負數無大細

Posted on May 20, 2023 by rpflee

92-CE-PHY II – 4 前傳 2

The Jacobian of the inverse of a transformation

Posted on August 9, 2018 by rpflee

The Jacobian of the inverse of a transformation is the inverse of the Jacobian of that transformation

In this post, we would like to illustrate the meaning of

the Jacobian of the inverse of a transformation = the inverse of the Jacobian of that transformation

by proving a special case.

Consider a transformation $\mathscr{T}: \bar{x}^i=\bar{x}^i (x^1,x^2)$ , which is an one-to-one mapping from unbarred $x^i$ ‘s to barred $\bar{x}^i$ coordinates, where $i=1, 2$ .

By definition, the Jacobian matrix J of $\mathscr{T}$ is

$J= \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \end{pmatrix}$

Now we consider the the inverse of the transformation $\mathscr{T}$ :

$\mathscr{T}^{-1}: x^i=x^i(\bar{x}^1,\bar{x}^2)$

By definition, the Jacobian matrix $\bar{J}$ of this inverse transformation, $\mathscr{T}^{-1}$ , is

$\bar{J}= \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}} & \displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}} & \displaystyle{\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^2}} \end{pmatrix}$

On the other hand, the inverse of Jacobian $J$ of the original transformation $\mathscr{T}$ is

$J^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{ \begin{vmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \end{vmatrix} }} \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} & \displaystyle{-\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}} \\ \displaystyle{-\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} & \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}} \end{pmatrix}$

If $\bar{J} = J^{-1}$ , their (1, 1)-elementd should be equation:

$\displaystyle{\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}}\stackrel{?}{=}\displaystyle{\frac{1}{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}}\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}-\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}} }} \bigg( \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}} \bigg)$

Let’s try to prove that.

Consider equations

$\bar{x}^1 = \bar{x}^1(x^1,x^2)$

$\bar{x}^2 = \bar{x}^2(x^1,x^2)$

Differentiate both sides of each equation with respect to $\bar{x}^1$ , we have:

$A := 1=\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial \bar{x}^1}=\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}+\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}}$

$B := 0 = \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial \bar{x}^1}=\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}+\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}}$

$A \times \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}:~~~~~C := \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}=\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}+\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}$

$B \times \displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}:~~~~~D := \displaystyle{0=\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}+\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}}$

$D-C:$

$\displaystyle{ \frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}= \bigg( \frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2} - \frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\bigg) \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}}$ ,

results

$\displaystyle{ \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1}}=\frac{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2}}}{\displaystyle{\frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^1}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^2} - \frac{\partial \bar{x}^1}{\partial x^2}\frac{\partial \bar{x}^2}{\partial x^1}}}$

…

— Me@2018-08-09 09:49:51 PM

Chain Rule of Differentiation

Posted on July 15, 2018 by rpflee

Consider the curve $y = f(x)$ .

$\displaystyle{\frac{d}{dx}}$ is an operator, meaning “the slope of the tangent of”. So the expression $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$ , meaning $\displaystyle{\frac{d}{dx} (y)}$ , is not a fraction.

In order words, it means the slope of the tangent of the curve $y = f(x)$ at a point, such as point $A$ in the graph.

d_2018_07_15__21_31_32_PM_

The symbol $dx$ has no relation with the symbol $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$ . It means $\Delta x$ as shown in the graph. In other words,

$dx = \Delta x$

The symbol $dy$ also has no relation with the symbol $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$ . It means the vertical distance between the current point $A(x_0, y_0)$ , where $y_0 = f(x_0)$ , and the point $C$ on the tangent line $y = mx + c$ , where $m$ is the slope of the tangent line. In other words,

$dy = m~dx$

$\displaystyle{dy = \left[ \left( \frac{d}{dx} \right) y \right] dx}$

The relationship of $\Delta y$ and $dy$ is that

$\displaystyle{\Delta y = \frac{dy}{dx} \Delta x + \text{higher order terms}}$

$\displaystyle{\Delta y = \frac{dy}{dx} dx + \text{higher order terms}}$

$\Delta y = dy + \text{higher order terms}$

Similarly, for functions of 2 variables:

$\displaystyle{\Delta f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + \text{higher order terms}}$

$\displaystyle{df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy}$

For functions of 3 variables:

$\displaystyle{df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz}$

$\displaystyle{\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}}$

— Me@2018-07-15 09:30:29 PM

多項選擇題 6

Posted on May 22, 2018 by rpflee

Multiple Choices 6

這段改編自 2010 年 8 月 24 日的對話。

有時，一題物理 MC（多項選擇題）會，同時有數學做法和物理做法。

那時，你就先用物理方法做一次，再用數學方法做多一次，以作驗算。

（問：哪有那麼多的時間？）

之前講過，那些做法，必須透過考試前，平日多加收集和練習而來；並不是在考試中途，才花額外時間發明。

— Me@2018-05-22 06:02:40 PM

Van der Waals equation 1.2

Posted on May 16, 2018 by rpflee

Whether $X_{\text{measured}}$ is bigger or smaller than $X_{\text{ideal}}$ ultimately depends on the assumptions and definitions used in the derivation of the ideal gas equation itself.

In the ideal gas equation derivation, the volume used in the equation refers to the volume that the gas molecules can move within. So

$V_{\text{ideal}} = V_{\text{available for a real gas' molecules to move within}}$

Then, when deriving the pressure, it is assumed that there are no intermolecular forces among gas molecules. So

$P_{\text{ideal}} = P_{\text{assuming no intermolecular forces}}$

These are the reasons that

$V_{\text{ideal}} < V_{\text{measured}}$

$P_{\text{ideal}} > P_{\text{measured}}$

—

$P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT$

$\left(P_\text{measured} + a\left(\frac{n}{V}\right)^2\right) \left(V_\text{measured}-nb\right) = nRT$

— Me@2018-05-16 07:12:51 PM

~~~

… the thing to keep in mind is that the “pressure we use in the ideal gas law” is not the pressure of the gas itself. The pressure of the gas itself is too low: to relate that pressure to “pressure for the ideal gas law” we have to add a number. While the volume occupied by the real gas is too large – the “ideal volume” is less than that. – Floris Sep 30 ’16 at 17:34

— Physics Stackexchange

Van der Waals equation 1.1

Posted on May 13, 2018 by rpflee

Why do we add, and not subtract, the correction term for pressure in [Van der Waals] equation?

Since the pressure of real gases is lesser than the pressure exerted by (imaginary) ideal gases, shouldn’t we subtract some correction term to account for the decrease in pressure?

I mean, that’s what we have done for the volume correction: Subtracted a correction term from the volume of the container V since the total volume available for movement is reduced.

asked Sep 30 ’16 at 15:20
Ram Bharadwaj

— Physics Stackexchange

Ideal gas law:

$P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT$

However, since in a real gas, there are attractions between molecules, so the measured value of pressure P is smaller than that in an ideal gas:

$P_{\text{measured}} = P_{\text{real}}$

$P_{\text{measured}} < P_{\text{ideal gas}}$

Also, since the gas molecules themselves occupy some space, the measured value of the volume V is bigger that the real gas really has:

$V_{\text{measured}} > V_{\text{real}}$

—

$P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT$

If we substitute $P_{\text{measured}}$ onto the LHS, since $P_{\text{measured}} < P_{\text{ideal}}$ , the LHS will be smaller than the RHS:

$P_{\text{measured}} V_{\text{ideal}} < nRT$

So in order to maintain the equality, a correction term to the pressure must be added:

$\left(P_\text{measured} + a\left(\frac{n}{V}\right)^2\right) V_{\text{ideal}} = nRT$

—

$P_{\text{ideal}} V_{\text{ideal}} = nRT$

If we substitute $V_{\text{measured}}$ onto the LHS, since that volume is bigger that actual volume available for the gas molecules to move, the LHS will be bigger than the RHS:

$P_{\text{ideal}} V_{\text{measured}} > nRT$

So in order to maintain the equality, a correction term to the pressure must be subtracted:

$P_{\text{ideal}} \left(V_\text{measured}-nb\right) = nRT$

In other words,

$V_{\text{measured}} > V_{\text{real}}$

$V_{\text{ideal}} = V_{\text{real}}$

$V_{\text{measured}} > V_{\text{ideal}}$

— Me@2018-05-13 03:37:18 PM

Why? I still do not understand.

How come

$P_{\text{measured}} = P_{\text{real}}$

but

$V_{\text{measured}} \ne V_{\text{real}}$ ?

How come

$V_{\text{real}} = V_{\text{ideal}}$

but

$P_{\text{real}} \ne P_{\text{ideal}}$ ?

— Me@2018-05-13 03:22:54 PM

The above is wrong.

The “real volume” $V_{\text{real}}$ has 2 possible different meanings.

One is “the volume occupied by a real gas”. In other words, it is the volume of the gas container.

Another is “the volume available for a real gas’ molecules to move”.

To avoid confusion, we should define

$V_{\text{real}} \equiv V_{\text{measured}}$

$P_{\text{real}} \equiv P_{\text{measured}}$

Or even better, avoid the terms $P_{\text{real}}$ and $V_{\text{real}}$ altogether. Instead, just consider the relationship between $(P_{\text{ideal}}, P_{\text{measured}})$ and that between $(V_{\text{ideal}}, V_{\text{measured}})$ .

Whether $X_{\text{measured}}$ is bigger or smaller than $X_{\text{ideal}}$ ultimately depends on the assumptions and definitions used in the derivation of the ideal gas equation itself.

…

— Me@2018-05-13 04:15:34 PM

時空兌換率

Posted on May 11, 2018 by rpflee

這段改編自 2015 年的對話。

我的相對論教授說，所謂

$E = m c^2$ ，

在某些意思之下，沒有那麼特別，因為，你可以把它看成，貨幣的兌換。

$E = c^2 m$

能量 =（光速二次方） $\times$ 質量

$1 \text{USD} \approx 8 \times 1 \text{HKD}$

1 美元 $\approx 8 \times$ 1 港元

公式中的 $c^2$ （光速平方），角色其實正正就是，能量 E 和質量 m 之間的「貨幣兌換率」。

（而光速 c，則是時間和空間的兌換率。）

— Me@2018-05-11 09:10:00 PM

Physics Question (2013 DSE MCQ29)

Posted on April 29, 2014 by rpflee

For convenience, I assume that the rod OP is horizontal.

1. Remember, current (positive charges) moves from high potential to low potential outside a battery, but it moves from low potential to high potential inside the battery.

2. An induced emf is a kind of battery. That is why it is called “induced emf”, not “induced potential difference”.

3. Right Hand Rule:

Motion –> downwards

B-field –> into the paper

current –> O to P

Then, P is at a higher potential.

4. Left Hand Rule:

Imagine you are a positive charge within the rod. The whole rod moves downloads. So you (the positive charge) move downloads.

current –> downloads

B-field –> into the paper

Therefore, you, as the positive charge, experience a force, pointing to the right. So the induced emf is pointing to the right.

Inside a battery, the direction of the emf is pointing from low potential to high potential. Thus, P is at a higher potential.

— Me@2014-03-19 01:54:04 PM

nCr, 4

Posted on April 24, 2014 by rpflee

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 個蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

…

總括而言，「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的，等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105，不是正確的。

…

（A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以？那不會「暗地裡加了次序」嗎？）

因為 nPr 根本不是講「組合」，而是講「排列」，本身就要重視次序。

如果你要百分百地通透理解，這一題的運作原理，你不妨試試重組案情 —— 用最原始的方法去思考和運算，而不用排列（nPr）和組合（nCr）的公式。

7 個蘋果中選 3 出來，即是相當於有 3 個格子要填滿：

（＿）（＿）（＿）

第一格有 7 個選擇：

（7）（＿）（＿）

第二格則有，餘下的 6 個可能性：

（7）（6）（＿）

如此類推：

（7）（6）（5）

這代表了 7 個蘋果抽 3 個出來排隊的話，有多少個排列方法（permutation）。但是，現在重視的是組合（combination），而不是排列。亦即是話，重要的是，你究竟要在那 7 個蘋果之中，選了哪 3 個出來。至於它們 3 個之中，哪一個先被選出、哪一個後被選出，並不重要。

所以，你應該把剛才的中途答案，除以（3!），因為，被選的 3 個蘋果，內部總共有（3!）種排列方法。

3! = 6

那 6 個「排列」，都應歸類為，同一個「組合」。

（7）（6）（5）
—————-
（3!）

= 35

至於你把這「原始式子」，看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」，還是「7C3」，則沒有所謂，因為，你把它們之中的任何一個拆開，都同樣會得到這「原始式子」。

如果你任何「數學科技」也不喜歡，而想再原始一點，直情（乾脆）連「階乘公式」（n!）都不用的話，你可以自行推斷一下，已選了的那 3 個蘋果之中，內部會有多少個排列方法。

那其實就相當於，已知有 3 個人入了總決賽，爭奪冠亞季軍，然後問，總共有多少個，可能的比賽結果？

你可以這樣想，冠亞季有 3 個席位：

（＿）（＿）（＿）

第一格有 3 個選擇：

（3）（＿）（＿）

第二格則有，餘下的兩個可能性：

（3）（2）（＿）

如此類推：

（3）（2）（1）

所以，那 3 個蘋果的內部，總共有（3）（2）（1），即是 6 個排列方法。那 6 個排列，都應歸類為是同一個組合。

（7）（6）（5）
—————-
（3）（2）（1）

= 35

但是，而「7C2 x 5C1」則不行，等如 105，不是正確的。不信的話，你可以試試建構一下，「7C2 x 5C1」的原始式子：

（7）（6）|（5）
——— ——-
（2）（1）|（1）

（7）（6）|（5）
= ——— ——
（2!） |（1!）

= 105

你會發現，這式子答非所問，並不是題目描述的情況。

— Me@2014.04.21

nCr, 3

Posted on April 15, 2014 by rpflee

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

…

總括而言，「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的，等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105，不是正確的。

（A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以，而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤？）

如果要變成正確，你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3，才會得到正確答案呢？

亦即是話，在這裡，「除以 3」的實際意思，又是什麼呢？

把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」是錯誤的原因是，你暗地裡為那三個蘋果，加了一點次序。

例如，假設原本的 7 個蘋果是 A、B、C、D、E、F 和 G，而你抽到了 A、B、E 三個蘋果。在考慮 7C3 時，

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個次序，要視為一個情況，因為 7C3 的意思是「組合」，重點是你由那 7 個蘋果之中，買了哪 3 個，而不是先拿哪一個，後拿哪一個。

如果你接受不到這一點，你可以想像，現在是要由 A、B、C、D、E、F 和 G 七個人之中，抽 3 個出來，組成一隊 3 人樂隊，即是音樂組合。組成音樂組合的話，

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個選人次序，要視為一個情況，因為這 6 個次序，都代表著同一隊樂隊，都同樣是由 A、B、E 三人組成的。但是，如果你把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」，即是把「7 選 3」硬要看成「7 選完 2 後再選 1」的話，運算的結果就會變成：

AB　E

BA　E

AE　B

EA　B

BE　A

EB　A

意思是，

AB　E

BA　E

會視為同一個情況；

AE　B

EA　B

又會視為同一個情況；

BE　A

EB　A

則會視為第三個情況。但是，這 3 類情況，會視為 3 個不同的可能性。亦即是話，原本應視為同一個「組合」的 6 個「排列」，會被誤會為 3 個不同的「組合」方法。

建構樂隊時時，只要被選的是 A、B、E，哪一個是最尾被抽出來，根本不重要。但是，「7C2 x 5C1」卻偏偏重視，哪一個是最尾被抽出來。那就是為什麼，「7C3」和「7C2 x 5C1」的不同之處，在於「7C2 x 5C1」中，你暗地裡為那三個蘋果，加了一點次序。

（A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以？那不會「暗地裡加了次序」嗎？）

因為 nPr 根本不是講「組合」，而是講「排列」，本身就要重視次序。

— Me@2014.04.14

nCr, 2

Posted on April 6, 2014 by rpflee

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

…

（A：我大概明白你的解釋。但是，情感上，我仍然接受不到，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，的確有所不同。）

如果你堅持要把「7 選 3」，看成「7 選完 2 後再選 1」，而又要得到正確答案的話，你可以用 nPr 的方法。

「nPr」即是「n 排 r」—— 如果有 n 個物件，選 r 出來排隊，總共有多少個排列方法？

例如，由 7 個蘋果之中，選 3 個蘋果出來，總共就有 7P3，即是 210 個排法。

但是，題目要的是「組合」，不是「排列」。亦即是話，題目只重視，如果 7 個蘋果之中購買 3 個，有多少個選擇方法，而購買的次序並不重要。

換句話說，被選的 3 個蘋果的內部次序，不予考慮。所以，你應該把 7P3 除以(3!)，才可以把「排列」翻譯成「組合」，得到正確的答案：

7P3/(3!)

= 210/6

= 35

這個答案，和 7C3 的結果相同。

你剛才說，你很想把「7 選 3」，看成「7 選完 2 後再選 1」。你可以這樣做：

首先，由 7 個蘋果之中，選兩個出來排隊。

7P2

然後，再由餘下的 5 個蘋果之中，選 1 個出來排隊。

(7P2)(5P1)

最後，就把次序因素刪除。

(7P2)(5P1)/(3!)

= 35

你都會得到 35。

總括而言，「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的，等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105，不是正確的。

（A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以，而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤？）

如果要變成正確，你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3，才會得到正確答案呢？

亦即是話，在這裡，「除以 3」的實際意思，又是什麼呢？

— Me@2014.04.05

nCr

Posted on April 1, 2014 by rpflee

乘法意思 6

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

答案是 7C3（「7 選 3」），即是總共有，35 個可能的組合。

（A：那我可不可以把題目看成，分兩次抽 3 個蘋果出來？

首先，我由那 7 個蘋果中，抽兩個出來，即是 7C2。然後，我由餘下的 5 個蘋果中，再抽 1 個出來，即是 5C1。所以，答案應該可以寫成「7C2 乘以 5C1」。

但是，「7C2 x 5C1」卻是 105，不是 35 。錯在那裡呢？）

「7C3」和「7C2 x 5C1」，所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中，任意選 3 個出來，總共有多少個可能。

而「7C2 x 5C1」則是指，由一箱 7 個蘋果之中，任意選 2 個出來；然後，再由另一箱 5 個蘋果之中，抽一個出來，即是 5C1，總共有多少抽法。

留意，「7C2 x 5C1」根本不是你所指，代表「首先由 7 個蘋果中，抽兩個出來；然後，再由同一箱餘下的 5 個蘋果中，抽 1 個出來」。

（A：但是我仍然不太明白，「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」，為何有所不同。）

互相獨立的因素，才會用乘法。你記不記得，在學習「機會率」時，學過這一點？

其實，歸根究底，「互相獨立的因素，如果一併考慮，總共有多少個組合」，就是乘法的根本意思，即是定義。

例如，一個長方形的長度增減，並不會影響闊度的大小，反之亦然。所以，長方形面積等於「長乘闊」的其中一個原因是，長和闊，是互相獨立的因素。

如果你把「7C2 x 5C1」看成，「由第一箱 7 個蘋果之中，任意選兩個出來；然後，再由另外箱 5 個蘋果中，抽 1 個出來，即是 5C1，總共有多少個抽法」，那就正確，因為，你由第一箱 7 個蘋果之中，抽了哪兩個出來，並不會影響到，你由第二箱 5 個蘋果之中，抽了 1 個出來時，會抽到哪 1 個。

但是，如果你把「7C2 x 5C1」看成，「由 7 個蘋果中，抽兩個出來；然後，再由同一箱餘下的 5 個蘋果中，抽一個出來」，那就不正確，因為，這兩個步驟，並不是互相獨立。第一個步驟結果，會影響到第二個步驟的結果。

你在「由 7 個蘋果中，抽兩個出來」時，抽了哪兩個，會影響到那箱中，將會餘下哪 5 個蘋果，給你第二個步驟去選。

— Me@2014.04.01

Indefinite and Definite Integration

Posted on January 24, 2014 by rpflee

這段改編自 2013 年 12 月 20 日的對話。

Q: When should I use indefinite integration and definite integration? What is their major difference?

Indefinite integration ~ Anti-differentiation

It will give you a function.

額外提示：要驗算的話，你就將你計到的答案 D 一 D（differentiate 一次），看看是否得到題目原本的式子。

Definite integration ~ finding the area under a curve

It will give you a number only, NOT a function.

額外提示：要驗算的話，因為 definite integration 只是出一個數值，你可以把原本的式子，輸入計數機，叫計數機去做 definite integration，運算那個數值給你，看看是否和你的運算結果一樣。

例如，這部機有「微積分驗算」功能：

This is a file from the Wikimedia Commons.

— Me@2014.01.24

Independent vs Mutually Exclusive, 2

Posted on January 6, 2014 by rpflee

Tree diagram 4

Mutual exclusive events are corresponding to two separate branches of the same tree diagram.

Independent events are corresponding to two independent tree diagrams.

— Me@2014-01-01 6:27 PM

V 和 U 的分別

Posted on January 5, 2014 by rpflee

Electric Potential and Electric Potential Energy

請問 Electric Potential and Electric Potential Energy 有咩分別？怎樣分辨？

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簡單而言，

electric potential = electric potential energy per unit charge

$V=\frac{U}{Q}$

V=\frac{U}{Q}

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詳細來說，電勢能 electric potential energy (U) 是一個 system（系統）的性質，而電勢 electric potential(V) 則是空間上某一點的性質。

例如，如果有 Q_1 和 Q_2 兩粒 charges（電荷），距離是 r 的話，這兩粒 charges 所組成的 system 就有 electric potential energy：

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r}$

\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r}

由於 U 是這個 system 的性質，你並不可以問：「那樣，那些 potential energy 儲存在哪裡呢？」；因為 U 根本不是，儲存於空間上任何一點。我最多只能答，那些 electric potential energy 儲存在那個 system 之中。比喻說，你的老師讚你「聰明」。你並不可以問：「那樣，究竟我的智力，儲存在腦中的那一點？」

如果只有一粒 point charge（電荷）Q，就沒有 potential energy 可言，因為根本沒有一個 system 。但它會令到周圍形成一個 potential (V)。至於那個 potential 的數值是多少，則沒有答案，除非你指明，你是想問空間上的哪一點。

如果你想問的那一點，和 Q 位置的距離是 r，那一點（由於 Q 所做成的）potential 就是：

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}$

\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}

記住，electric potential energy (U) 是一個 system 的性質；而 electric potential (V) 則是空間上某一點的性質，不同點有不同的數值，即使對於同一粒 Q 而言。

— Me@2014.01.04

機會率驗算 1.2

Posted on December 24, 2013 by rpflee

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

（問：在運算機會率題目時，怎樣可以知道，自己的思路有沒有錯呢？）

一方面，你盡量在每一題的機會率題目，也同時使用「P 方法」和「S 方法」，互作驗算。

另一方面，在用「P 方法」時，如果面對的是稍為複雜的題目，你要重點留意的，是畫好 Tree Diagram（樹形圖）。Tree Diagram 雖然是最原始，但同時亦是最有效的，機會率思考工具。

— Me@2013.12.24

機會率驗算 1.1

Posted on December 21, 2013 by rpflee

這段改編自 2013 年 12 月 16 日的對話。

有一個箱子，內裡有三顆骰子。三顆之中，只有一顆是「公平骰子」，有 1、2、3、4、5、6 六面。另外的兩顆，每一顆有 0、0、1、1、2、2 六面。假設對於三顆骰子中的每一顆而言，每一面出現的機會率都是六分之一。那樣，如果從那箱子中，隨機抽兩顆出來，然後再擲的話，擲到兩顆都是 2 的機會率是多少？

做機會率題目的主要難處是，好像沒有步驟可言，導致很難檢驗，自己的思考有沒有漏洞。所以，做機會率的題目時，一定要驗算。而驗算的方法就是，用兩個完全不同的方法去做。如果它們都得出同樣的答案，錯的機會就很微。對於機會率題目而言，建議同時使用「P 方法」和「S 方法」，互作校對。

「P 方法」的意思是 Probability（機會率）方法，即是將幾個 probability 分數乘在一起，從而得到最終的機會率分數。

「S 方法」的意思是 Statistics（統計學）方法，即是透過 counting（點數）去運算；由此至終，只寫一個分數 —— 將所有可能性放在分數，然後再將你想要的可能性，放在分子。

以這題為例：

~~~

P 方法：

透過 Tree Diagram（樹形圖），可以得出：

P（三顆骰抽兩顆，然後兩顆都擲到 2）

= (1/3)(1/6)(1)(1/3) + (2/3)(1/3)[(1/2)(1/6) + (1/2)(1/3)]

= …

= 2/27

~~~

S 方法：

一個大分數

= (分子)/(分母)

= 想要的可能性/所有的可能性

所有的可能性 = 三顆骰子選兩顆 x 每顆有六面 = (3C2)(6)(6) = 108

（「3C2」即是「3 選 2」；「3 選 2」有 3 個可能性。

$C_2^3 = 3$ ）

想要的可能性 = 二粒都是 2

= 1×2 （抽到一顆骰子正常，一顆不正常）+ 1×2（抽到一顆正常，和抽到另一顆的不正常骰子）+ 2×2（兩顆骰子也不正常）

= 8

所以，

P（三顆骰抽兩顆，然後兩顆都擲到 2）

= 8/108

= 2/27

「S 方法」所得出的答案

= 2/27

= 「P 方法」所得出的答案

所以，這題機會率的運算，錯的機會就很微。

— Me@2013.12.20

逃避問題 1.2

Posted on December 4, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

例如，有一隻獅子，正在追殺你。你總不能說：「千萬不要逃避問題。我一定面對問題，和獅子搏鬥一番。」

如果有獅子正在追殺你，最恰當的「面對」方法應該是，立刻逃走。

又例如，這一題微分題目，正常來說，要用 quotient rule（除法定則）才能完成。但是，quotient rule 的外表，又異常複雜。那樣，你可以考慮避開它，改為使用 product rule（乘積法則）。凡是 quotient rule 可以處理的東西，原則上，product rule 都可以處理得到。例如，你可以把

$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right)$

\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right)

看成

$\frac{d}{dx} \left[ (\sin x) \left( \frac{1}{x} \right) \right]$

\frac{d}{dx} \left[ (\sin x) \left( \frac{1}{x} \right) \right]

。

但是有些時候，即使你可以逃避，都應該刻意不逃避，因為有些時候，quotient rule 雖然會複雜一點，但又的確會快過 product rule 很多。

而最理想的情況是，你兩種方法也駕馭自如，在處理同一題時，可以兩種方法也用，各自運算一次，互作驗算。

— Me@2013.12.04

Factorial

Posted on October 13, 2013 by rpflee

西瓜 11

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

…

記住，你用 factorial（階乘）時，按照 factorial 本身的定義，你不會乘到負數。Factorial 的意思是，

n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

為什麼是這樣呢？

這個是定義。如果是「定義」的話，就沒有所謂的「對錯」。你不能問，為什麼這麼定義。你只可以問，這個定義有沒有用處，和用起來時方不方便。

正如，為什麼「爺爺」是「爸爸的爸爸」呢？

那是字眼用法問題，並沒有「定義」以外的原因。因為，每次提及「爸爸的爸爸」時，都要講五個字，十分花時間，所以，為方便起見，我們定義「爺爺」這兩個字，為「爸爸的爸爸」的簡稱。

為什麼要定義 factorial 呢？

那是因為數學家發覺，時常有這個數式出現：

n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

每次也要寫這麼長的數式，十分費時失事，有個簡稱會方便很多。

— Me@2013.10.12

Distance vs Displacement

Posted on October 3, 2013 by rpflee

distance = length of the path travelled

displacement = change of position

Distance is about the input; displacement is about the output.

— Me@2013-10-03 11:03 AM

Price is what you pay; value is what you get.

— Ben Graham

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