displaystyle{(n-1)} 個,可能的人選;如此類推,直到最後一個位,被餘下的唯一個人,選了為此。

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1.3 

留意,\displaystyle{n} 是多少,就有多少項。

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

例如,\displaystyle{5!},就有 5 項相乘;

\displaystyle{\begin{aligned}     5! &= (5)(4)(3)(2)(1) \\ \\     \end{aligned}}

\displaystyle{3!},就有 3 項;等等。

\displaystyle{\begin{aligned}     3! &= (3)(2)(1) \\    \end{aligned}}

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1.4.0  零的階乘,\displaystyle{0!},還未有定義,因為,算式 \displaystyle{n! = (n)(n-1) \cdots (2)(1)} 中的 \displaystyle{n},只可以是正整體,不可以零。

階乘零,\displaystyle{0!},需要額外定義,因為會常用到。那樣,\displaystyle{0!} 應該定義為,什麼數值呢?

1.4.1  既然 \displaystyle{n!}意思是「\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位,有多少種坐法」,那樣,你就可以視,\displaystyle{0!} 的意思是「\displaystyle{0} 個人 \displaystyle{0} 個座位,有多少種坐法」;那明顯是一,因為,那個情況之下,只有一個「坐法」,就是「沒有人又沒有位」這個唯一的可能性。

\displaystyle{0! = 1}

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1.4.2  另外一種設計定義的想法是,由 \displaystyle{n!}算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少,\displaystyle{n!} 就有多少項相乘,那樣,零的階乘,\displaystyle{0!},理應只有零項相乘,\displaystyle{~a^0~}

\displaystyle{0! = a^0}

但是,「零項相乘」的數值,又應該是什麼呢?

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」,所以是一,因為任何數乘了一,效果都等於沒有乘。

\displaystyle{a^0 = 1}

(「零項相乘」的正式學名是,「空積」或「零項積」。)

\displaystyle{0! = 1}

— Me@2022-08-02 02:41:43 PM

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2022.08.02 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

物理避數學;數學避思考

數學教育 8.1

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

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科技是一套,避開科學的系統。

科技的存在,是為了讓不懂科學的人,也能享受,科學的成果。

例如,即使你不懂寫程式,也可以使用電腦。

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科學的起點是物理。物理是一套,避開數學的系統。

物理的存在,是為了讓人在,毋須全懂數學的情況下,也能享受,數學的成果。

例如,在物理科中「簡諧運動」,原本需要懂數學中的「三角學」和「微分方程」,才可以處理得到。但是,在中學的物理教科書中,會教你把「簡諧運動」,看成某個「圓周運動」的投影;那樣,你可以在不太懂,「三角學」和「微分方程」的情況下,獲得那些運算成果。

所以,如果一題物理題目,你竟然需要,大量的數學運算才能完成,有很大機會是,你根本不懂,該題的物理原理,導致沒有工具,去簡化(甚至避開)運算。

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數學的存在,是為了讓人在,盡量避開思考的情況下,也能享受,思考的成果。

例如,你在學過乘法的定義和原理後,就會背誦乘數表,從而毋須再刻意思考,也可以利用到,乘法的成果。

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那樣,既然數學是一個「盡量避開思考」的系統,為什麼還要學呢?

完全不學數學,就可以完全避開思考。那不是更好嗎?

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學過數學思考,才會有能力判斷,哪時需要思考,哪時不需要。

而有時「不需要思考」,正正是因為在那些情況,你知道可以用,哪些內在或外在工具,去避開思考之餘,而獲取成果。

如果你從來未學過乘法,即使給你計數機,你也不會用它來做乘法,因為,你根本不知道,有「乘法」這個數學概念工具。

— Me@2022-07-02 12:02:59 PM

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2022.07.02 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

數學教育 7.5.3

A Fraction of Algebra, 2.3

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

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大多數情況反而是,遇到不佳的教師,因為大部分教師,也不懂教學。那就導致,在某一年的數學知識,出現斷層。數學作為理科之心,累積性最高。不幸斷了一層的話,就會同時斷了,之後的每一層。

隨著越來越陌生,那些對數學先天的純真喜愛,也變得不再復見。與數學,再見也不會是朋友。

我比較幸運,在中學時代,遇到一些合理的數學教師。即使在中六七的預科中,一科「應用數學」的教師,未如理想;另一科「純數學」的教師,卻驚為天人。

而我的物理科,則沒有那麼幸運。

留意,我這裡問的是,

你的日校物理教師,有沒有教,實質內容呢?

而不是

你的日校物理教師,教得好不好?

因為「好不好」有時,只是主觀的感受,未必能化成,實質的知識和成績。

我當年就是就正正,犯下這個錯誤。

我中三和中四時覺得,日校物理教師十分好,因為他無論是講物理故事,或物理概念,都十分精采;精采到一個地步是,他啓發了我,對物理的興趣。

但是,當時不知何故,我大部分 MC(多項選擇題)都不懂做。

教師好,而我成績差,很明顯是我的問題。

那是一個無知年輕人的想法。

事隔多年,我終於知道,那不是我的問題。原來我的日校物理教師,極少跟我們研究題目。每類題目應該如何理解,如何運算,要運用什麼概念或技巧等,都是必須教的東西,因為,極少人可以,無師自通。

根本九成九的要點,在題目的解答過程之中。而我的日校教師,偏偏沒有教。很大可能是,其實連他自己也不太懂。

— Me@2022-06-21 11:51:20 AM

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2022.06.21 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

電腦病毒

這段改編自 2010 年 10 月 14 日的對話。

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很多時,「解決」問題最好的方法是,令到自己毋須,解決那個問題。

例如,你現在的問題是,本年是你的高考年。每天回家後,理應操練以往試題。但實情是,每天回家後,也會忍不住,打開電腦一會兒。而那「一會兒」卻往往會,橫跨數小時。

解決的方法是,訓練到自己每天回家後,忍得住不打開電腦。(我自己就在預科那兩年間,從來沒有開電腦,幾乎。)

更好的方法是,令到自己根本,毋須這個訓練。那就是每天下課後,留在學校完成了,自己給自己的試題操練目標,才回家。(這裡假設了,操練題目數小時後,回家仍然不會太晚。)

既然「每天回家後,也會忍不住,打開電腦一會兒」,倒不如索性,在完成功課前,暫時刪除了「每天回家後」這情節,那就完全避開了,「也會忍不住,打開電腦一會兒」這劇情。

跟壞人相處的最好方法是,不要跟他相處。不跟壞人相處的話,就毋須研究「如何跟壞人相處」。

完成操練試題前,暫時不讓「每天回家後的自己」出現,你就毋須研究,如何駕馭對付他。

— Me@2022-06-02 11:52:12 AM

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2022.06.02 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

王國之心

數學教育 7.5.2 | Genius 4.2.2 | A Fraction of Algebra, 2.2

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

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相比其他科目,數學複雜程度大,很容易遇到一個情形,就是去到某一章節,開始處理不到。這是問題描述的第一步。

第二步就是問,為何會「去到某一章節,就開始處理不到」呢?

第一個可能是,求學者不夠聰明。或者說,數學較抽象,所以需要一般人也沒有的天份,才能駕馭。但這個可能的機會,其實不大,只佔少數案例。

大多數情況反而是,遇到不佳的教師,因為大部分教師,也不懂教學。那就導致,在某一年的數學知識,出現斷層。數學作為理科之心,累積性最高。不幸斷了一層的話,就會同時斷了,之後的每一層。

隨著越來越陌生,那些對數學先天的純真喜愛,也變得不再復見。與數學,再見也不會是朋友。

— Me@2022-05-26 07:54:01 PM

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2022.05.28 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

數學教育 7.5.1

Genius 4.2.1 | A Fraction of Algebra, 2.1

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

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另外,他提的另一個,有關學習數學的要點是,即使假設你在大學中,學到的數學,在日常生活中沒有用,單單是為獲取,那些嶄新的元素概念本身,就已經能夠令你有超能力;令你有一些,常人沒有的思考工具、比喻語言。

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(安:但是,這個講法可能有一個問題。

雖然,你剛才列舉了數個例子,來示範如何將高深數學,間接應用到人生處世,但是,一般人未必有那種能力。所以我想問,你又是如何去跨過這個難關呢?)

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什麼難關?

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(安:去翻譯那些抽象數學概念,到其他範疇,或者日常生活。)

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那不是「難關」。你的意思是,一般人也沒有那個能力,而我有。所以,那是超能力;我當年一定是,用了一些秘技,才獲取之。

天才之道,點滴累積。其實並沒有所謂的「秘技」。只要一步一步地,學習數學,就自然建構出,一個相對接近完整的數學思考體系,生成「翻譯抽象數學概念到其他範疇」等能力。

所以,我猜想你的疑問是,其實我所講的「點滴累積」,或者「一步一步地」,雖然理想上是,基本的要求,但是現實中是,大部人也做不到。那就代表著,大部人可能也會遇到,一個共通的「難關」。那個「難關」究竟是什麼?我又是如何克服它,而做到「一步一步地」「點滴累積」的呢?

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你問題的最簡化版本是:「如何學習數學,開創人生?」

有起碼以下三個先決條件:

1. 對數學(及其他學問人生),有極大興趣;

2. 遇到合理的老師和書籍:

重點是,數學概念或運算上的主要步驟,亳無違漏。支節可免,但主旨必須。細節可以無師自通,大節必靠前人指點。平地自己行,斜地靠梯級。平地可跳步,梯不可跳級。

3. 極超大量的背誦和練習:

數學是理科,所以其背誦方法,不是「死背」零碎隨機的資料,而是「生背」息息相關的訊息。融匯貫通地背誦的唯一方法是,極超大量的操練。

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你所講的「難關」,就是以上的第二點。老師有分好老師和差老師。大部分也是差老師。而差老師再分兩類:不懂數學和不懂教學。

— Me@2022.05.02 11:48 PM

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2022.05.03 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

原來是我

原來是你, 3

這段改編自 2010 年 10 月 14 日的對話。

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你所追求的東西,可能一直在你身邊,只是你沒有留意。

這原理不只適用於,愛情方面。它也會現身於,才能和興趣等。

例如,我小時候,在中三之始,就開始修讀物理科。但是,我要在兩年後,中五前的暑假才發現,物理是我事業中的最愛;自始以其為人生目標。

— Me@2022-02-10 08:08:53 PM

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2022.02.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK

分支圖

這段改編自 2021 年 12 月 9 日的對話。

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條件概率(conditional probability)的公式中,會除以「已知」。

\displaystyle{P(A|B)={{P(B|A)*P(A)} \over {P(B)}}}

而「除以『已知』」的目的就是,改變 tree diagram 的起點。這一句是,我學了機會率之後的十幾年間,原本都不知道的東西。在 2010 年,第一次教時,我才領悟得到。

This file is made available under the Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

樹形圖的起點,機率必為一,因為「樹形圖起點」的定義,就正正是「已知」。

樹形圖的重要性在於,多複雜的題目,只要你用樹形圖來思考,通常都可以明白到。

甚至,如果你問最根本的問題「乘法從何而來」,其實,都需要用樹形圖來解釋。例如,\displaystyle{3 \times 2} 是什麼意思呢?

三大分支的每支上,再有 2 小分支的話,就總共有 6 個終點。

— Me@2022-01-02 12:20:15 PM

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2022.01.03 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 2

Proofreading probability

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There are 5 women and 6 men in a bus. But there are only 4 seats.

Assume that all the seats will be occupied and all possible seating arrangements have the same probability to appear.

What is the probability that 2 or more men will have seats?

~~~

Probability method gets the final probability by multiplying several fractions of probability together.

P method:

This method considers each seat one by one: what is the probability that this seat will get, for example, an M?

Let \displaystyle{x} be the number of men that will have seats. Also, instead of writing \displaystyle{C^n_r}, we use the standard notation \displaystyle{{n \choose r}}.

\displaystyle{P(x \ge 2)}
\displaystyle{= 1 - P(x = 0) - P(x = 1)}
\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - P(MFFF) - P(FMFF) - P(FFMF) - P(FFFM)}

\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - {4 \choose 1} P(FFFM)}

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\displaystyle{P(FFFF) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{2}{8} \right)}

\displaystyle{P(FFFM) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{6}{8} \right)}

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\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}

\displaystyle{= \frac{53}{66}}

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Statistics method gets the final probability by dividing the number of ways of getting the desired result by the number of all possible results.

S method 1:

This method considers all the seats at once: what is the number of ways that they will get, for example, 3F and 1M?

In other words, instead of the seats, this method focuses on the people: what is the number of ways that 3F and 1M will be chosen?

In other words, instead of the choosing process, this method focuses on counting the results of the choosing.

Let \displaystyle{N(...)} = the number of ways of …

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose 2 or more men})}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5 and then 1 M among 6})}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose any 4 people}) - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5}) \times N(\text{1 M among 6})}{N(\text{seats choose any 4 people})}}

\displaystyle{= \left[{11 \choose 4} - {5 \choose 4} - {5 \choose 3} {6 \choose 1} \right] / \left[ {11 \choose 4} \right]}

\displaystyle{= \frac{ 330 - 5 - 10 \times 6 }{330}}

\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}

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S method 2:

This method considers each seat one by one: what is the number of ways that this seat will get, for example, an M?

In other words, instead of the results, this method focuses on choosing process itself.

Note that this method uses permutation instead of combination.

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(FFFF) - N(MFFF) - N(FMFF) - N(FFMF) - N(FFFM)}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - (6)(5)(4)(3) - (5)(6)(4)(3) - (5)(4)(6)(3) - (5)(4)(3)(6)}{(11)(10)(9)(8)}}

\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - 4(6)(5)(4)(3)}{(11)(10)(9)(8)}}

\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}

\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}

— Me@2021-10-02 05:18:02 PM

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2021.10.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

尋覓

這段改編自 2010 年 10 月 14 日的對話。

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你為什麼哭?可不可以告訴我?

(CPK: 可不可以講呀?可以?

她剛剛和男朋友分了手,因為,她男朋友長期不理會她。)

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我剛才見到你哭,不知發生什麼事。現在,我知道是失戀。那是我所能想像的災難中,最小的一種,因為,那幾乎是,每個人都必會遇到的事情。

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如果想避免,那就先寫下筆記。

第一點,你不要找一般的地球人,做你的另一半,因為,剛才你所講的劇情,如果是地球人的話,就一定會發生。

例如,追到你之前,會很愛惜你。不應該說「愛惜」。應該怎樣說呢?

追到你之前,就很想見到你,但追求成功後,就不太理會你。你遇到的,是不是這樣?

(CSY: 是。)

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你想像一下,如果將來與他結了婚,會有什麼後果?

只會更加嚴重。他只會更加不理會你。所以,不可永久相愛的話,越早分手越好。試想想,如果結了婚後才分手的話,情況會有多麻煩。

結了婚但未有子女時,離婚還可以。但如果有子女的話,那就不知如何是好了。

既然幾乎是人生必經階段,那就分手越早越好。

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當然,那不是地球人的唯一缺點。其他不能忍受的缺點,還有(例如),誠信有問題。你認識的人當中,有多少人是守時的呢?

其實,大部分人不只不守時,還常常會爽約。

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但是,要找到你,心目中的那個外星人,不易做到。

一來,地球上,地球人很多,外星人很少。

二來,外星人中,都可以有好有壞。

三來,你二十歲未到,還未有足夠的人生閱歷,去辨認哪些人是,有誠信的外星人。

所以,你等年紀大一點,例如大學時代,才拍拖,可能會好一點。

— Me@2020-10-28 10:26:23 PM

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2020.10.31 Saturday (c) All rights reserved by ACHK