(反對)開夜車 2.2

Ken Chan 時光機 1.4.2.2

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The light that burns twice as bright burns half as long, …

— Blade Runner (1982)

可能,因為他「溫習到凌晨」式的方法,對他來說有效,他亦鼓勵學生那樣做。

我現在的記憶,暫時未能確定,他在課堂中,有沒有明示推介過,用這個方法。但是,我記得在他派發的筆記中,其中一頁,有一個正在深夜讀書的漫畫。而在漫畫下面,有一句「study to 3 a.m.」(讀書至深夜三點鐘)。

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長話短說,我是反對這個方法的,理由有很多,例如:

第一,長期睡眠不足,會導致腦袋呆了,大大減低下一天的工作效率。

第二,長期睡眠不足,會導致身體時常病。

在 Ken Chan 的部分課堂,特別是假期的補課中,我就見到他時常咳嗽。可能,他在工作時代,仍然過著,極度忙碌的生活。

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還記得在九月,在課程的第一課,他就已經遲到,遲了大概 15 至 30 分鐘之間。那課原定於早上八時半開始。上課中途,他有點咳嗽。他說,因為當天早上之前,吸入了太多的氮氣。他懷疑一位同事,作弄了他。

話說,他工作的地方,有一部儀器壞了。他的同事跟他說:「部機好似壞咗,漏緊啲 nitrogen 喎,你聞下係唔係?」(那儀器疑似壞了,正在洩漏氮氣。你聞一聞,看看是不是。)

Ken Chan 事後回心一想,才醒起:「Nitrogen 又點會有味咖?」(氮氣又何來會有味道呢?)

結果,他那天只睡了,一個半小時。

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我那時以為,那沒有什麼大不了。但是現在,我也已一把年紀了,才驚覺,只要有一點不幸,那就可以造成,嚴重的後果。

— Me@2019-02-03 07:02:42 AM

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2019.02.03 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

(反對)開夜車 2.1

Ken Chan 時光機 1.4.2.1

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之前提到,Ken Chan 所讀的中學不正常:

在中四和中五的校內考試測驗中,不斷地考核高考課程。所以,他在中四時代開始,已經要鑽研,高考程度和大學程度的物理。

那樣,他何來有,那麼多的時間呢?

那時,他往往要讀書,至通宵達旦。

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那樣,他的公開試成績,又如何呢?

根據他所講,他事後發現,會考物理科中的 MC(多項選擇題)部分,錯了兩題;他達不到他原本,「全部科目全部滿分」的理想。

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那樣,他又做不做到「狀元」,全部科目「奪 A」呢?

他在另一天的課堂中,暗示自己當年,差一點才做到「狀元」:

(我暫時不記得,他以下說話的上半句是什麼。)

… 如何不是那樣,我就毋須於,放榜當天的晚上,在家裡哭。唉!還是不說了。

當時,我想知道詳情。可惜,他真的沒有說下去,我也沒有辦法。

雖然,主觀而言,從他自己的角度,成績不是理想,因為,那不是「全部科目全部滿分」;但是,如果不是對自己,那麼苛刻的話,客觀來說,他的成績是上乘的。

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可能,因為他「溫習到凌晨」式的方法,對他來說有效,他亦鼓勵學生那樣做。

我現在的記憶,暫時未能確定,他在課堂中,有沒有明示推介過,用這個方法。但是,我記得在他派發的筆記中,其中一頁,有一個正在深夜讀書的漫畫。而在漫畫下面,有一句「study to 3 a.m.」(讀書至深夜三點鐘)。

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長話短說,我是反對這個方法的,…

— Me@2019-01-18 03:47:50 PM

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2019.01.19 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 2.2

聖誕假後的常規課程中,Ken Chan 預計應該不會有時間,教光學和熱學。但是,他認為那兩個課題很淺易,所以,期望我們即使自修,也沒什麼難度。

但是,他後來改變主意,還是決定於,農歷新年的年初一、二、三,為我們補課,教回光學和熱學。

今次,那三天的課,他不單不收我們的學費,他還要自己,花時間找課室、花金錢付租金。

後來,他改為每天收 20 元,即是總共 60 元。他解釋道,補課社的職員因為他的補課,要犧牲那三天的農曆新年假期。那每人 60 元的學費是,全數慰勞他們的。

那三天的補課,好處是光學和熱學;壞處是,由於每天也補多個小時,我少了大量,各科的溫習時間。但是,那個農曆新年長假,因為我自己時間管理不善,而損失的時間,遠多於那三天的補課時間。

感謝 Ken Chan 的額外付出。我亦慶幸,生於那個時空,還是有真人授課的年代。出生遲十年,就已經只能透過錄影帶,來獲得 Ken Chan 的教導。

— Me@2019-01-06 02:18:47 PM

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2019.01.06 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 2.1

當年是 1996 年,我 9 月開始上他的課程。每星期上 1.5 小時,由星期六早上 8 時半,上到 10 時正。所以,每個星期六,我也要在還未睡夠時,就很早起床。去補習社的路程中,往往是一邊行,一邊流鼻水;唯有勉勵自己:「即使再辛苦,只要捱過『會考』(公開試),就可以有好日子過。」

記憶所及,大概在聖誕前,剛好完成了力學分部。

然後,他於聖誕假期中,有額外補課—歷時三天的全日課程,不再是每天 1.5 小時。就在那三天,他要完成波動分部。

他在公佈有這個聖誕波動補課時,我有兩點不開心。

第一點是,我要交額外的學費。不過,相對於第二點而言,那也只是小問題。

第二點是,那補課的學額有限,只有常規課程的兩成。我現在的記憶可能有誤,未必真的是兩成,但也必定是,遠少於他常規課程的學生數目。換句話說,如果供不應求,我就可能報讀不到。幸好,正正是因為這個擔憂,我及早報名,爭取到一個補課學位。

— Me@2018-12-27 03:50:13 PM

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2018.12.27 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

迷宮直升機 5.3

Ken Chan 時光機 1.4.3

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其實,那種情形,對現為中四的你而言,並不只是一個「假設」,因為,你現正修讀, G.Maths(核心數學)和 A.Maths(附加數學)。

「附加數」比「基礎數」而言,艱深非常,大部分人也覺得,十分辛苦。但是,亦正正是因為「附加數艱深非常」,你才會覺得「核心數容易萬分」。

那又為什麼,會有這個現象呢?

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(問:程度高了?)

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無錯。水平高了。

試想想,你參加了一個走迷宮比賽—與另外幾位參賽者,鬥快逃出同一個迷宮。

在那個情況下,「勤力」一點,跑快一些,是沒有什麼大作用的;因為,你只要在其中一個分岔路口,做錯決定,你就已經可以,前功盡廢。

走迷宮的致勝之道—在現埸極速逃出的方法是,在事前用大量時間準備,一架直升機,在比賽期間,把你釣出迷宮。

即使沒有那麼多資源,至起碼,在比賽開始前,你就要準備好,該迷宮的平面圖。

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(問:無論是直升機,或者是鳥瞰圖,好像都是犯規?)

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那要視乎,具體是哪一個遊戲。

試想想,中學生自修大學程度的課程,有沒有犯規?

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(問:似乎沒有。但是,那又好像十分辛苦。)

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一般而言,世間少有不勞而獲的東西。鉅大的好處,很多時也需要付出,鉅大的代價。

還有,如果策略妥當,閱讀大學程度書籍,所需的額外時間,未必如想像中的那麼多。

比喻說,假設你修讀 A.Maths(附加數學)的唯一目的是,提升 G.Maths(核心數學)。那樣,你的「附加數」成績,並不需要保證,名列前茅。

反而,即使在最壞情況,你的「附加數」成績不合格,只要你曾經用心研習過,「附加數」也會令你覺得,「核心數」容易了很多。

同理,如果你閱讀大學物理書籍的主要目的是,提升中學物理的話,你並不需要完成,整本「大學物理」的課文和習題。

反而,最重要的是,你嘗試過「大學物理」中,部分題目的難度;那就足以令你感到,中學的版本,顯淺非常。

— Me@2018-12-17 07:05:34 PM

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2018.12.17 Monday (c) All rights reserved by ACHK

迷宮直昇機 5.2

Ken Chan 時光機 1.4.2

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但是,他的學校不正常——在中四和中五的校內考試測驗中,不斷地考核高考課程。所以,他在中四時代開始,已經要鑽研,高考程度和大學程度的物理。

結果,到真正會考時,由於「只會」考核中五程度的東西,他會突然覺得十分容易。

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其實,那種快感不難體會。

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假設,你現在是中學四年級。

你想像,如果突然之間,那份中四的數學卷,換成中一程度的數學卷。你會有什麼感受?

你不單會覺得如釋重負,而且會有信心,有機會取滿分;即使,那份中一測驗卷的課題,在中一以後,從來未刻意溫習過。

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(問:我又不敢說,我一定會滿分。)

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我沒有說「一定」。我只是說「覺得有機會」。

試想想,現為中四的你,面對一份中四的數學卷,你夠不夠膽說「有機會取滿分」?

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(問:不太敢,因為,那幾乎沒有可能。但是,我明白你的意思。現在要我做回中一的測驗卷,又真的會覺得,一定會高分,可能會滿分。)

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其實,那種情形,對現為中四的你而言,並不只是一個「假設」,因為,你現正修讀, G.Maths(核心數學)和 A.Maths(附加數學)。

「附加數」比「基礎數」而言,艱深非常,大部分人也覺得十分辛苦。但是,亦正正是因為「附加數艱深非常」,你才會覺得「核心數容易萬分」。

那又為什麼,會有這個現象呢?

— Me@2018-12-09 09:03:02 PM

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2018.12.09 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 1.4.1

迷宮直昇機 5.1

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至於第三個技巧,則實在是最宏觀,亦可能是最重要。

Ken Chan 說:「你們現在會盤算,在會考中,各科太概會有什麼目標,奪取什麼等級的成績。但是,我當年全部科目,只有一個目標,就是要『攞 full』」。

那就即是要,全部科目中的每一科,不只要甲等,而是要滿分;因為在當年,如果可以在全部科目奪得滿分,考生會獲頒一張特別證書。他那時就為了,那張證書而努力。

但是,那是如何辦到的呢?

考生在中五時參加「會考」,中七時參加「高考」。所以,正常的學校,會在中四和中五的校內考試測驗中,考核會考課程。

但是,他的學校不正常——在中四和中五的校內考試測驗中,不斷地考核高考課程。所以,他在中四時代開始,已經要鑽研,高考程度和大學程度的物理。

結果,到真正會考時,由於「只會」考核中五程度的東西,他會突然覺得十分容易。

— Me@2018-11-18 10:06:43 PM

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2018.11.18 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 1.3

唔識就飛 8.4.2

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另一個技巧是,考試時「唔識就飛」:想不通的話,就立刻先做下一題,或者同一題的下一部分。

假設我現時記憶正確,Ken Chan 是第一個教我這個技巧的老師;我日校的純數學科老師,則是第二個(亦是最後一個)。

這個技巧,對我來說,實在太重要,因為,在兩年多後的純數學科高考中,如果我不是確切執行這個政策的話,我有極大機會會失手,繼而在當年,升不到大學。

那個故事,現不再詳述,因為已於另一篇文章「唔識就飛 8.4」中講過。請參考該文章。

— Me@2018-10-31 09:39:05 AM

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2018.10.31 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

如有 HKDSE physics 香港中學文憑試之物理問題,歡迎以右邊之電郵地址,聯絡本人。

Ken Chan 時光機 1.2

多項選擇題 7.2 | Multiple Choices 7.2

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重點是,無論「勤力」還是「懶惰」,也只是手段,不是目的本身。

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二來,即使有時,「勤力」是正確的;那又應該如何「勤力」呢?

我的老師中,大概只有兩位,曾經講過一點讀書方法。其中一位,就正正是 Ken Chan。(另一位則是,我日校的「純數學」的老師(程兆海)。)

我記憶所及,Ken Chan 教過的溫習技巧,又不是真的很多,因為他並沒有,(例如)花一個課堂的時間去講。但是,就憑他有講的一點點,就已經令我,受用無窮。

Ken Chan 所提及,其中一個技巧是,在物理科,如果新學一個課題,就應該先做,大量該個課題的 MC(多項選擇題)。那樣,你就可以極速釐清,該個課題中的新概念。

註:必須為考試局所出的,以往公開試題目,而不是坊間出版社的練習。

— Me@2018-10-20 11:46:04 AM

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2018.10.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

如果需要聯絡本人,可用右邊的電郵地址。

Ken Chan 時光機 1.1

多項選擇題 7 | Multiple Choices 7

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我在中學時代,很想知道讀書方法。但來,近乎從來沒有老師,教授求學攻略;彷彿那完全不重要。

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大部分老師,大概只會說:「勤力一點。」

那是答非所問。

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一來,勤力一定有用嗎?

如要只要勤力,就解決到問題的話,世界會簡單很多。實情是,那不會。

試想想,人的科技發展幅度,遠大於其他動物,並不是因為人勤力過其他動物。有時候,剛剛相反。正正是因為人想「偷懶」,才會發展各式各樣的科技,以逸代勞。

重點是,無論「勤力」還是「懶惰」,也只是手段,不是目的本身。

— Me@2018-10-03 03:59:04 PM

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2018.10.05 Friday (c) All rights reserved by ACHK

如果需要聯絡本人,可用右邊的電郵地址。

The Jacobian of the inverse of a transformation

The Jacobian of the inverse of a transformation is the inverse of the Jacobian of that transformation

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In this post, we would like to illustrate the meaning of

the Jacobian of the inverse of a transformation = the inverse of the Jacobian of that transformation

by proving a special case.

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Consider a transformation \mathscr{T}: \bar{x}^i=\bar{x}^i (x^1,x^2), which is an one-to-one mapping from unbarred x^i‘s to barred \bar{x}^i coordinates, where i=1, 2.

By definition, the Jacobian matrix J of \mathscr{T} is

J= \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \end{pmatrix}

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Now we consider the the inverse of the transformation \mathscr{T}:

\mathscr{T}^{-1}: x^i=x^i(\bar{x}^1,\bar{x}^2)

By definition, the Jacobian matrix \bar{J} of this inverse transformation, \mathscr{T}^{-1}, is

\bar{J}= \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}} & \displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}} & \displaystyle{\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^2}} \end{pmatrix}

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On the other hand, the inverse of Jacobian J of the original transformation \mathscr{T} is

J^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{ \begin{vmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \end{vmatrix} }} \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} & \displaystyle{-\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{-\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} \end{pmatrix}

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If \bar{J} = J^{-1}, their (1, 1)-elementd should be equation:

\displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}}\stackrel{?}{=}\displaystyle{\frac{1}{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}}\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}-\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} }} \bigg( \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \bigg)

Let’s try to prove that.

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Consider equations

\bar{x}^1 = \bar{x}^1(x^1,x^2)

\bar{x}^2 = \bar{x}^2(x^1,x^2)

Differentiate both sides of each equation with respect to \bar{x}^1, we have:

A := 1=\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial \bar{x}^1}=\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}+\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}}

B := 0 = \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial \bar{x}^1}=\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}+\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}}

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A \times \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}:~~~~~C := \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}=\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}+\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}

B \times \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}:~~~~~D := \displaystyle{0=\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}+\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}

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D-C:

\displaystyle{ \frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}= \bigg( \frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2} - \frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\bigg) \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}},

results

\displaystyle{ \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}}=\frac{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}}{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2} - \frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}}}

— Me@2018-08-09 09:49:51 PM

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2018.08.09 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

Chain Rule of Differentiation

Consider the curve y = f(x).

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\displaystyle{\frac{d}{dx}} is an operator, meaning “the slope of the tangent of”. So the expression \displaystyle{\frac{dy}{dx}}, meaning \displaystyle{\frac{d}{dx} (y)}, is not a fraction.

In order words, it means the slope of the tangent of the curve y = f(x) at a point, such as point A in the graph.

d_2018_07_15__21_31_32_PM_

The symbol dx has no relation with the symbol \displaystyle{\frac{dy}{dx}}. It means \Delta x as shown in the graph. In other words,

dx = \Delta x

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The symbol dy also has no relation with the symbol \displaystyle{\frac{dy}{dx}}. It means the vertical distance between the current point A(x_0, y_0), where y_0 = f(x_0), and the point C on the tangent line y = mx + c, where m is the slope of the tangent line. In other words,

dy = m~dx

or

\displaystyle{dy = \left[ \left( \frac{d}{dx} \right) y \right] dx}

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The relationship of \Delta y and dy is that

\displaystyle{\Delta y = \frac{dy}{dx} \Delta x + \text{higher order terms}}

\displaystyle{\Delta y = \frac{dy}{dx} dx + \text{higher order terms}}

\Delta y = dy + \text{higher order terms}

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Similarly, for functions of 2 variables:

\displaystyle{\Delta f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + \text{higher order terms}}

\displaystyle{df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy}

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For functions of 3 variables:

\displaystyle{df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz}

\displaystyle{\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}}

— Me@2018-07-15 09:30:29 PM

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2018.07.15 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

多項選擇題 6

Multiple Choices 6

這段改編自 2010 年 8 月 24 日的對話。

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有時,一題物理 MC(多項選擇題)會,同時有數學做法和物理做法。

那時,你就先用物理方法做一次,再用數學方法做多一次,以作驗算。

(問:哪有那麼多的時間?)

之前講過,那些做法,必須透過考試前,平日多加收集和練習而來;並不是在考試中途,才花額外時間發明。

— Me@2018-05-22 06:02:40 PM

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2018.05.22 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

Van der Waals equation 1.2

Whether X_{\text{measured}} is bigger or smaller than X_{\text{ideal}} ultimately depends on the assumptions and definitions used in the derivation of the ideal gas equation itself.

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In the ideal gas equation derivation, the volume used in the equation refers to the volume that the gas molecules can move within. So

V_{\text{ideal}} = V_{\text{available for a real gas' molecules to move within}}

Then, when deriving the pressure, it is assumed that there are no intermolecular forces among gas molecules. So

P_{\text{ideal}} = P_{\text{assuming no intermolecular forces}}

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These are the reasons that

V_{\text{ideal}} < V_{\text{measured}}

P_{\text{ideal}} > P_{\text{measured}}

P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT

\left(P_\text{measured} + a\left(\frac{n}{V}\right)^2\right) \left(V_\text{measured}-nb\right) = nRT

— Me@2018-05-16 07:12:51 PM

~~~

… the thing to keep in mind is that the “pressure we use in the ideal gas law” is not the pressure of the gas itself. The pressure of the gas itself is too low: to relate that pressure to “pressure for the ideal gas law” we have to add a number. While the volume occupied by the real gas is too large – the “ideal volume” is less than that. – Floris Sep 30 ’16 at 17:34

— Physics Stackexchange

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2018.05.16 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

Van der Waals equation 1.1

Why do we add, and not subtract, the correction term for pressure in [Van der Waals] equation?

Since the pressure of real gases is lesser than the pressure exerted by (imaginary) ideal gases, shouldn’t we subtract some correction term to account for the decrease in pressure?

I mean, that’s what we have done for the volume correction: Subtracted a correction term from the volume of the container V since the total volume available for movement is reduced.

asked Sep 30 ’16 at 15:20
Ram Bharadwaj

— Physics Stackexchange

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Ideal gas law:

P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT

However, since in a real gas, there are attractions between molecules, so the measured value of pressure P is smaller than that in an ideal gas:

P_{\text{measured}} = P_{\text{real}}

P_{\text{measured}} < P_{\text{ideal gas}}

Also, since the gas molecules themselves occupy some space, the measured value of the volume V is bigger that the real gas really has:

V_{\text{measured}} > V_{\text{real}}

P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT

If we substitute P_{\text{measured}} onto the LHS, since P_{\text{measured}} < P_{\text{ideal}}, the LHS will be smaller than the RHS:

P_{\text{measured}} V_{\text{ideal}} < nRT

So in order to maintain the equality, a correction term to the pressure must be added:

\left(P_\text{measured} + a\left(\frac{n}{V}\right)^2\right) V_{\text{ideal}} = nRT

P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT

If we substitute V_{\text{measured}} onto the LHS, since that volume is bigger that actual volume available for the gas molecules to move, the LHS will be bigger than the RHS:

P_{\text{ideal}} V_{\text{measured}} > nRT

So in order to maintain the equality, a correction term to the pressure must be subtracted:

P_{\text{ideal}} \left(V_\text{measured}-nb\right) = nRT

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In other words,

V_{\text{measured}} > V_{\text{real}}

V_{\text{ideal}} = V_{\text{real}}

V_{\text{measured}} > V_{\text{ideal}}

— Me@2018-05-13 03:37:18 PM

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Why? I still do not understand.

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How come

P_{\text{measured}} = P_{\text{real}}

but

V_{\text{measured}} \ne V_{\text{real}}?

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How come

V_{\text{real}} = V_{\text{ideal}}

but

P_{\text{real}} \ne P_{\text{ideal}}?

— Me@2018-05-13 03:22:54 PM

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The above is wrong.

The “real volume” V_{\text{real}} has 2 possible different meanings.

One is “the volume occupied by a real gas”. In other words, it is the volume of the gas container.

Another is “the volume available for a real gas’ molecules to move”.

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To avoid confusion, we should define

V_{\text{real}} \equiv V_{\text{measured}}

P_{\text{real}} \equiv P_{\text{measured}}

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Or even better, avoid the terms P_{\text{real}} and V_{\text{real}} altogether. Instead, just consider the relationship between (P_{\text{ideal}}, P_{\text{measured}}) and that between (V_{\text{ideal}}, V_{\text{measured}}).

Whether X_{\text{measured}} is bigger or smaller than X_{\text{ideal}} ultimately depends on the assumptions and definitions used in the derivation of the ideal gas equation itself.

— Me@2018-05-13 04:15:34 PM

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2018.05.13 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

時空兌換率

這段改編自 2015 年的對話。

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我的相對論教授說,所謂

E = m c^2

在某些意思之下,沒有那麼特別,因為,你可以把它看成,貨幣的兌換。

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E = c^2 m

能量 =(光速二次方)\times 質量

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1 \text{USD} \approx 8 \times 1 \text{HKD}

1 美元 \approx 8 \times 1 港元

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公式中的 c^2(光速平方),角色其實正正就是,能量 E 和質量 m 之間的「貨幣兌換率」。

(而光速 c,則是時間和空間的兌換率。)

— Me@2018-05-11 09:10:00 PM

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2018.05.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 去咗邊呢?

無足夠資料 11.1

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來到這版,可能是你看了 Ken Chan 的物理參加書時,發現了他的網址:

d_2018_04_10__11_57_18_AM_

不到意思,他已經沒有用這個網址了。我不是 Ken Chan,而是他九十年代的學生。(無錯,我都已經係老餅。)

我租了這個網址,一來,用作紀念;二來,亦可以避免他人冒充 Ken Chan;繼而,我就可親自冒充他。

(邪惡地笑)

d_2018_04_11

當然,那於理不合,於法不容。所以,我重申一次:

我不是 Ken Chan,而是他九十年代的學生。

(但是,如果需要聯絡本人,可用右邊的電郵地址。)

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那樣,Ken Chan 又去了哪裡呢?

我也不知道。他既然停用了自己的課程網址,那最大的可能性就是,他從教學界退了休。

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我不喜歡「補習老師」這個詞語,因為我不喜歡「補習」,又不喜歡「老師」:

「補習」一詞,給人「多餘」、「依賴」和「騙錢」的感覺。

「老師」一詞,給人「年老」、「沉悶」和「沒有發展」的感覺。

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所以,我不會稱 Ken Chan 為我的「補習老師」;如果一定要給一個尊稱,我會叫他為我的「物理先知」。

同理,雖然我也有從事類似的行業,我亦不會叫我自己做「補習老師」,而是「學術顧問」。

而 Ken Chan 的境界,遠遠高於其他老師的原因,正正就是,他的人生目標(或稱正職),並不是做「補習老師」,而是一位學者,從事學術研究。

(至於他的在哪間大學任教和研究,我則不知道,因為,他沒有公開。)

在學生時代,我已經立志(!)不做(!)全職的中學教員。

一個稍為有創意、略略有志氣的年青人,又怎能忍受自己人生中的幾十年,重複教著同一堆東西呢?

除非,教學只是他的職責之一。他仍有大半時間,從事學術研究。學術的精神世界,仍然是不停地發展的。

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如果他真的退了休,香港的物理學生,又如何是好呢?

問題有那麼嚴重嗎?

有。如果香港沒有實力相近於 Ken Chan 的,物理兼工程專家,去指導眾多年輕人,那就真的十分大件事了。

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當年,如果沒有他的教導,我大概不能升學。

— Me@2018-04-11 12:21:42 PM。

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2018.04.11 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

避免犯錯 1.2

二十分開始 3

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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You probably will make those mistakes anyway.

You cannot choose whether to make those mistakes or not.

All you can choose is whether to make those mistakes before or during the exams.

— Me@2015.07.16

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平日要操練題目時,不要害怕犯錯。

反而,你要有一個心態:

在大部分情況下,你都始終會犯那些錯誤。

你不能選擇,犯不犯那些錯誤。

你可以選擇的,就只是「什麼時候犯」。

你想考試前犯?還是考試時?

— Me@2018-02-14 09:51:15 PM

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2015.07.17 Friday (c) All rights reserved by ACHK

技巧管理

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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有時,你可能收集了,太多重要的讀書技巧,有吃不消的感覺。你可以這樣處理:

第一,你要意識到,讀書技巧夠用就可以。你並沒有必要,學懂或者執行,「所有」的讀書技巧。

第二,你試試每次,只針對一個問題,只執行一個讀書技巧,把它用到最盡為止。例如,我所講的「魔法筆記」技巧,並不只適用於數學科。你在其他科中,亦應大量使用。

到該個技巧自動運作時,你讀書上的下一個問題,自然會浮現出來。那時,你才考慮嘗試,下一個讀書技巧,針對該個新問題。

— Me@2015.06.29

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