Ken Chan 時光機 2.2

那時,Ken Chan 有一項特點,令我覺得奇怪。

他有極多的職位。當時,我不明白,他哪有那麼多的時間。

長大後,我發現,其實,有很大機會,那只是語言技倆。例如:

  1. 當時他眾多職位之中,全部是真的嗎?

  2. 即使全部是真的,有多少是實職?又有多少,只是名銜而已?

  3. 即使全部是實職,有多少需要親力親為?又有多少,只是出主意、提意見而已?

長大後,我發現,一句說話,即使根據字面意思,不是直接的假話,也可以十分誤導。

.

例如,

愛迪生一生中,發明了千多樣科技産品。

沒有誤導的版本是,

愛迪生一生中,透過他的公司,發明了千多樣科技産品。

.

又例如,

達文西一生中,在多門學問,也有鉅大的成就。

如實反映的版本是,

達文西一生中,在他工作室團隊的附助下,在多門學問,也有鉅大的成就。

— Me@2019-09-30 01:09:36 PM

.

.

2019.09.30 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 2.1

那時,Ken Chan 有一項特點,令我覺得奇怪。

他有極多的職位。當時,我不明白,他哪有那麼多的時間。

.

1.1 除了是物理補習天王外,

2.1 他宣稱有在大學教書。是教授、講師,還是其他,我就不知道。我忘記了,他有沒有講過。

2.2 他在大學做研究。據我理解,他當時研究的是有關激光的實驗物理。

有一次,我打電話給他問題目。他說他正在做實驗,需要先行關掉,用來做實驗的機器。

2.3 他有時要往大陸作學術演講。

3.1 然後,他亦是某某什麼工程學會的主席。

名銜太多,不能盡錄。

.

雖然,那是九十年代,但是,他十年後的廣告,大概可作參考。

畢業於香港大學工程學系,並擁有多個學位、專業資格及榮銜,包括: 香港大學太古學者、英國皇家物理學會、香港工程師學會、電機電子工程師學會、中國機械工程師學會……等等。

廣告中的那些學會,不知是哪個意思。例如,他是電機電子工程師學會的什麼?

只是會員?還是管理層?

— Me@2019-08-30 09:31:52 PM

.

.

2019.09.01 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

(反對)開夜車 4.2

平均而言,你仍必須要有,充足的睡眠。亦即是話,某一天睡少了,就必須於在當個星期,還回「睡債」。

例如,如果你的充足睡眠是,每天七小時,而你在某一天只睡了六小時的話,你就有義務,在當個星期的另一天,睡多一小時。一般而言,「另一天」是指週末,或者其他假日。

.

另外,有時,只要跳出框框,破格思考,你會發現,或者,只要你的時間表稍改一點,就根本毋須「開夜車」。

例如,我在大學一年級時,發覺日間的課堂,加課外活動,異常充實。回到家時,就已經累到,根本集中不到精神研習。

我當時靈機一觸想到,與其沒有精神地研習,倒不如每晚九時半就睡,凌晨三或四時才起床。那樣,七時多出門前,我就會有,三至四個小時的專心時空。

— Me@2019-07-30 11:11:42 PM

.

.

2019.08.03 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

(反對)開夜車 4.1

本文章並(!)不(!)可作為醫學建議。如需醫學意見,請諮詢專業人士。

(問:但是,在現今社會,無論是上班,或是讀書,完全不「開夜車」,又好像不切實際。)

其實,主要是講讀書時代。如果在工作時代,你的職位需要,你時常「開夜車」的話,你根本就應該另謀高就。

試問,世間上,有什麼工作,竟然值得你冒生命危險,去時常「開夜車」呢?

.

言歸正傳,讀書時代,如果時間管理得宜,需要「開夜車」的情況,其實是很少。

(問:那樣說有意思嗎?我正正是問你,在時間管理失宜,需要「開夜車」時,該如何自處?)

一定「開夜車」的話,你至少要做到以下幾點,去保障自己的安全:

  • 只可以間中,不可以經常。

  • 日間中途要有小睡。

  • 平均而言,你仍必須要有,充足的睡眠。亦即是話,某一天睡少了,必須於在當個星期,還回「睡債」。

    • 例如,如果你的充足睡眠是,每天七小時,而你在某一天只睡了六小時的話,你就有義務,在當個星期的另一天,睡多一小時。

.

另外,有時,只要跳出框框,破格思考,或者,只要你的時間表稍改一點,就根本毋須「開夜車」。

本文章並(!)不(!)可作為醫學建議。如需醫學意見,請諮詢專業人士。

— Me@2019-06-06 08:23:56 PM

.

.

2019.06.08 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

追憶逝水年華, 3

In Search of Lost Time, 3 | (反對)開夜車 3.1 | 止蝕 4

.

其實,我中五那年,試過企圖「開夜車」。詳細過程怎樣,已不太記得。但是,總體的感受,仍然是深刻。

那時,我有很多天真的想法,例如:

1. 只要每晚睡少四小時,就每晚可以多四小時溫習。

2. 只要每晚可以多四小時溫習,就可以追回之前,落後了的進度。

.

實情是,「貪心」帶來「貧窮」:

很多時,我也是覺得自己,溫習的進度落後了,來不及準備那年的公開試。所以,想透過凌晨(例如)三時起牀,來追回之前,落後了的進度。但是,我卻幾乎每天凌晨,也起不到牀,導致溫習大計失敗,遺撼非常。繼而,因為失落了,更多的時間,我就覺得,更加需要在下一天,凌晨起牀。

惡性循環,持續了很久,浪費了我大量的時間。其實,只要我睡眠適量,作息定時,反而有不少機會,有上佳的成績。

現在回想起來,仍然驚嘆著,為何年輕時,可以那麼愚蠢。

只可以說,人在惶恐時,多麼糊塗的事,都可以發生。

— Me@2019-05-09 10:04:55 PM

.

.

2019.05.10 Friday (c) All rights reserved by ACHK

(反對)開夜車 2.5

本文章並(!)不(!)可作為醫學建議。如需醫學意見,請諮詢專業人士。

(問:「只要飛蚊不惡化」?你怎能保證?)

不能。那正正就是,我更大的苦惱。

一日不能知道,我當年開始患飛蚊症的真正原因,我也會不安,擔心症狀加劇。

「飛蚊症」只是某個或某些疾病的一個「症」,而不是「疾病」本身。一日不能知道,我飛蚊症的病因,我也不能有力預防,症狀的加劇。

(問:你不是說,長期夜睡少睡,導致你的飛蚊症嗎?)

那只是估計,不是肯定。

那一段時間,「出事」前的一兩個星期,我剛好時常睡不著,導致睡了很少。所以,長期夜睡少睡,很可能是主要的原因。

當然,如果平日的睡眠充足,並不會因為單一事件,某一晚的夜睡少睡,就立刻有飛蚊。如果人體是那麼沒有彈性,人類這種生物,可能一早就已經絕種了。

但是,如果是長期夜睡少睡,身體自然會越來越虛弱。到達某個臨界點時,意外事件就可以隨時發生。從相反的角度來講,如果平日睡眠適量,就等於刪除了,飛蚊症的其中一個主要誘因,從而大大減低了,其發生的機會率。

本文章並(!)不(!)可作為醫學建議。如需醫學意見,請諮詢專業人士。

— Me@2019-04-13 03:34:33 PM

.

.

2019.04.15 Monday (c) All rights reserved by ACHK

(反對)開夜車 2.4

本文章並(!)不(!)可作為醫學建議。如需專業意見,請諮詢專業人士。

至於,我自己的案例,則幸好是良性的,不會致盲;只要飛蚊不惡化,視力不會減弱。

(問:但你剛才說,飛蚊症「會帶來精神困擾」?)

無錯。可以說是心靈創傷。

(問:為什麼呢?)

如果你買了一個電腦熒光幕,發現有死點,你會怎樣做?

(問:立刻要求商戶更換。新買的電器,必定在保養期內,可以更換。)

假設不可更換呢?

(問:如果只是一兩點的話,應該不會太明顯。我會先用它,直到幾年後才再換。

但是,如果不只是一兩點的話,我可能會忍受不到;如果我負擔得起,我會立刻買過另一部。)

再假設,你永久不能更換熒光幕呢?

(問:永久有死點?)

無錯。

(問:那又真的,十分不自在。

你的意思是,「熒光幕永久有死點」就是患飛蚊症的感受?)

無錯。

所以,患了飛蚊症以後,我一聽到「不可逆轉」這四個字,就有一點兒緊張;患了飛蚊症以後,我以為,我人生不可能再快樂。

幸好,一年之後,我竟然習慣了——只要飛蚊不惡化,我就不會因為那些「死點」,而明顯不開心。

(問:「只要飛蚊不惡化」?你怎能保證?)

不能。那正正就是,我更大的苦惱。

一日不能知道,我當年開始患飛蚊症的真正原因,我也會不安,擔心症狀加劇。

「飛蚊症」只是某個或某些疾病的一個「症」,而不是「疾病」本身。一日不能知道,我的飛蚊症的病因,我也不能有力預防,症狀的加劇。

(問:你不是說,長期夜睡少睡,導致你的飛蚊症嗎?)

本文章並(!)不(!)可作為醫學建議。如需專業意見,請諮詢專業人士。

— Me@2019-03-18 04:47:58 PM

.

.

2019.03.18 Monday (c) All rights reserved by ACHK

(反對)開夜車 2.3

Ken Chan 時光機 1.4.2.3

.

本文章並(!)(!)可作為醫學建議。如需專業意見,請諮詢專業人士。

結果,他那天只睡了,一個半小時。

.

我那時以為,那沒有什麼大不了。但是現在,我也已一把年紀了,才驚覺,只要有一點不幸,那就可以造成,嚴重的後果。

(問:那有什麼「嚴重的後果」?)

「嚴重後果」中,較為輕微的,我也經歷過,而且可以視為「不可逆轉」的。

例如,大前年開始,我左眼患有飛蚊症。即是話,視野中,有一些黑點等,不應存在的小垃圾。

飛蚊症可以視為「不可逆轉」的原因是,以現今科技,醫治飛蚊症方法,風險遠比「良性飛蚊」的症狀本身高。所以,除非一個人的飛蚊症極度嚴重,否則,眼科醫生也不會建議病人,去接受那些手術。

(問:「良性飛蚊」?)

「良性飛蚊」的「良性」,並不是說真的有益,而只是指「不會致盲,只會帶來精神困擾」。

至於「惡性飛蚊」,即是指「有致盲風險」,因為,那代表著,視網膜開始脫落;必須立刻做手術制止之。

(問:如果開始有飛蚊,自己又怎會知道是,「良性」還是「惡性」呢?)

不會知道。

所以:

  • 第一,你要在未有飛蚊時,防範於未然。

  • 第二,萬一仍然出現飛蚊的話,要立刻看眼科醫生,讓他為你檢查,是否視網膜開始脫落。

    • 如果不是,就不用擔心。

    • 如果是,可以立刻做手術,制止視網膜脫落,保住完整的視力。視網膜開始脫落,而不立刻做手術制止之,有致盲的風險。

.

至於,我自己的案例,則幸好是良性的,不會致盲;只要飛蚊不惡化,視力不會減弱。

(問:但你剛才說,飛蚊症「會帶來精神困擾」?)

無錯。可以說是心靈創傷。

(問:為什麼呢?)

本文章並(!)(!)可作為醫學建議。如需專業意見,請諮詢專業人士。

— Me@2019-02-25 04:01:37 PM

.

.

2019.02.26 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

(反對)開夜車 2.2

Ken Chan 時光機 1.4.2.2

.

The light that burns twice as bright burns half as long, …

— Blade Runner (1982)

可能,因為他「溫習到凌晨」式的方法,對他來說有效,他亦鼓勵學生那樣做。

我現在的記憶,暫時未能確定,他在課堂中,有沒有明示推介過,用這個方法。但是,我記得在他派發的筆記中,其中一頁,有一個正在深夜讀書的漫畫。而在漫畫下面,有一句「study to 3 a.m.」(讀書至深夜三點鐘)。

.

長話短說,我是反對這個方法的,理由有很多,例如:

第一,長期睡眠不足,會導致腦袋呆了,大大減低下一天的工作效率。

第二,長期睡眠不足,會導致身體時常病。

在 Ken Chan 的部分課堂,特別是假期的補課中,我就見到他時常咳嗽。可能,他在工作時代,仍然過著,極度忙碌的生活。

.

還記得在九月,在課程的第一課,他就已經遲到,遲了大概 15 至 30 分鐘之間。那課原定於早上八時半開始。上課中途,他有點咳嗽。他說,因為當天早上之前,吸入了太多的氮氣。他懷疑一位同事,作弄了他。

話說,他工作的地方,有一部儀器壞了。他的同事跟他說:「部機好似壞咗,漏緊啲 nitrogen 喎,你聞下係唔係?」(那儀器疑似壞了,正在洩漏氮氣。你聞一聞,看看是不是。)

Ken Chan 事後回心一想,才醒起:「Nitrogen 又點會有味咖?」(氮氣又何來會有味道呢?)

結果,他那天只睡了,一個半小時。

.

我那時以為,那沒有什麼大不了。但是現在,我也已一把年紀了,才驚覺,只要有一點不幸,那就可以造成,嚴重的後果。

— Me@2019-02-03 07:02:42 AM

.

.

2019.02.03 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

(反對)開夜車 2.1

Ken Chan 時光機 1.4.2.1

.

之前提到,Ken Chan 所讀的中學不正常:

在中四和中五的校內考試測驗中,不斷地考核高考課程。所以,他在中四時代開始,已經要鑽研,高考程度和大學程度的物理。

那樣,他何來有,那麼多的時間呢?

那時,他往往要讀書,至通宵達旦。

.

那樣,他的公開試成績,又如何呢?

根據他所講,他事後發現,會考物理科中的 MC(多項選擇題)部分,錯了兩題;他達不到他原本,「全部科目全部滿分」的理想。

.

那樣,他又做不做到「狀元」,全部科目「奪 A」呢?

他在另一天的課堂中,暗示自己當年,差一點才做到「狀元」:

(我暫時不記得,他以下說話的上半句是什麼。)

… 如何不是那樣,我就毋須於,放榜當天的晚上,在家裡哭。唉!還是不說了。

當時,我想知道詳情。可惜,他真的沒有說下去,我也沒有辦法。

雖然,主觀而言,從他自己的角度,成績不是理想,因為,那不是「全部科目全部滿分」;但是,如果不是對自己,那麼苛刻的話,客觀來說,他的成績是上乘的。

.

可能,因為他「溫習到凌晨」式的方法,對他來說有效,他亦鼓勵學生那樣做。

我現在的記憶,暫時未能確定,他在課堂中,有沒有明示推介過,用這個方法。但是,我記得在他派發的筆記中,其中一頁,有一個正在深夜讀書的漫畫。而在漫畫下面,有一句「study to 3 a.m.」(讀書至深夜三點鐘)。

.

長話短說,我是反對這個方法的,…

— Me@2019-01-18 03:47:50 PM

.

.

2019.01.19 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 2.2

聖誕假後的常規課程中,Ken Chan 預計應該不會有時間,教光學和熱學。但是,他認為那兩個課題很淺易,所以,期望我們即使自修,也沒什麼難度。

但是,他後來改變主意,還是決定於,農歷新年的年初一、二、三,為我們補課,教回光學和熱學。

今次,那三天的課,他不單不收我們的學費,他還要自己,花時間找課室、花金錢付租金。

後來,他改為每天收 20 元,即是總共 60 元。他解釋道,補課社的職員因為他的補課,要犧牲那三天的農曆新年假期。那每人 60 元的學費是,全數慰勞他們的。

那三天的補課,好處是光學和熱學;壞處是,由於每天也補多個小時,我少了大量,各科的溫習時間。但是,那個農曆新年長假,因為我自己時間管理不善,而損失的時間,遠多於那三天的補課時間。

感謝 Ken Chan 的額外付出。我亦慶幸,生於那個時空,還是有真人授課的年代。出生遲十年,就已經只能透過錄影帶,來獲得 Ken Chan 的教導。

— Me@2019-01-06 02:18:47 PM

.

.

2019.01.06 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 2.1

當年是 1996 年,我 9 月開始上他的課程。每星期上 1.5 小時,由星期六早上 8 時半,上到 10 時正。所以,每個星期六,我也要在還未睡夠時,就很早起床。去補習社的路程中,往往是一邊行,一邊流鼻水;唯有勉勵自己:「即使再辛苦,只要捱過『會考』(公開試),就可以有好日子過。」

記憶所及,大概在聖誕前,剛好完成了力學分部。

然後,他於聖誕假期中,有額外補課—歷時三天的全日課程,不再是每天 1.5 小時。就在那三天,他要完成波動分部。

他在公佈有這個聖誕波動補課時,我有兩點不開心。

第一點是,我要交額外的學費。不過,相對於第二點而言,那也只是小問題。

第二點是,那補課的學額有限,只有常規課程的兩成。我現在的記憶可能有誤,未必真的是兩成,但也必定是,遠少於他常規課程的學生數目。換句話說,如果供不應求,我就可能報讀不到。幸好,正正是因為這個擔憂,我及早報名,爭取到一個補課學位。

— Me@2018-12-27 03:50:13 PM

.

.

2018.12.27 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

迷宮直升機 5.3

Ken Chan 時光機 1.4.3

.

其實,那種情形,對現為中四的你而言,並不只是一個「假設」,因為,你現正修讀, G.Maths(核心數學)和 A.Maths(附加數學)。

「附加數」比「基礎數」而言,艱深非常,大部分人也覺得,十分辛苦。但是,亦正正是因為「附加數艱深非常」,你才會覺得「核心數容易萬分」。

那又為什麼,會有這個現象呢?

.

(問:程度高了?)

.

無錯。水平高了。

試想想,你參加了一個走迷宮比賽—與另外幾位參賽者,鬥快逃出同一個迷宮。

在那個情況下,「勤力」一點,跑快一些,是沒有什麼大作用的;因為,你只要在其中一個分岔路口,做錯決定,你就已經可以,前功盡廢。

走迷宮的致勝之道—在現埸極速逃出的方法是,在事前用大量時間準備,一架直升機,在比賽期間,把你釣出迷宮。

即使沒有那麼多資源,至起碼,在比賽開始前,你就要準備好,該迷宮的平面圖。

.

(問:無論是直升機,或者是鳥瞰圖,好像都是犯規?)

.

那要視乎,具體是哪一個遊戲。

試想想,中學生自修大學程度的課程,有沒有犯規?

.

(問:似乎沒有。但是,那又好像十分辛苦。)

.

一般而言,世間少有不勞而獲的東西。鉅大的好處,很多時也需要付出,鉅大的代價。

還有,如果策略妥當,閱讀大學程度書籍,所需的額外時間,未必如想像中的那麼多。

比喻說,假設你修讀 A.Maths(附加數學)的唯一目的是,提升 G.Maths(核心數學)。那樣,你的「附加數」成績,並不需要保證,名列前茅。

反而,即使在最壞情況,你的「附加數」成績不合格,只要你曾經用心研習過,「附加數」也會令你覺得,「核心數」容易了很多。

同理,如果你閱讀大學物理書籍的主要目的是,提升中學物理的話,你並不需要完成,整本「大學物理」的課文和習題。

反而,最重要的是,你嘗試過「大學物理」中,部分題目的難度;那就足以令你感到,中學的版本,顯淺非常。

— Me@2018-12-17 07:05:34 PM

.

.

2018.12.17 Monday (c) All rights reserved by ACHK

迷宮直昇機 5.2

Ken Chan 時光機 1.4.2

.

但是,他的學校不正常——在中四和中五的校內考試測驗中,不斷地考核高考課程。所以,他在中四時代開始,已經要鑽研,高考程度和大學程度的物理。

結果,到真正會考時,由於「只會」考核中五程度的東西,他會突然覺得十分容易。

.

其實,那種快感不難體會。

.

假設,你現在是中學四年級。

你想像,如果突然之間,那份中四的數學卷,換成中一程度的數學卷。你會有什麼感受?

你不單會覺得如釋重負,而且會有信心,有機會取滿分;即使,那份中一測驗卷的課題,在中一以後,從來未刻意溫習過。

.

(問:我又不敢說,我一定會滿分。)

.

我沒有說「一定」。我只是說「覺得有機會」。

試想想,現為中四的你,面對一份中四的數學卷,你夠不夠膽說「有機會取滿分」?

.

(問:不太敢,因為,那幾乎沒有可能。但是,我明白你的意思。現在要我做回中一的測驗卷,又真的會覺得,一定會高分,可能會滿分。)

.

其實,那種情形,對現為中四的你而言,並不只是一個「假設」,因為,你現正修讀, G.Maths(核心數學)和 A.Maths(附加數學)。

「附加數」比「基礎數」而言,艱深非常,大部分人也覺得十分辛苦。但是,亦正正是因為「附加數艱深非常」,你才會覺得「核心數容易萬分」。

那又為什麼,會有這個現象呢?

— Me@2018-12-09 09:03:02 PM

.

.

2018.12.09 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 1.4.1

迷宮直昇機 5.1

.

至於第三個技巧,則實在是最宏觀,亦可能是最重要。

Ken Chan 說:「你們現在會盤算,在會考中,各科太概會有什麼目標,奪取什麼等級的成績。但是,我當年全部科目,只有一個目標,就是要『攞 full』」。

那就即是要,全部科目中的每一科,不只要甲等,而是要滿分;因為在當年,如果可以在全部科目奪得滿分,考生會獲頒一張特別證書。他那時就為了,那張證書而努力。

但是,那是如何辦到的呢?

考生在中五時參加「會考」,中七時參加「高考」。所以,正常的學校,會在中四和中五的校內考試測驗中,考核會考課程。

但是,他的學校不正常——在中四和中五的校內考試測驗中,不斷地考核高考課程。所以,他在中四時代開始,已經要鑽研,高考程度和大學程度的物理。

結果,到真正會考時,由於「只會」考核中五程度的東西,他會突然覺得十分容易。

— Me@2018-11-18 10:06:43 PM

.

.

2018.11.18 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Ken Chan 時光機 1.3

唔識就飛 8.4.2

.

另一個技巧是,考試時「唔識就飛」:想不通的話,就立刻先做下一題,或者同一題的下一部分。

假設我現時記憶正確,Ken Chan 是第一個教我這個技巧的老師;我日校的純數學科老師,則是第二個(亦是最後一個)。

這個技巧,對我來說,實在太重要,因為,在兩年多後的純數學科高考中,如果我不是確切執行這個政策的話,我有極大機會會失手,繼而在當年,升不到大學。

那個故事,現不再詳述,因為已於另一篇文章「唔識就飛 8.4」中講過。請參考該文章。

— Me@2018-10-31 09:39:05 AM

.

.

2018.10.31 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

如有 HKDSE physics 香港中學文憑試之物理問題,歡迎以右邊之電郵地址,聯絡本人。

Ken Chan 時光機 1.2

多項選擇題 7.2 | Multiple Choices 7.2

.

重點是,無論「勤力」還是「懶惰」,也只是手段,不是目的本身。

.

二來,即使有時,「勤力」是正確的;那又應該如何「勤力」呢?

我的老師中,大概只有兩位,曾經講過一點讀書方法。其中一位,就正正是 Ken Chan。(另一位則是,我日校的「純數學」的老師(程兆海)。)

我記憶所及,Ken Chan 教過的溫習技巧,又不是真的很多,因為他並沒有,(例如)花一個課堂的時間去講。但是,就憑他有講的一點點,就已經令我,受用無窮。

Ken Chan 所提及,其中一個技巧是,在物理科,如果新學一個課題,就應該先做,大量該個課題的 MC(多項選擇題)。那樣,你就可以極速釐清,該個課題中的新概念。

註:必須為考試局所出的,以往公開試題目,而不是坊間出版社的練習。

— Me@2018-10-20 11:46:04 AM

.

.

2018.10.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

如果需要聯絡本人,可用右邊的電郵地址。

Ken Chan 時光機 1.1

多項選擇題 7 | Multiple Choices 7

.

我在中學時代,很想知道讀書方法。但來,近乎從來沒有老師,教授求學攻略;彷彿那完全不重要。

.

大部分老師,大概只會說:「勤力一點。」

那是答非所問。

.

一來,勤力一定有用嗎?

如要只要勤力,就解決到問題的話,世界會簡單很多。實情是,那不會。

試想想,人的科技發展幅度,遠大於其他動物,並不是因為人勤力過其他動物。有時候,剛剛相反。正正是因為人想「偷懶」,才會發展各式各樣的科技,以逸代勞。

重點是,無論「勤力」還是「懶惰」,也只是手段,不是目的本身。

— Me@2018-10-03 03:59:04 PM

.

.

2018.10.05 Friday (c) All rights reserved by ACHK

如果需要聯絡本人,可用右邊的電郵地址。

The Jacobian of the inverse of a transformation

The Jacobian of the inverse of a transformation is the inverse of the Jacobian of that transformation

.

In this post, we would like to illustrate the meaning of

the Jacobian of the inverse of a transformation = the inverse of the Jacobian of that transformation

by proving a special case.

.

Consider a transformation \mathscr{T}: \bar{x}^i=\bar{x}^i (x^1,x^2), which is an one-to-one mapping from unbarred x^i‘s to barred \bar{x}^i coordinates, where i=1, 2.

By definition, the Jacobian matrix J of \mathscr{T} is

J= \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \end{pmatrix}

.

Now we consider the the inverse of the transformation \mathscr{T}:

\mathscr{T}^{-1}: x^i=x^i(\bar{x}^1,\bar{x}^2)

By definition, the Jacobian matrix \bar{J} of this inverse transformation, \mathscr{T}^{-1}, is

\bar{J}= \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}} & \displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}} & \displaystyle{\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^2}} \end{pmatrix}

.

On the other hand, the inverse of Jacobian J of the original transformation \mathscr{T} is

J^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{ \begin{vmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \end{vmatrix} }} \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} & \displaystyle{-\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{-\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} \end{pmatrix}

.

If \bar{J} = J^{-1}, their (1, 1)-elementd should be equation:

\displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}}\stackrel{?}{=}\displaystyle{\frac{1}{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}}\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}-\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} }} \bigg( \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \bigg)

Let’s try to prove that.

.

Consider equations

\bar{x}^1 = \bar{x}^1(x^1,x^2)

\bar{x}^2 = \bar{x}^2(x^1,x^2)

Differentiate both sides of each equation with respect to \bar{x}^1, we have:

A := 1=\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial \bar{x}^1}=\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}+\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}}

B := 0 = \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial \bar{x}^1}=\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}+\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}}

.

A \times \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}:~~~~~C := \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}=\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}+\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}

B \times \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}:~~~~~D := \displaystyle{0=\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}+\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}

.

D-C:

\displaystyle{ \frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}= \bigg( \frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2} - \frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\bigg) \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}},

results

\displaystyle{ \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}}=\frac{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}}{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2} - \frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}}}

— Me@2018-08-09 09:49:51 PM

.

.

2018.08.09 Thursday (c) All rights reserved by ACHK