分支圖

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$\displaystyle{P(A|B)={{P(B|A)*P(A)} \over {P(B)}}}$

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— Me@2022-01-02 12:20:15 PM

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機會率驗算 2

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There are 5 women and 6 men in a bus. But there are only 4 seats.

Assume that all the seats will be occupied and all possible seating arrangements have the same probability to appear.

What is the probability that 2 or more men will have seats?

~~~

Probability method gets the final probability by multiplying several fractions of probability together.

P method:

This method considers each seat one by one: what is the probability that this seat will get, for example, an M?

Let $\displaystyle{x}$ be the number of men that will have seats. Also, instead of writing $\displaystyle{C^n_r}$, we use the standard notation $\displaystyle{{n \choose r}}$.

$\displaystyle{P(x \ge 2)}$
$\displaystyle{= 1 - P(x = 0) - P(x = 1)}$
$\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - P(MFFF) - P(FMFF) - P(FFMF) - P(FFFM)}$

$\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - {4 \choose 1} P(FFFM)}$

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$\displaystyle{P(FFFF) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{2}{8} \right)}$

$\displaystyle{P(FFFM) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{6}{8} \right)}$

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$\displaystyle{P(x \ge 2)}$

$\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}$

$\displaystyle{= \frac{53}{66}}$

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Statistics method gets the final probability by dividing the number of ways of getting the desired result by the number of all possible results.

S method 1:

This method considers all the seats at once: what is the number of ways that they will get, for example, 3F and 1M?

In other words, instead of the seats, this method focuses on the people: what is the number of ways that 3F and 1M will be chosen?

In other words, instead of the choosing process, this method focuses on counting the results of the choosing.

Let $\displaystyle{N(...)}$ = the number of ways of …

$\displaystyle{P(x \ge 2)}$

$\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose 2 or more men})}{\text{total number of ways}}}$

$\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5 and then 1 M among 6})}{\text{total number of ways}}}$

$\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose any 4 people}) - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5}) \times N(\text{1 M among 6})}{N(\text{seats choose any 4 people})}}$

$\displaystyle{= \left[{11 \choose 4} - {5 \choose 4} - {5 \choose 3} {6 \choose 1} \right] / \left[ {11 \choose 4} \right]}$

$\displaystyle{= \frac{ 330 - 5 - 10 \times 6 }{330}}$

$\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}$

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S method 2:

This method considers each seat one by one: what is the number of ways that this seat will get, for example, an M?

In other words, instead of the results, this method focuses on choosing process itself.

Note that this method uses permutation instead of combination.

$\displaystyle{P(x \ge 2)}$

$\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(FFFF) - N(MFFF) - N(FMFF) - N(FFMF) - N(FFFM)}{\text{total number of ways}}}$

$\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - (6)(5)(4)(3) - (5)(6)(4)(3) - (5)(4)(6)(3) - (5)(4)(3)(6)}{(11)(10)(9)(8)}}$

$\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - 4(6)(5)(4)(3)}{(11)(10)(9)(8)}}$

$\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}$

$\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}$

— Me@2021-10-02 05:18:02 PM

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背誦量

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（TK: 運算機會率題目時，如何提升準確度？）

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（TK: 其實我是有背的，但是，時常也誤中副車，差一點才能想中正確方法。）

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「背」的意思並不是說，你把「魔法筆記」，由頭至尾，閱讀一次就算。「背」的真正意思是，要你做到「過目不忘」，即是，在平日做練習，或者考試時，你都可以在心裡翻查，筆記上的每一頁，每一個細節。

— Me@2014.10.05

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Probability 4

using probability

~ ignoring the details

~ caring about only the results

— Me@2014-05-21 09:28:35 PM

nCr, 4

（A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以？那不會「暗地裡加了次序」嗎？）

7 個蘋果中選 3 出來，即是相當於有 3 個格子要填滿：

（＿）（＿）（＿）

（7）（＿）（＿）

（7）（6）（＿）

（7）（6）（5）

3! = 6

（7）（6）（5）
—————-
（3!）

= 35

（＿）（＿）（＿）

（3）（＿）（＿）

（3）（2）（＿）

（3）（2）（1）

（7）（6）（5）
—————-
（3）（2）（1）

= 35

（7）（6）|（5）
——— ——-
（2）（1）|（1）

（7）（6）|（5）
= ——— ——
（2!） |（1!）

= 105

— Me@2014.04.21

nCr, 3

（A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以，而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤？）

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

AB　E

BA　E

AE　B

EA　B

BE　A

EB　A

AB　E

BA　E

AE　B

EA　B

BE　A

EB　A

（A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以？那不會「暗地裡加了次序」嗎？）

— Me@2014.04.14

nCr, 2

（A：我大概明白你的解釋。但是，情感上，我仍然接受不到，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，的確有所不同。）

「nPr」即是「n 排 r」—— 如果有 n 個物件，選 r 出來排隊，總共有多少個排列方法？

7P3/(3!)

= 210/6

= 35

7P2

(7P2)(5P1)

(7P2)(5P1)/(3!)

= 35

（A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以，而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤？）

— Me@2014.04.05

nCr

（A：那我可不可以把題目看成，分兩次抽 3 個蘋果出來？

「7C3」和「7C2 x 5C1」，所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中，任意選 3 個出來，總共有多少個可能。

（A：但是我仍然不太明白，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，為何有所不同。）

— Me@2014.04.01

Independent vs Mutually Exclusive, 2

Tree diagram 4

Mutual exclusive events are corresponding to two separate branches of the same tree diagram.

Independent events are corresponding to two independent tree diagrams.

— Me@2014-01-01 6:27 PM

機會率驗算 1.2

（問：在運算機會率題目時，怎樣可以知道，自己的思路有沒有錯呢？）

— Me@2013.12.24

機會率驗算 1.1

「P 方法」的意思是 Probability（機會率）方法，即是將幾個 probability 分數乘在一起，從而得到最終的機會率分數。

「S 方法」的意思是 Statistics（統計學）方法，即是透過 counting（點數）去運算；由此至終，只寫一個分數 —— 將所有可能性放在分數，然後再將你想要的可能性，放在分子。

~~~

P 方法：

P（三顆骰抽兩顆，然後兩顆都擲到 2）

= (1/3)(1/6)(1)(1/3) + (2/3)(1/3)[(1/2)(1/6) + (1/2)(1/3)]

= …

= 2/27

~~~

S 方法：

= (分子)/(分母)

= 想要的可能性/所有的可能性

（「3C2」即是「3 選 2」；「3 選 2」有 3 個可能性。

= 1×2 （抽到一顆骰子正常，一顆不正常）+ 1×2（抽到一顆正常，和抽到另一顆的不正常骰子）+ 2×2（兩顆骰子也不正常）

= 8

P（三顆骰抽兩顆，然後兩顆都擲到 2）

= 8/108

= 2/27

「S 方法」所得出的答案

= 2/27

= 「P 方法」所得出的答案

— Me@2013.12.20

HH
HT
TH
TT

HH
HT <
TH <
TT

2
_

4

2
_

4

— Me@2013.07.27

Multinomial coefficient 3

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

」，

『ACEGI』為之一隊，而『BDFHJ』則為之另一隊。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

— Me@2013.07.19

Multinomial coefficient 2.6

（＿）（＿）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

（10）（＿）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

（10）（9）（＿）（＿）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

（10）（9）（8）（7）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

24 = 4 x 3 x 2 x 1

（10）（9）（8）（7）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

（10）（9）（8）（7）|（6）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（＿）（＿）（＿）（＿）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）
————————————————————-
（4）（3）（2）（1）|（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）（＿）

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

（10）（9）（8）（7）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）
———————————————————
（4）（3）（2）（1）|（6）（5）（4）（3）（2）（1）

= 210

(10!)
——–
(＿)(＿)

(10!)
——–
(4!)(＿)

(10!)
——–
(4!)(6!)

= 210

— Me@2013.07.15

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

— Me@2013.07.12

（＿）（＿）（＿）（＿）

（10）（＿）（＿）（＿）

（10）（9）（＿）（＿）

（10）（9）（8）（7）

= 5040

10_P_4 =

10!
——-
(10-4)!

— Me@2013.07.08

Multinomial coefficient 2.3

（CYW：用你這個講法，我好像明白多了一點。但是，如果沿用我剛才的問法，我又確實感覺到，應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心，可以在考試時準確分辨，哪些時候需要考慮「次序」，哪些時候不需要。）

— Me@2013.07.04

Multinomial coefficient 2.2

（CYW：但是，我覺得應該不止有 210 個可能性，因為抽某 4 個人出來時，本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中，去乘坐第一輛車，「先抽甲出來」和「先抽乙出來」，就已經是兩個不同的可能性。我不太明白，為什麼毋須考慮這一點？）

（CYW：用你這個講法，我好像明白多了一點。但是，如果沿用我剛才的問法，我又確實感覺到，應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心，可以在考試時準確分辨，哪些時候需要考慮「次序」，哪些時候不需要。）

— Me@2013.07.01

Multinomial coefficient 2.1

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

(10!)
——–
(＿＿)

(10!)
——–
(＿)(＿)

(10!)
——–
(4!)(＿)

(10!)
——–
(4!)(6!)

（CYW：但是，我覺得應該不止有 210 個可能性，因為抽某 4 個人出來時，本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中，去乘坐第一輛車，「先抽甲出來」和「先抽乙出來」，就已經是兩個不同的可能性。我不太明白，為什麼毋須考慮這一點？）

— Me@2013.06.29