排列組合 1.2

nCr, 0.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

.

1.4.2 另外一種設計定義的想法是,由 \displaystyle{n!}算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少,\displaystyle{n!} 就有多少項相乘,那樣,零的階乘,\displaystyle{0!},理應只有零項相乘,\displaystyle{~a^0~}

\displaystyle{0! = a^0}

.

但是,「零項相乘」的數值,又應該是什麼呢?

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」,所以是一,因為任何數乘了一,效果都等於沒有乘;所以,

\displaystyle{a^0 = 1}

\displaystyle{0! = 1}

.

「零項相乘」的正式學名是,「空積」或「零項積」。

.

1.4.3 如果要詳細一點,去理解「空積」的話,可以先嘗試了解「次方」的意思。

首先,\displaystyle{a} 五次方的意思,就是有五個 \displaystyle{a} 相乘。

\displaystyle{a^5 = aaaaa}

.

如果在其之後,再乘 \displaystyle{a^3} 的話,就即是再乘多三個 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa)}

.

所以,

\displaystyle{a^5 a^3 = a^{5+3}}

.

既然,在其之後乘以 \displaystyle{a}三次方,就是乘多三個 \displaystyle{a}

那樣,在其之後乘以 \displaystyle{a}三次方,就可以理解成乘少三個 \displaystyle{a},即是:

.

你想想,自出生以來,你學過什麼操作,會有刪除因子的效果呢?

就是分母:

\displaystyle{a^5 a^{-3} = \frac{aaaaa}{aaa}}

.

所以,所謂「負三次方」的運算的方法,就是把那三次方,放於分母之中。

\displaystyle{a^{-3} = \frac{1}{a^3}}

.

然後,我們可以再研究,一個抽象一點的問題:

\displaystyle{a}次方,又會是什麼呢?

.

我們可以這樣想,如果 \displaystyle{a^{1/2}} 存在的話,它必須達到什麼效果呢?

.

如果暫時想不到的話,可以改為思考:「\displaystyle{a} 的五次方,乘了半次 \displaystyle{a},再乘半次 \displaystyle{a}」 的話,即是總共乘多了,多少個 \displaystyle{a} 呢?

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=?

.

那很明顯是,總共乘多了一次 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^5 a^1

.

所以,

\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^6

.

亦即是話,

\displaystyle{a^{1/2} a^{1/2}}=a^1

.

究竟這個所謂的「半次 \displaystyle{a}」存不存在呢?

可以這個想,你自出生以來,有沒有學過什麼數字符號,自乘後會等如一次 \displaystyle{a} 呢?

有,那就是 \displaystyle{a} 的平方根。

\displaystyle{\sqrt{a} \sqrt{a}}=a^1

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所以,所謂的「半次 \displaystyle{a}」,其實就是,平方根 \displaystyle{a}

\displaystyle{a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}}

.

言歸正傳,我們再來研究,所謂的「\displaystyle{a} 零次方」,其實是什麼?

顧名思義,即是乘 \displaystyle{a} 的次數為零,不要乘也。

再想想:

\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a} 的正三次,就是乘多三個 \displaystyle{a};所以,結果就是 \displaystyle{a} 的八次方。

\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa) = a^8}

同理,\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a}三次,就是乘三個 \displaystyle{a};所以,結果就是 \displaystyle{a} 的二次方。

\displaystyle{a^5 a^{-3} = a^2}

.

那樣,\displaystyle{a} 五次方乘以 \displaystyle{a}次,理應就是「不乘多亦不乘少」,維持原來的 \displaystyle{a} 五次。

\displaystyle{a^5 a^{0} = aaaaa = a^5}

.

換句話說,「乘以 \displaystyle{a} 零次」的效果,就是「乘了等如沒乘」。

你想想,自出生以來,有沒有學過什麼數字符號,會有「乘了等如沒乘」的效果呢?

— Me@2022.09.07 08:09:14 PM

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2022.09.10 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

排列組合 1.1

nCr, 0

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

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\displaystyle{n!}

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1.1  意思:

\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位的話,有多少種坐法?

1.2.1  算式:

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

1.2.2  由來:

第一個位,有 \displaystyle{n} 個可能的人選;第一個位被坐後,第二個位只有 \displaystyle{(n-1)} 個,可能的人選;如此類推,直到最後一個位,被餘下的唯一個人,選了為此。

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1.3 

留意,\displaystyle{n} 是多少,就有多少項。

\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}

例如,\displaystyle{5!},就有 5 項相乘;

\displaystyle{\begin{aligned}     5! &= (5)(4)(3)(2)(1) \\ \\     \end{aligned}}

\displaystyle{3!},就有 3 項;等等。

\displaystyle{\begin{aligned}     3! &= (3)(2)(1) \\    \end{aligned}}

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1.4.0  零的階乘,\displaystyle{0!},還未有定義,因為,算式 \displaystyle{n! = (n)(n-1) \cdots (2)(1)} 中的 \displaystyle{n},只可以是正整體,不可以零。

階乘零,\displaystyle{0!},需要額外定義,因為會常用到。那樣,\displaystyle{0!} 應該定義為,什麼數值呢?

1.4.1  既然 \displaystyle{n!}意思是「\displaystyle{n} 個人 \displaystyle{n} 個座位,有多少種坐法」,那樣,你就可以視,\displaystyle{0!} 的意思是「\displaystyle{0} 個人 \displaystyle{0} 個座位,有多少種坐法」;那明顯是一,因為,那個情況之下,只有一個「坐法」,就是「沒有人又沒有位」這個唯一的可能性。

\displaystyle{0! = 1}

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1.4.2  另外一種設計定義的想法是,由 \displaystyle{n!}算式取靈感。

既然 \displaystyle{n} 是多少,\displaystyle{n!} 就有多少項相乘,那樣,零的階乘,\displaystyle{0!},理應只有零項相乘,\displaystyle{~a^0~}

\displaystyle{0! = a^0}

但是,「零項相乘」的數值,又應該是什麼呢?

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」,所以是一,因為任何數乘了一,效果都等於沒有乘。

\displaystyle{a^0 = 1}

(「零項相乘」的正式學名是,「空積」或「零項積」。)

\displaystyle{0! = 1}

— Me@2022-08-02 02:41:43 PM

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2022.08.02 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

分支圖

這段改編自 2021 年 12 月 9 日的對話。

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條件概率(conditional probability)的公式中,會除以「已知」。

\displaystyle{P(A|B)={{P(B|A)*P(A)} \over {P(B)}}}

而「除以『已知』」的目的就是,改變 tree diagram 的起點。這一句是,我學了機會率之後的十幾年間,原本都不知道的東西。在 2010 年,第一次教時,我才領悟得到。

This file is made available under the Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

樹形圖的起點,機率必為一,因為「樹形圖起點」的定義,就正正是「已知」。

樹形圖的重要性在於,多複雜的題目,只要你用樹形圖來思考,通常都可以明白到。

甚至,如果你問最根本的問題「乘法從何而來」,其實,都需要用樹形圖來解釋。例如,\displaystyle{3 \times 2} 是什麼意思呢?

三大分支的每支上,再有 2 小分支的話,就總共有 6 個終點。

— Me@2022-01-02 12:20:15 PM

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2022.01.03 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 2

Proofreading probability

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There are 5 women and 6 men in a bus. But there are only 4 seats.

Assume that all the seats will be occupied and all possible seating arrangements have the same probability to appear.

What is the probability that 2 or more men will have seats?

~~~

Probability method gets the final probability by multiplying several fractions of probability together.

P method:

This method considers each seat one by one: what is the probability that this seat will get, for example, an M?

Let \displaystyle{x} be the number of men that will have seats. Also, instead of writing \displaystyle{C^n_r}, we use the standard notation \displaystyle{{n \choose r}}.

\displaystyle{P(x \ge 2)}
\displaystyle{= 1 - P(x = 0) - P(x = 1)}
\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - P(MFFF) - P(FMFF) - P(FFMF) - P(FFFM)}

\displaystyle{= 1 - P(FFFF) - {4 \choose 1} P(FFFM)}

.

\displaystyle{P(FFFF) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{2}{8} \right)}

\displaystyle{P(FFFM) = \left( \frac{5}{11} \right) \left( \frac{4}{10} \right) \left( \frac{3}{9} \right) \left( \frac{6}{8} \right)}

.

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}

\displaystyle{= \frac{53}{66}}

.

Statistics method gets the final probability by dividing the number of ways of getting the desired result by the number of all possible results.

S method 1:

This method considers all the seats at once: what is the number of ways that they will get, for example, 3F and 1M?

In other words, instead of the seats, this method focuses on the people: what is the number of ways that 3F and 1M will be chosen?

In other words, instead of the choosing process, this method focuses on counting the results of the choosing.

Let \displaystyle{N(...)} = the number of ways of …

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose 2 or more men})}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5 and then 1 M among 6})}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{N(\text{seats choose any 4 people}) - N(\text{4 F among 5}) - N(\text{choose 3 F among 5}) \times N(\text{1 M among 6})}{N(\text{seats choose any 4 people})}}

\displaystyle{= \left[{11 \choose 4} - {5 \choose 4} - {5 \choose 3} {6 \choose 1} \right] / \left[ {11 \choose 4} \right]}

\displaystyle{= \frac{ 330 - 5 - 10 \times 6 }{330}}

\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}

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S method 2:

This method considers each seat one by one: what is the number of ways that this seat will get, for example, an M?

In other words, instead of the results, this method focuses on choosing process itself.

Note that this method uses permutation instead of combination.

\displaystyle{P(x \ge 2)}

\displaystyle{= \frac{\text{total number of ways} - N(FFFF) - N(MFFF) - N(FMFF) - N(FFMF) - N(FFFM)}{\text{total number of ways}}}

\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - (6)(5)(4)(3) - (5)(6)(4)(3) - (5)(4)(6)(3) - (5)(4)(3)(6)}{(11)(10)(9)(8)}}

\displaystyle{= \frac{(11)(10)(9)(8) - (5)(4)(3)(2) - 4(6)(5)(4)(3)}{(11)(10)(9)(8)}}

\displaystyle{= \frac{6360}{7920}}

\displaystyle{= \frac{ 53 }{ 66 }}

— Me@2021-10-02 05:18:02 PM

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2021.10.27 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

背誦量

全像記憶 3

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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(TK: 運算機會率題目時,如何提升準確度?)

九成九是靠背誦 —— 背誦眾多運算方法,和萬千驗算技巧。當然,我不是要你「死背」,而是要你「生背」,即是明白以後才背。

千萬不要企圖,自己發明任何方法。一來,你未有那些智力。二來,即使有,你也負擔不到那些時間。

只有數學家才會,負擔得起那些智力,和那些時間。

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(TK: 其實我是有背的,但是,時常也誤中副車,差一點才能想中正確方法。)

或者說,你背得不夠多,或者不夠詳細。我所指的「背」,其實份量是十分驚人的。

例如,假設考試有可能出現的機會率題目,總共有 5 類。我並不是說,你每類也背誦一題的方法,就可以奪得好成績。

實際上,你的背誦量,並不只是 5 題,而隨時可能是 50 題,因為,同一種題目,可以有(例如)10 種不同的問法。

那 10 種題形的應對方法(和對應的驗算技巧),你都要背誦,因為,同一種題目,你要背誦了它,很多不同的版本,才會領略到,背後的精髓。那你才可以做到「明白以後才背」,即是「生背」。

如果你一定要成績奪 A,背誦量是十分驚人的。所以,我多次提醒你,你在每次做 past paper(以往試題),或其他練習之前,也一次要先背誦你的「魔法筆記」。

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「背」的意思並不是說,你把「魔法筆記」,由頭至尾,閱讀一次就算。「背」的真正意思是,要你做到「過目不忘」,即是,在平日做練習,或者考試時,你都可以在心裡翻查,筆記上的每一頁,每一個細節。

— Me@2014.10.05

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2014.10.06 Monday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 4

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 個蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)

因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。

如果你要百分百地通透理解,這一題的運作原理,你不妨試試重組案情 —— 用最原始的方法去思考和運算,而不用排列(nPr)和組合(nCr)的公式。

7 個蘋果中選 3 出來,即是相當於有 3 個格子要填滿:

(_)(_)(_)

第一格有 7 個選擇:

(7)(_)(_)

第二格則有,餘下的 6 個可能性:

(7)(6)(_)

如此類推:

(7)(6)(5)

這代表了 7 個蘋果抽 3 個出來排隊的話,有多少個排列方法(permutation)。但是,現在重視的是組合(combination),而不是排列。亦即是話,重要的是,你究竟要在那 7 個蘋果之中,選了哪 3 個出來。至於它們 3 個之中,哪一個先被選出、哪一個後被選出,並不重要。

所以,你應該把剛才的中途答案,除以(3!),因為,被選的 3 個蘋果,內部總共有(3!)種排列方法。

3! = 6

那 6 個「排列」,都應歸類為,同一個「組合」 。

(7)(6)(5)
—————-
    (3!)

= 35

至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。

如果你任何「數學科技」也不喜歡,而想再原始一點,直情(乾脆)連「階乘公式」(n!)都不用的話,你可以自行推斷一下,已選了的那 3 個蘋果之中,內部會有多少個排列方法。

那其實就相當於,已知有 3 個人入了總決賽,爭奪冠亞季軍,然後問,總共有多少個,可能的比賽結果?

你可以這樣想,冠亞季有 3 個席位:

(_)(_)(_)

第一格有 3 個選擇:

(3)(_)(_)

第二格則有,餘下的兩個可能性:

(3)(2)(_)

如此類推:

(3)(2)(1)

所以,那 3 個蘋果的內部,總共有(3)(2)(1),即是 6 個排列方法。那 6 個排列,都應歸類為是同一個組合。

(7)(6)(5)
—————-
(3)(2)(1)

= 35

至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。

但是,而「7C2 x 5C1」則不行,等如 105,不是正確的。不信的話,你可以試試建構一下,「7C2 x 5C1」的原始式子:

(7)(6)|(5)
——— ——-
(2)(1)|(1)

  (7)(6)|(5)
= ——— ——
    (2!) |(1!)

= 105

你會發現,這式子答非所問,並不是題目描述的情況。

— Me@2014.04.21

2014.04.24 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 3

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以,而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤?)

如果要變成正確,你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3,才會得到正確答案呢?

亦即是話,在這裡,「除以 3」的實際意思,又是什麼呢?

把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」是錯誤的原因是,你暗地裡為那三個蘋果,加了一點次序。

例如,假設原本的 7 個蘋果是 A、B、C、D、E、F 和 G,而你抽到了 A、B、E 三個蘋果。在考慮 7C3 時,

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個次序,要視為一個情況,因為 7C3 的意思是「組合」,重點是你由那 7 個蘋果之中,買了哪 3 個,而不是先拿哪一個,後拿哪一個。

如果你接受不到這一點,你可以想像,現在是要由 A、B、C、D、E、F 和 G 七個人之中,抽 3 個出來,組成一隊 3 人樂隊,即是音樂組合。組成音樂組合的話,

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個選人次序,要視為一個情況,因為這 6 個次序,都代表著同一隊樂隊,都同樣是由 A、B、E 三人組成的。但是,如果你把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」,即是把「7 選 3」硬要看成「7 選完 2 後再選 1」的話,運算的結果就會變成:

AB E

BA E

AE B

EA B

BE A

EB A

意思是,

AB E

BA E

會視為同一個情況;

AE B

EA B

又會視為同一個情況;

BE A

EB A

則會視為第三個情況。但是,這 3 類情況,會視為 3 個不同的可能性。亦即是話,原本應視為同一個「組合」的 6 個「排列」,會被誤會為 3 個不同的「組合」方法。

建構樂隊時時,只要被選的是 A、B、E,哪一個是最尾被抽出來,根本不重要。但是,「7C2 x 5C1」卻偏偏重視,哪一個是最尾被抽出來。那就是為什麼,「7C3」和「7C2 x 5C1」的不同之處,在於「7C2 x 5C1」中,你暗地裡為那三個蘋果,加了一點次序。

(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)

因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。

— Me@2014.04.14

2014.04.15 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 2

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

(A:我大概明白你的解釋。但是,情感上,我仍然接受不到,「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」,的確有所不同。)

如果你堅持要把「7 選 3」,看成「7 選完 2 後再選 1」,而又要得到正確答案的話,你可以用 nPr 的方法。

「nPr」即是「n 排 r」—— 如果有 n 個物件,選 r 出來排隊,總共有多少個排列方法?

例如,由 7 個蘋果之中,選 3 個蘋果出來,總共就有 7P3,即是 210 個排法。

但是,題目要的是「組合」,不是「排列」。亦即是話,題目只重視,如果 7 個蘋果之中購買 3 個,有多少個選擇方法,而購買的次序並不重要。

換句話說,被選的 3 個蘋果的內部次序,不予考慮。所以,你應該把 7P3 除以(3!),才可以把「排列」翻譯成「組合」,得到正確的答案:

7P3/(3!)

= 210/6

= 35

這個答案,和 7C3 的結果相同。

你剛才說,你很想把「7 選 3」,看成「7 選完 2 後再選 1」。你可以這樣做:

首先,由 7 個蘋果之中,選兩個出來排隊。

7P2

然後,再由餘下的 5 個蘋果之中,選 1 個出來排隊。

(7P2)(5P1)

最後,就把次序因素刪除。

(7P2)(5P1)/(3!)

= 35

你都會得到 35。

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以,而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤?)

如果要變成正確,你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3,才會得到正確答案呢?

亦即是話,在這裡,「除以 3」的實際意思,又是什麼呢?

— Me@2014.04.05

2014.04.06 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

nCr

乘法意思 6

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

答案是 7C3(「7 選 3」),即是總共有,35 個可能的組合。

(A:那我可不可以把題目看成,分兩次抽 3 個蘋果出來?

首先,我由那 7 個蘋果中,抽兩個出來,即是 7C2。然後,我由餘下的 5 個蘋果中,再抽 1 個出來,即是 5C1。所以,答案應該可以寫成「7C2 乘以 5C1」。

但是,「7C2 x 5C1」卻是 105,不是 35 。錯在那裡呢?)

「7C3」和「7C2 x 5C1」,所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中,任意選 3 個出來,總共有多少個可能。

而「7C2 x 5C1」則是指,由一箱 7 個蘋果之中,任意選 2 個出來;然後,再由另一箱 5 個蘋果之中,抽一個出來,即是 5C1,總共有多少抽法。

留意,「7C2 x 5C1」根本不是你所指,代表「首先由 7 個蘋果中,抽兩個出來;然後,再由同一箱餘下的 5 個蘋果中,抽 1 個出來」。

(A:但是我仍然不太明白,「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」,為何有所不同。)

互相獨立的因素,才會用乘法。你記不記得,在學習「機會率」時,學過這一點?

其實,歸根究底,「互相獨立的因素,如果一併考慮,總共有多少個組合」,就是乘法的根本意思,即是定義。

例如,一個長方形的長度增減,並不會影響闊度的大小,反之亦然。所以,長方形面積等於「長乘闊」的其中一個原因是,長和闊,是互相獨立的因素。

如果你把「7C2 x 5C1」看成,「由第一箱 7 個蘋果之中,任意選兩個出來;然後,再由另外箱 5 個蘋果中,抽 1 個出來,即是 5C1,總共有多少個抽法」,那就正確,因為,你由第一箱 7 個蘋果之中,抽了哪兩個出來,並不會影響到,你由第二箱 5 個蘋果之中,抽了 1 個出來時,會抽到哪 1 個。

但是,如果你把「7C2 x 5C1」看成,「由 7 個蘋果中,抽兩個出來;然後,再由同一箱餘下的 5 個蘋果中,抽一個出來」,那就不正確,因為,這兩個步驟,並不是互相獨立。第一個步驟結果,會影響到第二個步驟的結果。

你在「由 7 個蘋果中,抽兩個出來」時,抽了哪兩個,會影響到那箱中,將會餘下哪 5 個蘋果,給你第二個步驟去選。

— Me@2014.04.01

2014.04.01 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 1.2

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

(問:在運算機會率題目時,怎樣可以知道,自己的思路有沒有錯呢?)

一方面,你盡量在每一題的機會率題目,也同時使用「P 方法」和「S 方法」,互作驗算。

另一方面,在用「P 方法」時,如果面對的是稍為複雜的題目,你要重點留意的,是畫好 Tree Diagram(樹形圖)。Tree Diagram 雖然是最原始,但同時亦是最有效的,機會率思考工具。

— Me@2013.12.24

2013.12.24 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 1.1

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

有一個箱子,內裡有三顆骰子。三顆之中,只有一顆是「公平骰子」,有 1、2、3、4、5、6 六面。另外的兩顆,每一顆有 0、0、1、1、2、2 六面。假設對於三顆骰子中的每一顆而言,每一面出現的機會率都是六分之一。那樣,如果從那箱子中,隨機抽兩顆出來,然後再擲的話,擲到兩顆都是 2 的機會率是多少?

做機會率題目的主要難處是,好像沒有步驟可言,導致很難檢驗,自己的思考有沒有漏洞。所以,做機會率的題目時,一定要驗算。而驗算的方法就是,用兩個完全不同的方法去做。如果它們都得出同樣的答案,錯的機會就很微。對於機會率題目而言,建議同時使用「P 方法」和「S 方法」,互作校對。

「P 方法」的意思是 Probability(機會率)方法,即是將幾個 probability 分數乘在一起,從而得到最終的機會率分數。

「S 方法」的意思是 Statistics(統計學)方法,即是透過 counting(點數)去運算;由此至終,只寫一個分數 —— 將所有可能性放在分數,然後再將你想要的可能性,放在分子。

以這題為例:

~~~

P 方法:

透過 Tree Diagram(樹形圖),可以得出:

P(三顆骰抽兩顆,然後兩顆都擲到 2)

= (1/3)(1/6)(1)(1/3) + (2/3)(1/3)[(1/2)(1/6) + (1/2)(1/3)]

= …

= 2/27

~~~

S 方法:

一個大分數

= (分子)/(分母)

= 想要的可能性/所有的可能性

所有的可能性 = 三顆骰子選兩顆 x 每顆有六面 = (3C2)(6)(6) = 108

(「3C2」即是「3 選 2」;「3 選 2」有 3 個可能性。

想要的可能性 = 二粒都是 2

= 1×2 (抽到一顆骰子正常,一顆不正常)+ 1×2(抽到一顆正常,和抽到另一顆的不正常骰子)+ 2×2(兩顆骰子也不正常)

= 8

所以,

P(三顆骰抽兩顆,然後兩顆都擲到 2)

= 8/108

= 2/27

「S 方法」所得出的答案

= 2/27

= 「P 方法」所得出的答案

所以,這題機會率的運算,錯的機會就很微。

— Me@2013.12.20

2013.12.21 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

機會率一樣

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

運算機會率題目時,盡量不要用「一樣」這個字眼;盡量不要說「因為兩個情況一樣,所以你要將中途答案乘二」這類說話。

例如,問題是:

如果擲兩個錢幣,擲到一公一字(1H1T)的機會率是多少?

假設每一個錢幣都是正常的,即是擲到公字的機會均等,也是 1/2。

這題很簡單容易,所以用最原始的方法也無妨:

HH
HT
TH
TT

總共有 4 個可能的結果。根據題目的假設,它們每個的發生機會均等,都是 1/4;而中間的兩個可能,都是題目想要的結果,所以,答案是 2/4,即是 1/2。

在解釋這一點時,如果要用「一樣」這個詞語,我可以用兩個完全相反的講法。換而言之,「一樣」會造成混淆。

HH
HT <
TH <
TT

我既可以說,因為中間的兩個案例「一樣」 —— 都是「一公一字」 —— 符合題目的要求,所以兩個案例都要,導致分子是 2,答案是四分之二:

2
_

4

但是,我又可以說,因為中間的兩個案例「不一樣」 —— 一個是「第一個公、第二個字」,而另一個是「第一個字、第二個公」 —— 所以應該視為兩個案例,而不是 1 個。那樣,分子就應該是 2,而不是 1。答案是四分之二:

2
_

4

化簡後是 1/2。

— Me@2013.07.27

2013.07.27 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 3

二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事:

利用 multinomial coefficient(分組公式)時,有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,各自有 5 人,那總共有多少個可能?

答案表面上是 10_C_5,即是「10 選 5」,因為,你要考慮由那 10 人之中,選 5 人出來組成第一組樂隊,有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是,實際上,正確的運算方法,應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是,題目只要求把那 10 人分成,兩組人數相同的樂隊,而題目並沒有要求區分,哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如,

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『ACEGI』5 人出來,先組成一隊

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『BDFHJ』5 人出來,先組成一隊

」,

在這一題上文下理的要求下,應該歸納為同一個「case」(事件可能性),因為,兩者的結果都同樣是:

『ACEGI』為之一隊,而『BDFHJ』則為之另一隊。

如果題目改為:

如果有 10 個人,要抽 5 人出來,組成一隊音樂組合,那總共有多少個可能?

答案則是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,第一組有 5 人,而第二組又有 5 人,那總共有多少個可能?

答案都是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話,試一試這題:

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人,而第二輛的載客量是 5 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5,還是 10_C_5 呢?

— Me@2013.07.19

2013.07.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.6

二項式係數 4.6 | Binomial coefficient 4.6

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率,或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

首先,總共有 10 個坐位,第一輛車有 4 個,而第二輛車有 6 個:

(_)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第一個人去第一輛車時,有 10 個可能的人:

(10)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第一輛車時,有 9 個可能性:

(10)(9)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 4 人也是乘坐第一輛車,題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共有 24 個。所以,分母應該要有一個 24 的因子:

24 = 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

然後,我們考慮第二輛車。因為餘下的有 6 個人,抽第一個人去第二輛車時,就有 6 個可能的人:

(10)(9)(8)(7)|(6)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第二輛車時,有 5 人可能性:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 6 人也是去乘坐第二輛車。題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共就有 720 個。所以,分母還有一個, 720 的因子:

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
———————————————————
 (4)(3)(2)(1)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)

= 210

在連 factorial(階乘)都不懂的情況下,你就需要用到這個詳細的做法。如果你懂 factorial,即使假設還未學會 n_C_r,你仍然可以用一個,精簡一點的做法:

首先,有 10 個人 10 個位,所以總共有(10!)個排法:

(10!)
——–
(_)(_)

但是,第一輛車的那 4 人,內在次序不重要,所以,你要把那(4!)個排法「歸一」:

(10!)
——–
(4!)(_)

同理,第二輛車的那 6 人,內在次序亦不重要,所以分母再有一個(6!)的因子:

(10!)
——–
(4!)(6!)

= 210

— Me@2013.07.15

2013.07.15 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.5

二項式係數 4.5 | Binomial coefficient 4.5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

言歸正傳,剛才我講過:

記住,是否視之為「一個」可能性,並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如,在這一題中,題目問的是「分法」,而不是「抽法」,或者「坐法」。

所以,答案明顯是 10_C_4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

而我亦提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」—— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 4 個人 和 第二組有 6 個人。因為是「分組」,即是「分成組合」,所以每組內部的次序並不重要。

但是,你剛才又追問:

但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?

那樣,我就會答:

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

— Me@2013.07.12

2013.07.12 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.4

二項式係數 4.4 | Binomial coefficient 4.4

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

換而言之,從 10 人中抽 4 人出來,組成第一隊樂隊,總共有多少個抽法呢?

在這個情況下,次序很明顯不重要。試想想,假設你從那 10 人中,抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」,還是「ACBE」,他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合,你都會視之為「同一隊」樂隊。

但是,如果問題改為:

從 10 人中抽 4 人出來,去參加一個音樂比賽,而沒有其他參賽者的話,總共有多少個可能的比賽排名結果呢?

那樣,被抽了出來的那 4 個人中,不同的人拿冠軍,為之不同的排名,不同的結果。所以,次序需要考慮。運算方面,詳細的版本是:

首先,考慮有「冠、亞、季、殿」軍 4 個空格:

(_)(_)(_)(_)

因為冠軍寶座有 10 個可能的奪得者,所以,第一格是 10:

(10)(_)(_)(_)

其中 1 人奪得冠軍後,亞軍還有 9 個可能的領獎人士:

(10)(9)(_)(_)

如此類推的話,我們就可以推斷到,總共有 5040 個可能的比賽結果:

(10)(9)(8)(7)

= 5040

精簡的版本則是:

題目明確地問,有多少個可能的比賽排名。所以,題目所問的,就相當於:

從 10 人中抽 4 人出來,而次序重要的話,總共有多少個抽法呢?

那是 permutation(排列)。答案明顯是 10_P_4,即是「10 排 4」,等於 5040。

10_P_4 =

10!
——-
(10-4)!

結論是,總共有 5040 個可能的比賽排名。

— Me@2013.07.08

2013.07.08 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.3

二項式係數 4.3 | Binomial coefficient 4.3

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

(CYW:用你這個講法,我好像明白多了一點。但是,如果沿用我剛才的問法,我又確實感覺到,應該考慮「抽哪 4 個人去第一輛車」的不同次序。我暫時還未有信心,可以在考試時準確分辨,哪些時候需要考慮「次序」,哪些時候不需要。)

那就代表了,你仍然不太明白我的解答。或者,你先搞清楚,combination(組合)和 permutation(排列)的分別。

運算方面,毋須考慮次序的,就為之「組合」,公式是「nCr」;必須考慮次序的,就為之「排列」,公式是「nPr」。

而真正困難的,是在運算之前,要準確分辨,需要考慮次序,還是不需要。你只要利用正常的智力,一般的常識,再加上「組合」和「排列」這兩個詞語的輔助,就可以清晰劃分。

意思是,凡是題目明示或者暗示,尋找「組合」數目的,就毋須考慮,各個組合內部的次序,因為那是「組合」這個詞語的意思。例如,假設那 10 人是「ABCDE FGHIJ」,要分成兩隊「音樂組合」,簡稱「樂隊」。如果第一隊有 4 人,第二隊有 6 人,總共有多少個分配隊員方法?

換而言之,從 10 人中抽 4 人出來,組成第一隊樂隊,總共有多少個抽法呢?

在這個情況下,次序很明顯不重要。試想想,假設你從那 10 人中,抽了「ABCE」4 人出來。無論抽的先後次序是「ABCE」,還是「ACBE」,他們所組成樂隊都會「一樣」。兩個情況所組成的音樂組合,你都會視為「同一隊」樂隊。

— Me@2013.07.04

2013.07.04 Thursday (c) All rights reserved by ACHK