Category Archives: tree diagram

Random variable

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Random variable X represents a single-valued result of a random event. Its value is unknown to us, not because of our ignorance, but because of its non-existence. The value exists only after the happening of that random event.

Symbol x represents a particular value of X. It is an existing value that can be substituted to X. We use symbol x instead of a number because we have not yet known what that particular number is.

— Me@2016-04-08 05:24:45 PM

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X ~ random variable

It is a variable due to the fact that the “identical” random process can result differently at different times.

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x ~ a value of X

Since it is a particular value of X, it is not a variable. However, it may seem to be a variable because it may still be unknown to us.

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Symbol P(X) is meaningless because inside, it must be a statement (representing an event). Symbol X is a random variable, not a statement.

Instead, “X=x” is a statement. So expression P(X=x) is meaningful, such as

P(X=x) = {\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\} \end{cases}}

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From another point of view, X is a noun phrase, such as “my monthly salary”, not a number. Symbol x is a number, although maybe not known yet. That’s why whatever the formula, it contains no X‘s, but x‘s. For example,

\cdots = {\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\} \end{cases}}

— Me@2016-05-04 06:32:24 PM

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2023.05.16 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

排列組合 1.2

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nCr, 0.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

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1.4.2 另外一種設計定義的想法是，由 \displaystyle{n!} 的算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少，\displaystyle{n!} 就有多少項相乘，那樣，零的階乘，\displaystyle{0!}，理應只有零項相乘，\displaystyle{~a^0~}。

\displaystyle{0! = a^0}

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但是，「零項相乘」的數值，又應該是什麼呢？

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」，所以是一，因為任何數乘了一，效果都等於沒有乘；所以，

\displaystyle{a^0 = 1}

\displaystyle{0! = 1}

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「零項相乘」的正式學名是，「空積」或「零項積」。

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1.4.3 如果要詳細一點，去理解「空積」的話，可以先嘗試了解「次方」的意思。

首先，\displaystyle{a} 五次方的意思，就是有五個 \displaystyle{a} 相乘。

\displaystyle{a^5 = aaaaa}

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如果在其之後，再乘 \displaystyle{a^3} 的話，就即是再乘多三個 \displaystyle{a}。

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa)}

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所以，

\displaystyle{a^5 a^3 = a^{5+3}}

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既然，在其之後乘以 \displaystyle{a} 的正三次方，就是乘多三個 \displaystyle{a}。

那樣，在其之後乘以 \displaystyle{a} 的負三次方，就可以理解成乘少三個 \displaystyle{a}，即是：

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你想想，自出生以來，你學過什麼操作，會有刪除因子的效果呢？

就是分母：

\displaystyle{a^5 a^{-3} = \frac{aaaaa}{aaa}}

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所以，所謂「負三次方」的運算的方法，就是把那三次方，放於分母之中。

\displaystyle{a^{-3} = \frac{1}{a^3}}

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然後，我們可以再研究，一個抽象一點的問題：

\displaystyle{a} 的半次方，又會是什麼呢？

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我們可以這樣想，如果 \displaystyle{a^{1/2}} 存在的話，它必須達到什麼效果呢？

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如果暫時想不到的話，可以改為思考：「\displaystyle{a} 的五次方，乘了半次 \displaystyle{a}，再乘半次 \displaystyle{a}」 的話，即是總共乘多了，多少個 \displaystyle{a} 呢？

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=?

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那很明顯是，總共乘多了一次 \displaystyle{a}。

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^5 a^1

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所以，

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^6

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亦即是話，

\displaystyle{a^{1/2} a^{1/2}}=a^1

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究竟這個所謂的「半次 \displaystyle{a}」存不存在呢？

可以這個想，你自出生以來，有沒有學過什麼數字符號，自乘後會等如一次 \displaystyle{a} 呢？

有，那就是 \displaystyle{a} 的平方根。

\displaystyle{\sqrt{a} \sqrt{a}}=a^1

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所以，所謂的「半次 \displaystyle{a}」，其實就是，平方根 \displaystyle{a}。

\displaystyle{a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}}

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言歸正傳，我們再來研究，所謂的「\displaystyle{a} 零次方」，其實是什麼？

顧名思義，即是乘 \displaystyle{a} 的次數為零，不要乘也。

再想想：

\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的正三次，就是乘多三個 \displaystyle{a}；所以，結果就是 \displaystyle{a} 的八次方。

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa) = a^8}

同理，\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的負三次，就是乘少三個 \displaystyle{a}；所以，結果就是 \displaystyle{a} 的二次方。

\displaystyle{a^5 a^{-3} = a^2}

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那樣，\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的零次，理應就是「不乘多亦不乘少」，維持原來的 \displaystyle{a} 五次。

\displaystyle{a^5 a^{0} = aaaaa = a^5}

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換句話說，「乘以 \displaystyle{a} 零次」的效果，就是「乘了等如沒乘」。

你想想，自出生以來，有沒有學過什麼數字符號，會有「乘了等如沒乘」的效果呢？

— Me@2022.09.07 08:09:14 PM

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2022.09.10 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

排列組合 1.1

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nCr, 0

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

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\displaystyle{n!}

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1.1  意思：

\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位的話，有多少種坐法？

1.2.1  算式：

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

1.2.2  由來：

第一個位，有 \displaystyle{n} 個可能的人選；第一個位被坐後，第二個位只有 \displaystyle{(n-1)} 個，可能的人選；如此類推，直到最後一個位，被餘下的唯一個人，選了為此。

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1.3 

留意，\displaystyle{n} 是多少，就有多少項。

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

例如，\displaystyle{5!}，就有 5 項相乘；

\displaystyle{\begin{aligned} 5! &= (5)(4)(3)(2)(1) \\ \\ \end{aligned}}

\displaystyle{3!}，就有 3 項；等等。

\displaystyle{\begin{aligned} 3! &= (3)(2)(1) \\ \end{aligned}}

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1.4.0  零的階乘，\displaystyle{0!}，還未有定義，因為，算式 \displaystyle{n! = (n)(n-1) \cdots (2)(1)} 中的 \displaystyle{n}，只可以是正整體，不可以零。

階乘零，\displaystyle{0!}，需要額外定義，因為會常用到。那樣，\displaystyle{0!} 應該定義為，什麼數值呢？

1.4.1  既然 \displaystyle{n!} 的意思是「\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位，有多少種坐法」，那樣，你就可以視，\displaystyle{0!} 的意思是「\displaystyle{0} 個人 \displaystyle{0} 個座位，有多少種坐法」；那明顯是一，因為，那個情況之下，只有一個「坐法」，就是「沒有人又沒有位」這個唯一的可能性。

\displaystyle{0! = 1}

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1.4.2  另外一種設計定義的想法是，由 \displaystyle{n!} 的算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少，\displaystyle{n!} 就有多少項相乘，那樣，零的階乘，\displaystyle{0!}，理應只有零項相乘，\displaystyle{~a^0~}。

\displaystyle{0! = a^0}

但是，「零項相乘」的數值，又應該是什麼呢？

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」，所以是一，因為任何數乘了一，效果都等於沒有乘。

\displaystyle{a^0 = 1}

（「零項相乘」的正式學名是，「空積」或「零項積」。）

\displaystyle{0! = 1}

— Me@2022-08-02 02:41:43 PM

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2022.08.02 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

分支圖

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這段改編自 2021 年 12 月 9 日的對話。

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條件概率（conditional probability）的公式中，會除以「已知」。

\displaystyle{P(A|B)={{P(B|A)*P(A)} \over {P(B)}}}

而「除以『已知』」的目的就是，改變 tree diagram 的起點。這一句是，我學了機會率之後的十幾年間，原本都不知道的東西。在 2010 年，第一次教時，我才領悟得到。

This file is made available under the Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

樹形圖的起點，機率必為一，因為「樹形圖起點」的定義，就正正是「已知」。

樹形圖的重要性在於，多複雜的題目，只要你用樹形圖來思考，通常都可以明白到。

甚至，如果你問最根本的問題「乘法從何而來」，其實，都需要用樹形圖來解釋。例如，\displaystyle{3 \times 2} 是什麼意思呢？

三大分支的每支上，再有 2 小分支的話，就總共有 6 個終點。

— Me@2022-01-02 12:20:15 PM

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2022.01.03 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 2

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Proofreading probability

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There are 5 women and 6 men in a bus. But there are only 4 seats.

Assume that all the seats will be occupied and all possible seating arrangements have the same probability to appear.

What is the probability that 2 or more men will have seats?

~~~

Probability method gets the final probability by multiplying several fractions of probability together.

P method:

This method considers each seat one by one: what is the probability that this seat will get, for example, an M?

Let \displaystyle{x} be the number of men that will have seats. Also, instead of writing \displaystyle{C^n_r}, we use the standard notation \displaystyle{{n \choose r}}.

\displaystyle{P(x \ge 2)}
\displaystyle{= 1 - P(x = 0) - P(x = 1)}
\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - P(MFFF) - P(FMFF) - P(FFMF) - P(FFFM)}

\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - {4 \choose 1} P(FFFM)}

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\displaystyle{P(FFFF) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{2}{8} \right)}

\displaystyle{P(FFFM) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{6}{8} \right)}

.

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}

\displaystyle{= \frac{53}{66}}

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Statistics method gets the final probability by dividing the number of ways of getting the desired result by the number of all possible results.

S method 1:

This method considers all the seats at once: what is the number of ways that they will get, for example, 3F and 1M?

In other words, instead of the seats, this method focuses on the people: what is the number of ways that 3F and 1M will be chosen?

In other words, instead of the choosing process, this method focuses on counting the results of the choosing.

Let \displaystyle{N(...)} = the number of ways of …

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose 2 or more men})}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5 and then 1 M among 6})}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose any 4 people}) - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5}) \times N(\text{1 M among 6})}{N(\text{seats choose any 4 people})}}

\displaystyle{= \left[{11 \choose 4} - {5 \choose 4} - {5 \choose 3} {6 \choose 1} \right] / \left[ {11 \choose 4} \right]}

\displaystyle{= \frac{ 330 - 5 - 10 \times 6 }{330}}

\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}

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S method 2:

This method considers each seat one by one: what is the number of ways that this seat will get, for example, an M?

In other words, instead of the results, this method focuses on choosing process itself.

Note that this method uses permutation instead of combination.

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(FFFF) - N(MFFF) - N(FMFF) - N(FFMF) - N(FFFM)}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - (6)(5)(4)(3) - (5)(6)(4)(3) - (5)(4)(6)(3) - (5)(4)(3)(6)}{(11)(10)(9)(8)}}

\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - 4(6)(5)(4)(3)}{(11)(10)(9)(8)}}

\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}

\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}

— Me@2021-10-02 05:18:02 PM

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2021.10.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

背誦量

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全像記憶 3

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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（TK: 運算機會率題目時，如何提升準確度？）

九成九是靠背誦 —— 背誦眾多運算方法，和萬千驗算技巧。當然，我不是要你「死背」，而是要你「生背」，即是明白以後才背。

千萬不要企圖，自己發明任何方法。一來，你未有那些智力。二來，即使有，你也負擔不到那些時間。

只有數學家才會，負擔得起那些智力，和那些時間。

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（TK: 其實我是有背的，但是，時常也誤中副車，差一點才能想中正確方法。）

或者說，你背得不夠多，或者不夠詳細。我所指的「背」，其實份量是十分驚人的。

例如，假設考試有可能出現的機會率題目，總共有 5 類。我並不是說，你每類也背誦一題的方法，就可以奪得好成績。

實際上，你的背誦量，並不只是 5 題，而隨時可能是 50 題，因為，同一種題目，可以有（例如）10 種不同的問法。

那 10 種題形的應對方法（和對應的驗算技巧），你都要背誦，因為，同一種題目，你要背誦了它，很多不同的版本，才會領略到，背後的精髓。那你才可以做到「明白以後才背」，即是「生背」。

如果你一定要成績奪 A，背誦量是十分驚人的。所以，我多次提醒你，你在每次做 past paper（以往試題），或其他練習之前，也一次要先背誦你的「魔法筆記」。

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「背」的意思並不是說，你把「魔法筆記」，由頭至尾，閱讀一次就算。「背」的真正意思是，要你做到「過目不忘」，即是，在平日做練習，或者考試時，你都可以在心裡翻查，筆記上的每一頁，每一個細節。

— Me@2014.10.05

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2014.10.06 Monday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 4

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這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 個蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

…

總括而言，「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的，等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105，不是正確的。

…

（A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以？那不會「暗地裡加了次序」嗎？）

因為 nPr 根本不是講「組合」，而是講「排列」，本身就要重視次序。

如果你要百分百地通透理解，這一題的運作原理，你不妨試試重組案情 —— 用最原始的方法去思考和運算，而不用排列（nPr）和組合（nCr）的公式。

7 個蘋果中選 3 出來，即是相當於有 3 個格子要填滿：

（＿）（＿）（＿）

第一格有 7 個選擇：

（7）（＿）（＿）

第二格則有，餘下的 6 個可能性：

（7）（6）（＿）

如此類推：

（7）（6）（5）

這代表了 7 個蘋果抽 3 個出來排隊的話，有多少個排列方法（permutation）。但是，現在重視的是組合（combination），而不是排列。亦即是話，重要的是，你究竟要在那 7 個蘋果之中，選了哪 3 個出來。至於它們 3 個之中，哪一個先被選出、哪一個後被選出，並不重要。

所以，你應該把剛才的中途答案，除以（3!），因為，被選的 3 個蘋果，內部總共有（3!）種排列方法。

3! = 6

那 6 個「排列」，都應歸類為，同一個「組合」 。

（7）（6）（5）
—————-
    （3!）

= 35

至於你把這「原始式子」，看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」，還是「7C3」，則沒有所謂，因為，你把它們之中的任何一個拆開，都同樣會得到這「原始式子」。

如果你任何「數學科技」也不喜歡，而想再原始一點，直情（乾脆）連「階乘公式」（n!）都不用的話，你可以自行推斷一下，已選了的那 3 個蘋果之中，內部會有多少個排列方法。

那其實就相當於，已知有 3 個人入了總決賽，爭奪冠亞季軍，然後問，總共有多少個，可能的比賽結果？

你可以這樣想，冠亞季有 3 個席位：

（＿）（＿）（＿）

第一格有 3 個選擇：

（3）（＿）（＿）

第二格則有，餘下的兩個可能性：

（3）（2）（＿）

如此類推：

（3）（2）（1）

所以，那 3 個蘋果的內部，總共有（3）（2）（1），即是 6 個排列方法。那 6 個排列，都應歸類為是同一個組合。

（7）（6）（5）
—————-
（3）（2）（1）

= 35

至於你把這「原始式子」，看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」，還是「7C3」，則沒有所謂，因為，你把它們之中的任何一個拆開，都同樣會得到這「原始式子」。

但是，而「7C2 x 5C1」則不行，等如 105，不是正確的。不信的話，你可以試試建構一下，「7C2 x 5C1」的原始式子：

（7）（6）|（5）
——— ——-
（2）（1）|（1）

  （7）（6）|（5）
= ——— ——
    （2!） |（1!）

= 105

你會發現，這式子答非所問，並不是題目描述的情況。

— Me@2014.04.21

2014.04.24 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 3

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這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

…

總括而言，「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的，等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105，不是正確的。

（A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以，而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤？）

如果要變成正確，你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3，才會得到正確答案呢？

亦即是話，在這裡，「除以 3」的實際意思，又是什麼呢？

把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」是錯誤的原因是，你暗地裡為那三個蘋果，加了一點次序。

例如，假設原本的 7 個蘋果是 A、B、C、D、E、F 和 G，而你抽到了 A、B、E 三個蘋果。在考慮 7C3 時，

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個次序，要視為一個情況，因為 7C3 的意思是「組合」，重點是你由那 7 個蘋果之中，買了哪 3 個，而不是先拿哪一個，後拿哪一個。

如果你接受不到這一點，你可以想像，現在是要由 A、B、C、D、E、F 和 G 七個人之中，抽 3 個出來，組成一隊 3 人樂隊，即是音樂組合。組成音樂組合的話，

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個選人次序，要視為一個情況，因為這 6 個次序，都代表著同一隊樂隊，都同樣是由 A、B、E 三人組成的。但是，如果你把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」，即是把「7 選 3」硬要看成「7 選完 2 後再選 1」的話，運算的結果就會變成：

AB　E

BA　E

AE　B

EA　B

BE　A

EB　A

意思是，

AB　E

BA　E

會視為同一個情況；

AE　B

EA　B

又會視為同一個情況；

BE　A

EB　A

則會視為第三個情況。但是，這 3 類情況，會視為 3 個不同的可能性。亦即是話，原本應視為同一個「組合」的 6 個「排列」，會被誤會為 3 個不同的「組合」方法。

建構樂隊時時，只要被選的是 A、B、E，哪一個是最尾被抽出來，根本不重要。但是，「7C2 x 5C1」卻偏偏重視，哪一個是最尾被抽出來。那就是為什麼，「7C3」和「7C2 x 5C1」的不同之處，在於「7C2 x 5C1」中，你暗地裡為那三個蘋果，加了一點次序。

（A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以？那不會「暗地裡加了次序」嗎？）

因為 nPr 根本不是講「組合」，而是講「排列」，本身就要重視次序。

— Me@2014.04.14

2014.04.15 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 2

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這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

…

（A：我大概明白你的解釋。但是，情感上，我仍然接受不到，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，的確有所不同。）

如果你堅持要把「7 選 3」，看成「7 選完 2 後再選 1」，而又要得到正確答案的話，你可以用 nPr 的方法。

「nPr」即是「n 排 r」—— 如果有 n 個物件，選 r 出來排隊，總共有多少個排列方法？

例如，由 7 個蘋果之中，選 3 個蘋果出來，總共就有 7P3，即是 210 個排法。

但是，題目要的是「組合」，不是「排列」。亦即是話，題目只重視，如果 7 個蘋果之中購買 3 個，有多少個選擇方法，而購買的次序並不重要。

換句話說，被選的 3 個蘋果的內部次序，不予考慮。所以，你應該把 7P3 除以(3!)，才可以把「排列」翻譯成「組合」，得到正確的答案：

7P3/(3!)

= 210/6

= 35

這個答案，和 7C3 的結果相同。

你剛才說，你很想把「7 選 3」，看成「7 選完 2 後再選 1」。你可以這樣做：

首先，由 7 個蘋果之中，選兩個出來排隊。

7P2

然後，再由餘下的 5 個蘋果之中，選 1 個出來排隊。

(7P2)(5P1)

最後，就把次序因素刪除。

(7P2)(5P1)/(3!)

= 35

你都會得到 35。

總括而言，「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的，等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105，不是正確的。

（A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以，而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤？）

如果要變成正確，你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3，才會得到正確答案呢？

亦即是話，在這裡，「除以 3」的實際意思，又是什麼呢？

— Me@2014.04.05

2014.04.06 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

nCr

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乘法意思 6

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

答案是 7C3（「7 選 3」），即是總共有，35 個可能的組合。

（A：那我可不可以把題目看成，分兩次抽 3 個蘋果出來？

首先，我由那 7 個蘋果中，抽兩個出來，即是 7C2。然後，我由餘下的 5 個蘋果中，再抽 1 個出來，即是 5C1。所以，答案應該可以寫成「7C2 乘以 5C1」。

但是，「7C2 x 5C1」卻是 105，不是 35 。錯在那裡呢？）

「7C3」和「7C2 x 5C1」，所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中，任意選 3 個出來，總共有多少個可能。

而「7C2 x 5C1」則是指，由一箱 7 個蘋果之中，任意選 2 個出來；然後，再由另一箱 5 個蘋果之中，抽一個出來，即是 5C1，總共有多少抽法。

留意，「7C2 x 5C1」根本不是你所指，代表「首先由 7 個蘋果中，抽兩個出來；然後，再由同一箱餘下的 5 個蘋果中，抽 1 個出來」。

（A：但是我仍然不太明白，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，為何有所不同。）

互相獨立的因素，才會用乘法。你記不記得，在學習「機會率」時，學過這一點？

其實，歸根究底，「互相獨立的因素，如果一併考慮，總共有多少個組合」，就是乘法的根本意思，即是定義。

例如，一個長方形的長度增減，並不會影響闊度的大小，反之亦然。所以，長方形面積等於「長乘闊」的其中一個原因是，長和闊，是互相獨立的因素。

如果你把「7C2 x 5C1」看成，「由第一箱 7 個蘋果之中，任意選兩個出來；然後，再由另外箱 5 個蘋果中，抽 1 個出來，即是 5C1，總共有多少個抽法」，那就正確，因為，你由第一箱 7 個蘋果之中，抽了哪兩個出來，並不會影響到，你由第二箱 5 個蘋果之中，抽了 1 個出來時，會抽到哪 1 個。

但是，如果你把「7C2 x 5C1」看成，「由 7 個蘋果中，抽兩個出來；然後，再由同一箱餘下的 5 個蘋果中，抽一個出來」，那就不正確，因為，這兩個步驟，並不是互相獨立。第一個步驟結果，會影響到第二個步驟的結果。

你在「由 7 個蘋果中，抽兩個出來」時，抽了哪兩個，會影響到那箱中，將會餘下哪 5 個蘋果，給你第二個步驟去選。

— Me@2014.04.01

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