多項選擇題 6

Multiple Choices 6

這段改編自 2010 年 8 月 24 日的對話。

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有時,一題物理 MC(多項選擇題)會,同時有數學做法和物理做法。

那時,你就先用物理方法做一次,再用數學方法做多一次,以作驗算。

(問:哪有那麼多的時間?)

之前講過,那些做法,必須透過考試前,平日多加收集和練習而來;並不是在考試中途,才花額外時間發明。

— Me@2018-05-22 06:02:40 PM

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2018.05.22 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

Van der Waals equation 1.2

Whether X_{\text{measured}} is bigger or smaller than X_{\text{ideal}} ultimately depends on the assumptions and definitions used in the derivation of the ideal gas equation itself.

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In the ideal gas equation derivation, the volume used in the equation refers to the volume that the gas molecules can move within. So

V_{\text{ideal}} = V_{\text{available for a real gas' molecules to move within}}

Then, when deriving the pressure, it is assumed that there are no intermolecular forces among gas molecules. So

P_{\text{ideal}} = P_{\text{assuming no intermolecular forces}}

.

These are the reasons that

V_{\text{ideal}} < V_{\text{measured}}

P_{\text{ideal}} > P_{\text{measured}}

P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT

\left(P_\text{measured} + a\left(\frac{n}{V}\right)^2\right) \left(V_\text{measured}-nb\right) = nRT

— Me@2018-05-16 07:12:51 PM

~~~

… the thing to keep in mind is that the “pressure we use in the ideal gas law” is not the pressure of the gas itself. The pressure of the gas itself is too low: to relate that pressure to “pressure for the ideal gas law” we have to add a number. While the volume occupied by the real gas is too large – the “ideal volume” is less than that. – Floris Sep 30 ’16 at 17:34

— Physics Stackexchange

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2018.05.16 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

Van der Waals equation 1.1

Why do we add, and not subtract, the correction term for pressure in [Van der Waals] equation?

Since the pressure of real gases is lesser than the pressure exerted by (imaginary) ideal gases, shouldn’t we subtract some correction term to account for the decrease in pressure?

I mean, that’s what we have done for the volume correction: Subtracted a correction term from the volume of the container V since the total volume available for movement is reduced.

asked Sep 30 ’16 at 15:20
Ram Bharadwaj

— Physics Stackexchange

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Ideal gas law:

P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT

However, since in a real gas, there are attractions between molecules, so the measured value of pressure P is smaller than that in an ideal gas:

P_{\text{measured}} = P_{\text{real}}

P_{\text{measured}} < P_{\text{ideal gas}}

Also, since the gas molecules themselves occupy some space, the measured value of the volume V is bigger that the real gas really has:

V_{\text{measured}} > V_{\text{real}}

P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT

If we substitute P_{\text{measured}} onto the LHS, since P_{\text{measured}} < P_{\text{ideal}}, the LHS will be smaller than the RHS:

P_{\text{measured}} V_{\text{ideal}} < nRT

So in order to maintain the equality, a correction term to the pressure must be added:

\left(P_\text{measured} + a\left(\frac{n}{V}\right)^2\right) V_{\text{ideal}} = nRT

P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT

If we substitute V_{\text{measured}} onto the LHS, since that volume is bigger that actual volume available for the gas molecules to move, the LHS will be bigger than the RHS:

P_{\text{ideal}} V_{\text{measured}} > nRT

So in order to maintain the equality, a correction term to the pressure must be subtracted:

P_{\text{ideal}} \left(V_\text{measured}-nb\right) = nRT

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In other words,

V_{\text{measured}} > V_{\text{real}}

V_{\text{ideal}} = V_{\text{real}}

V_{\text{measured}} > V_{\text{ideal}}

— Me@2018-05-13 03:37:18 PM

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Why? I still do not understand.

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How come

P_{\text{measured}} = P_{\text{real}}

but

V_{\text{measured}} \ne V_{\text{real}}?

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How come

V_{\text{real}} = V_{\text{ideal}}

but

P_{\text{real}} \ne P_{\text{ideal}}?

— Me@2018-05-13 03:22:54 PM

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The above is wrong.

The “real volume” V_{\text{real}} has 2 possible different meanings.

One is “the volume occupied by a real gas”. In other words, it is the volume of the gas container.

Another is “the volume available for a real gas’ molecules to move”.

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To avoid confusion, we should define

V_{\text{real}} \equiv V_{\text{measured}}

P_{\text{real}} \equiv P_{\text{measured}}

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Or even better, avoid the terms P_{\text{real}} and V_{\text{real}} altogether. Instead, just consider the relationship between (P_{\text{ideal}}, P_{\text{measured}}) and that between (V_{\text{ideal}}, V_{\text{measured}}).

Whether X_{\text{measured}} is bigger or smaller than X_{\text{ideal}} ultimately depends on the assumptions and definitions used in the derivation of the ideal gas equation itself.

— Me@2018-05-13 04:15:34 PM

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2018.05.13 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

時空兌換率

這段改編自 2015 年的對話。

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我的相對論教授說,所謂

E = m c^2

在某些意思之下,沒有那麼特別,因為,你可以把它看成,貨幣的兌換。

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E = c^2 m

能量 =(光速二次方)\times 質量

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1 \text{USD} \approx 8 \times 1 \text{HKD}

1 美元 \approx 8 \times 1 港元

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公式中的 c^2(光速平方),角色其實正正就是,能量 E 和質量 m 之間的「貨幣兌換率」。

(而光速 c,則是時間和空間的兌換率。)

— Me@2018-05-11 09:10:00 PM

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2018.05.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Physics Question (2013 DSE MCQ29)

For convenience, I assume that the rod OP is horizontal.

1. Remember, current (positive charges) moves from high potential to low potential outside a battery, but it moves from low potential to high potential inside the battery.

2. An induced emf is a kind of battery. That is why it is called “induced emf”, not “induced potential difference”.

3. Right Hand Rule:

Motion –> downwards

B-field –> into the paper

So

current –> O to P

Then, P is at a higher potential.

4. Left Hand Rule:

Imagine you are a positive charge within the rod. The whole rod moves downloads. So you (the positive charge) move downloads.

current –> downloads

B-field –> into the paper

Therefore, you, as the positive charge, experience a force, pointing to the right. So the induced emf is pointing to the right.

Inside a battery, the direction of the emf is pointing from low potential to high potential. Thus, P is at a higher potential.

— Me@2014-03-19 01:54:04 PM

2014.04.29 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 4

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 個蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)

因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。

如果你要百分百地通透理解,這一題的運作原理,你不妨試試重組案情 —— 用最原始的方法去思考和運算,而不用排列(nPr)和組合(nCr)的公式。

7 個蘋果中選 3 出來,即是相當於有 3 個格子要填滿:

(_)(_)(_)

第一格有 7 個選擇:

(7)(_)(_)

第二格則有,餘下的 6 個可能性:

(7)(6)(_)

如此類推:

(7)(6)(5)

這代表了 7 個蘋果抽 3 個出來排隊的話,有多少個排列方法(permutation)。但是,現在重視的是組合(combination),而不是排列。亦即是話,重要的是,你究竟要在那 7 個蘋果之中,選了哪 3 個出來。至於它們 3 個之中,哪一個先被選出、哪一個後被選出,並不重要。

所以,你應該把剛才的中途答案,除以(3!),因為,被選的 3 個蘋果,內部總共有(3!)種排列方法。

3! = 6

那 6 個「排列」,都應歸類為,同一個「組合」 。

(7)(6)(5)
—————-
    (3!)

= 35

至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。

如果你任何「數學科技」也不喜歡,而想再原始一點,直情(乾脆)連「階乘公式」(n!)都不用的話,你可以自行推斷一下,已選了的那 3 個蘋果之中,內部會有多少個排列方法。

那其實就相當於,已知有 3 個人入了總決賽,爭奪冠亞季軍,然後問,總共有多少個,可能的比賽結果?

你可以這樣想,冠亞季有 3 個席位:

(_)(_)(_)

第一格有 3 個選擇:

(3)(_)(_)

第二格則有,餘下的兩個可能性:

(3)(2)(_)

如此類推:

(3)(2)(1)

所以,那 3 個蘋果的內部,總共有(3)(2)(1),即是 6 個排列方法。那 6 個排列,都應歸類為是同一個組合。

(7)(6)(5)
—————-
(3)(2)(1)

= 35

至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。

但是,而「7C2 x 5C1」則不行,等如 105,不是正確的。不信的話,你可以試試建構一下,「7C2 x 5C1」的原始式子:

(7)(6)|(5)
——— ——-
(2)(1)|(1)

  (7)(6)|(5)
= ——— ——
    (2!) |(1!)

= 105

你會發現,這式子答非所問,並不是題目描述的情況。

— Me@2014.04.21

2014.04.24 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 3

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以,而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤?)

如果要變成正確,你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3,才會得到正確答案呢?

亦即是話,在這裡,「除以 3」的實際意思,又是什麼呢?

把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」是錯誤的原因是,你暗地裡為那三個蘋果,加了一點次序。

例如,假設原本的 7 個蘋果是 A、B、C、D、E、F 和 G,而你抽到了 A、B、E 三個蘋果。在考慮 7C3 時,

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個次序,要視為一個情況,因為 7C3 的意思是「組合」,重點是你由那 7 個蘋果之中,買了哪 3 個,而不是先拿哪一個,後拿哪一個。

如果你接受不到這一點,你可以想像,現在是要由 A、B、C、D、E、F 和 G 七個人之中,抽 3 個出來,組成一隊 3 人樂隊,即是音樂組合。組成音樂組合的話,

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個選人次序,要視為一個情況,因為這 6 個次序,都代表著同一隊樂隊,都同樣是由 A、B、E 三人組成的。但是,如果你把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」,即是把「7 選 3」硬要看成「7 選完 2 後再選 1」的話,運算的結果就會變成:

AB E

BA E

AE B

EA B

BE A

EB A

意思是,

AB E

BA E

會視為同一個情況;

AE B

EA B

又會視為同一個情況;

BE A

EB A

則會視為第三個情況。但是,這 3 類情況,會視為 3 個不同的可能性。亦即是話,原本應視為同一個「組合」的 6 個「排列」,會被誤會為 3 個不同的「組合」方法。

建構樂隊時時,只要被選的是 A、B、E,哪一個是最尾被抽出來,根本不重要。但是,「7C2 x 5C1」卻偏偏重視,哪一個是最尾被抽出來。那就是為什麼,「7C3」和「7C2 x 5C1」的不同之處,在於「7C2 x 5C1」中,你暗地裡為那三個蘋果,加了一點次序。

(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)

因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。

— Me@2014.04.14

2014.04.15 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 2

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

(A:我大概明白你的解釋。但是,情感上,我仍然接受不到,「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」,的確有所不同。)

如果你堅持要把「7 選 3」,看成「7 選完 2 後再選 1」,而又要得到正確答案的話,你可以用 nPr 的方法。

「nPr」即是「n 排 r」—— 如果有 n 個物件,選 r 出來排隊,總共有多少個排列方法?

例如,由 7 個蘋果之中,選 3 個蘋果出來,總共就有 7P3,即是 210 個排法。

但是,題目要的是「組合」,不是「排列」。亦即是話,題目只重視,如果 7 個蘋果之中購買 3 個,有多少個選擇方法,而購買的次序並不重要。

換句話說,被選的 3 個蘋果的內部次序,不予考慮。所以,你應該把 7P3 除以(3!),才可以把「排列」翻譯成「組合」,得到正確的答案:

7P3/(3!)

= 210/6

= 35

這個答案,和 7C3 的結果相同。

你剛才說,你很想把「7 選 3」,看成「7 選完 2 後再選 1」。你可以這樣做:

首先,由 7 個蘋果之中,選兩個出來排隊。

7P2

然後,再由餘下的 5 個蘋果之中,選 1 個出來排隊。

(7P2)(5P1)

最後,就把次序因素刪除。

(7P2)(5P1)/(3!)

= 35

你都會得到 35。

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以,而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤?)

如果要變成正確,你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3,才會得到正確答案呢?

亦即是話,在這裡,「除以 3」的實際意思,又是什麼呢?

— Me@2014.04.05

2014.04.06 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

nCr

乘法意思 6

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

答案是 7C3(「7 選 3」),即是總共有,35 個可能的組合。

(A:那我可不可以把題目看成,分兩次抽 3 個蘋果出來?

首先,我由那 7 個蘋果中,抽兩個出來,即是 7C2。然後,我由餘下的 5 個蘋果中,再抽 1 個出來,即是 5C1。所以,答案應該可以寫成「7C2 乘以 5C1」。

但是,「7C2 x 5C1」卻是 105,不是 35 。錯在那裡呢?)

「7C3」和「7C2 x 5C1」,所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中,任意選 3 個出來,總共有多少個可能。

而「7C2 x 5C1」則是指,由一箱 7 個蘋果之中,任意選 2 個出來;然後,再由另一箱 5 個蘋果之中,抽一個出來,即是 5C1,總共有多少抽法。

留意,「7C2 x 5C1」根本不是你所指,代表「首先由 7 個蘋果中,抽兩個出來;然後,再由同一箱餘下的 5 個蘋果中,抽 1 個出來」。

(A:但是我仍然不太明白,「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」,為何有所不同。)

互相獨立的因素,才會用乘法。你記不記得,在學習「機會率」時,學過這一點?

其實,歸根究底,「互相獨立的因素,如果一併考慮,總共有多少個組合」,就是乘法的根本意思,即是定義。

例如,一個長方形的長度增減,並不會影響闊度的大小,反之亦然。所以,長方形面積等於「長乘闊」的其中一個原因是,長和闊,是互相獨立的因素。

如果你把「7C2 x 5C1」看成,「由第一箱 7 個蘋果之中,任意選兩個出來;然後,再由另外箱 5 個蘋果中,抽 1 個出來,即是 5C1,總共有多少個抽法」,那就正確,因為,你由第一箱 7 個蘋果之中,抽了哪兩個出來,並不會影響到,你由第二箱 5 個蘋果之中,抽了 1 個出來時,會抽到哪 1 個。

但是,如果你把「7C2 x 5C1」看成,「由 7 個蘋果中,抽兩個出來;然後,再由同一箱餘下的 5 個蘋果中,抽一個出來」,那就不正確,因為,這兩個步驟,並不是互相獨立。第一個步驟結果,會影響到第二個步驟的結果。

你在「由 7 個蘋果中,抽兩個出來」時,抽了哪兩個,會影響到那箱中,將會餘下哪 5 個蘋果,給你第二個步驟去選。

— Me@2014.04.01

2014.04.01 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

Indefinite and Definite Integration

這段改編自 2013 年 12 月 20 日的對話。

Q: When should I use indefinite integration and definite integration? What is their major difference?

Indefinite integration ~ Anti-differentiation

It will give you a function.

額外提示:要驗算的話,你就將你計到的答案 D 一 D(differentiate 一次),看看是否得到題目原本的式子。

Definite integration ~ finding the area under a curve

It will give you a number only, NOT a function.

額外提示:要驗算的話,因為 definite integration 只是出一個數值,你可以把原本的式子,輸入計數機,叫計數機去做 definite integration,運算那個數值給你,看看是否和你的運算結果一樣。

例如,這部機有「微積分驗算」功能:

This is a file from the Wikimedia Commons.

— Me@2014.01.24

2014.01.24 Friday (c) All rights reserved by ACHK

V 和 U 的分別

Electric Potential and Electric Potential Energy

請問 Electric Potential and Electric Potential Energy 有咩分別?怎樣分辨?

~~~~~~~~~~

簡單而言,

electric potential = electric potential energy per unit charge

V=\frac{U}{Q}

~~~~~~~~~~

詳細來說,電勢能 electric potential energy (U) 是一個 system(系統)的性質,而電勢 electric potential(V) 則是空間上某一點的性質。

例如,如果有 Q_1 和 Q_2 兩粒 charges(電荷),距離是 r 的話,這兩粒 charges 所組成的 system 就有 electric potential energy:

\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r}

由於 U 是這個 system 的性質,你並不可以問:「那樣,那些 potential energy 儲存在哪裡呢?」;因為 U 根本不是,儲存於空間上任何一點。我最多只能答,那些 electric potential energy 儲存在那個 system 之中。比喻說,你的老師讚你「聰明」。你並不可以問:「那樣,究竟我的智力,儲存在腦中的那一點?」

如果只有一粒 point charge(電荷)Q,就沒有 potential energy 可言,因為根本沒有一個 system 。但它會令到周圍形成一個 potential (V)。至於那個 potential 的數值是多少,則沒有答案,除非你指明,你是想問空間上的哪一點。

如果你想問的那一點,和 Q 位置的距離是 r,那一點(由於 Q 所做成的)potential 就是:

\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}

記住,electric potential energy (U) 是一個 system 的性質;而 electric potential (V) 則是空間上某一點的性質,不同點有不同的數值,即使對於同一粒 Q 而言。

— Me@2014.01.04

2014.01.05 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 1.2

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

(問:在運算機會率題目時,怎樣可以知道,自己的思路有沒有錯呢?)

一方面,你盡量在每一題的機會率題目,也同時使用「P 方法」和「S 方法」,互作驗算。

另一方面,在用「P 方法」時,如果面對的是稍為複雜的題目,你要重點留意的,是畫好 Tree Diagram(樹形圖)。Tree Diagram 雖然是最原始,但同時亦是最有效的,機會率思考工具。

— Me@2013.12.24

2013.12.24 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機會率驗算 1.1

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

有一個箱子,內裡有三顆骰子。三顆之中,只有一顆是「公平骰子」,有 1、2、3、4、5、6 六面。另外的兩顆,每一顆有 0、0、1、1、2、2 六面。假設對於三顆骰子中的每一顆而言,每一面出現的機會率都是六分之一。那樣,如果從那箱子中,隨機抽兩顆出來,然後再擲的話,擲到兩顆都是 2 的機會率是多少?

做機會率題目的主要難處是,好像沒有步驟可言,導致很難檢驗,自己的思考有沒有漏洞。所以,做機會率的題目時,一定要驗算。而驗算的方法就是,用兩個完全不同的方法去做。如果它們都得出同樣的答案,錯的機會就很微。對於機會率題目而言,建議同時使用「P 方法」和「S 方法」,互作校對。

「P 方法」的意思是 Probability(機會率)方法,即是將幾個 probability 分數乘在一起,從而得到最終的機會率分數。

「S 方法」的意思是 Statistics(統計學)方法,即是透過 counting(點數)去運算;由此至終,只寫一個分數 —— 將所有可能性放在分數,然後再將你想要的可能性,放在分子。

以這題為例:

~~~

P 方法:

透過 Tree Diagram(樹形圖),可以得出:

P(三顆骰抽兩顆,然後兩顆都擲到 2)

= (1/3)(1/6)(1)(1/3) + (2/3)(1/3)[(1/2)(1/6) + (1/2)(1/3)]

= …

= 2/27

~~~

S 方法:

一個大分數

= (分子)/(分母)

= 想要的可能性/所有的可能性

所有的可能性 = 三顆骰子選兩顆 x 每顆有六面 = (3C2)(6)(6) = 108

(「3C2」即是「3 選 2」;「3 選 2」有 3 個可能性。

想要的可能性 = 二粒都是 2

= 1×2 (抽到一顆骰子正常,一顆不正常)+ 1×2(抽到一顆正常,和抽到另一顆的不正常骰子)+ 2×2(兩顆骰子也不正常)

= 8

所以,

P(三顆骰抽兩顆,然後兩顆都擲到 2)

= 8/108

= 2/27

「S 方法」所得出的答案

= 2/27

= 「P 方法」所得出的答案

所以,這題機會率的運算,錯的機會就很微。

— Me@2013.12.20

2013.12.21 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

逃避問題 1.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

例如,有一隻獅子,正在追殺你。你總不能說:「千萬不要逃避問題。我一定面對問題,和獅子搏鬥一番。」

如果有獅子正在追殺你,最恰當的「面對」方法應該是,立刻逃走。

又例如,這一題微分題目,正常來說,要用 quotient rule(除法定則)才能完成。但是,quotient rule 的外表,又異常複雜。那樣,你可以考慮避開它,改為使用 product rule(乘積法則)。凡是 quotient rule 可以處理的東西,原則上,product rule 都可以處理得到。例如,你可以把

\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right)

看成

\frac{d}{dx} \left[ (\sin x) \left( \frac{1}{x} \right) \right]

但是有些時候,即使你可以逃避,都應該刻意不逃避,因為有些時候,quotient rule 雖然會複雜一點,但又的確會快過 product rule 很多。

而最理想的情況是,你兩種方法也駕馭自如,在處理同一題時,可以兩種方法也用,各自運算一次,互作驗算。

— Me@2013.12.04

2013.12.04 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

Factorial

西瓜 11

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

記住,你用 factorial(階乘)時,按照 factorial 本身的定義,你不會乘到負數。Factorial 的意思是,

n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

為什麼是這樣呢?

這個是定義。如果是「定義」的話,就沒有所謂的「對錯」。你不能問,為什麼這麼定義。你只可以問,這個定義有沒有用處,和用起來時方不方便。

正如,為什麼「爺爺」是「爸爸的爸爸」呢?

那是字眼用法問題,並沒有「定義」以外的原因。因為,每次提及「爸爸的爸爸」時,都要講五個字,十分花時間,所以,為方便起見,我們定義「爺爺」這兩個字,為「爸爸的爸爸」的簡稱。

為什麼要定義 factorial 呢?

那是因為數學家發覺,時常有這個數式出現:

n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

每次也要寫這麼長的數式,十分費時失事,有個簡稱會方便很多。

— Me@2013.10.12

2013.10.13 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

機會率一樣

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

運算機會率題目時,盡量不要用「一樣」這個字眼;盡量不要說「因為兩個情況一樣,所以你要將中途答案乘二」這類說話。

例如,問題是:

如果擲兩個錢幣,擲到一公一字(1H1T)的機會率是多少?

假設每一個錢幣都是正常的,即是擲到公字的機會均等,也是 1/2。

這題很簡單容易,所以用最原始的方法也無妨:

HH
HT
TH
TT

總共有 4 個可能的結果。根據題目的假設,它們每個的發生機會均等,都是 1/4;而中間的兩個可能,都是題目想要的結果,所以,答案是 2/4,即是 1/2。

在解釋這一點時,如果要用「一樣」這個詞語,我可以用兩個完全相反的講法。換而言之,「一樣」會造成混淆。

HH
HT <
TH <
TT

我既可以說,因為中間的兩個案例「一樣」 —— 都是「一公一字」 —— 符合題目的要求,所以兩個案例都要,導致分子是 2,答案是四分之二:

2
_

4

但是,我又可以說,因為中間的兩個案例「不一樣」 —— 一個是「第一個公、第二個字」,而另一個是「第一個字、第二個公」 —— 所以應該視為兩個案例,而不是 1 個。那樣,分子就應該是 2,而不是 1。答案是四分之二:

2
_

4

化簡後是 1/2。

— Me@2013.07.27

2013.07.27 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 3

二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事:

利用 multinomial coefficient(分組公式)時,有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,各自有 5 人,那總共有多少個可能?

答案表面上是 10_C_5,即是「10 選 5」,因為,你要考慮由那 10 人之中,選 5 人出來組成第一組樂隊,有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是,實際上,正確的運算方法,應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是,題目只要求把那 10 人分成,兩組人數相同的樂隊,而題目並沒有要求區分,哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如,

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『ACEGI』5 人出來,先組成一隊

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『BDFHJ』5 人出來,先組成一隊

」,

在這一題上文下理的要求下,應該歸納為同一個「case」(事件可能性),因為,兩者的結果都同樣是:

『ACEGI』為之一隊,而『BDFHJ』則為之另一隊。

如果題目改為:

如果有 10 個人,要抽 5 人出來,組成一隊音樂組合,那總共有多少個可能?

答案則是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,第一組有 5 人,而第二組又有 5 人,那總共有多少個可能?

答案都是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話,試一試這題:

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人,而第二輛的載客量是 5 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5,還是 10_C_5 呢?

— Me@2013.07.19

2013.07.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Multinomial coefficient 2.6

二項式係數 4.6 | Binomial coefficient 4.6

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率,或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

首先,總共有 10 個坐位,第一輛車有 4 個,而第二輛車有 6 個:

(_)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第一個人去第一輛車時,有 10 個可能的人:

(10)(_)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第一輛車時,有 9 個可能性:

(10)(9)(_)(_)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 4 人也是乘坐第一輛車,題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共有 24 個。所以,分母應該要有一個 24 的因子:

24 = 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

然後,我們考慮第二輛車。因為餘下的有 6 個人,抽第一個人去第二輛車時,就有 6 個可能的人:

(10)(9)(8)(7)|(6)(_)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

抽第二個人去第二輛車時,有 5 人可能性:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(_)(_)(_)(_)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

如此類推:

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
————————————————————-
(4)(3)(2)(1)|(_)(_)(_)(_)(_)(_)

但是,那 6 人也是去乘坐第二輛車。題目不想理會他們,被抽出來時的先後次序。而他們「被抽的次序」,總共就有 720 個。所以,分母還有一個, 720 的因子:

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

(10)(9)(8)(7)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)
———————————————————
 (4)(3)(2)(1)|(6)(5)(4)(3)(2)(1)

= 210

在連 factorial(階乘)都不懂的情況下,你就需要用到這個詳細的做法。如果你懂 factorial,即使假設還未學會 n_C_r,你仍然可以用一個,精簡一點的做法:

首先,有 10 個人 10 個位,所以總共有(10!)個排法:

(10!)
——–
(_)(_)

但是,第一輛車的那 4 人,內在次序不重要,所以,你要把那(4!)個排法「歸一」:

(10!)
——–
(4!)(_)

同理,第二輛車的那 6 人,內在次序亦不重要,所以分母再有一個(6!)的因子:

(10!)
——–
(4!)(6!)

= 210

— Me@2013.07.15

2013.07.15 Monday (c) All rights reserved by ACHK