The problem of induction 3.2

The meaning of induction is that

we regard, for example, that

“AAAAA –> the sixth is also A”

is more likely than

“AA –> the second is also A”

 

We use induction to find “patterns”. However, the induced results might not be true. Then, why do we use induction at all?

There is everything to win but nothing to lose.

— Hans Reichenbach

If the universe has some patterns, we can use induction to find those patterns.

But if the universe has no patterns at all, then we cannot use any methods, induction or else, to find any patterns.

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However, to find patterns, besides induction, what are the other methods?

What is meaning of “pattern-finding methods other than induction”?

— Me@2012.11.05

— Me@2018.12.10

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2018.12.10 Monday (c) All rights reserved by ACHK

The problem of induction 3

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In a sense (of the word “pattern”), there is always a pattern.

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Where if there are no patterns, everything is random?

Then we have a meta-pattern; we can use probability laws:

In that case, every (microscopic) case is equally probable. Then by counting the possible number of microstates of each macrostate, we can deduce that which macrostate is the most probable.

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Where if not all microstates are equally probable?

Then it has patterns directly.

For example, we can deduce that which microstate is the most probable.

— Me@2012.11.05

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2018.11.19 Monday (c) All rights reserved by ACHK

defmacro, 2

Defining the defmacro function using only LISP primitives?

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McCarthy’s Elementary S-functions and predicates were

atom, eq, car, cdr, cons

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He then went on to add to his basic notation, to enable writing what he called S-functions:

quote, cond, lambda, label

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On that basis, we’ll call these “the LISP primitives”…

How would you define the defmacro function using only these primitives in the LISP of your choice?

edited Aug 21 ’10 at 2:47
Isaac

asked Aug 21 ’10 at 2:02
hawkeye

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Every macro in Lisp is just a symbol bound to a lambda with a little flag set somewhere, somehow, that eval checks and that, if set, causes eval to call the lambda at macro expansion time and substitute the form with its return value. If you look at the defmacro macro itself, you can see that all it’s doing is rearranging things so you get a def of a var to have a fn as its value, and then a call to .setMacro on that var, just like core.clj is doing on defmacro itself, manually, since it doesn’t have defmacro to use to define defmacro yet.

– dreish Aug 22 ’10 at 1:40

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2018.11.17 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

defmacro

SLIME, 2

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Alt + Up/Down

Switch between the editor and the REPL

— Me@2018-11-07 05:57:54 AM

~~~

defmacro

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(defmacro our-expander (name) `(get ,name 'expander))

(defmacro our-defmacro (name parms &body body)
  (let ((g (gensym)))
    `(progn
       (setf (our-expander ',name)
	     #'(lambda (,g)
		 (block ,name
		   (destructuring-bind ,parms (cdr ,g)
		     ,@body))))
       ',name)))

(defun our-macroexpand-1 (expr)
  (if (and (consp expr) (our-expander (car expr)))
      (funcall (our-expander (car expr)) expr)
      expr))

.

A formal description of what macros do would be long and confusing. Experienced programmers do not carry such a description in their heads anyway. It’s more convenient to remember what defmacro does by imagining how it would be defined.

The definition in Figure 7.6 gives a fairly accurate impression of what macros do, but like any sketch it is incomplete. It wouldn’t handle the &whole keyword properly. And what defmacro really stores as the macro-function of its first argument is a function of two arguments: the macro call, and the lexical environment in which it occurs.

— p.95

— A MODEL OF MACROS

— On Lisp

— Paul Graham

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(our-defmacro sq (x)
  `(* ,x ,x))

After using our-defmacro to define the macro sq, if we use it directly,


(sq 2)

we will get an error.

The function COMMON-LISP-USER::SQ is undefined.
[Condition of type UNDEFINED-FUNCTION]

Instead, we should use (eval (our-macroexpand-1 ':


(eval (our-macroexpand-1 '(sq 2)))

— Me@2018-11-07 02:12:47 PM

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2018.11.07 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

Existence and Description

Bertrand Russell, “Existence and Description”

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§1 General Propositions and Existence

“Now when you come to ask what really is asserted in a general proposition, such as ‘All Greeks are men’ for instance, you find that what is asserted is the truth of all values of what I call a propositional function. A propositional function is simply any expression containing an undetermined constituent, or several undetermined constituents, and becoming a proposition as soon as the undetermined constituents are determined.” (24a)

“Much false philosophy has arisen out of confusing propositional functions and propositions.” (24b)

A propositional function can be necessary (when it is always true), possible (when it is sometimes true), and impossible (when it is never true).

“Propositions can only be true or false, but propositional functions have these three possibilities.” (24b)

“When you take any propositional function and assert of it that it is possible, that it is sometimes true, that gives you the fundamental meaning ‘existence’…. Existence is essentially a property of a propositional function. It means that the propositional function is true in at least one instance.” (25a)

— Brandon C. Look

— University Research Professor and Chair

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2018.10.07 Sunday ACHK

Simpson’s paradox

d_2018_10_06__21_40_12_PM_

Simpson’s paradox, or the Yule–Simpson effect, is a phenomenon in probability and statistics, in which a trend appears in several different groups of data but disappears or reverses when these groups are combined.

— Wikipedia on Simpson’s paradox

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d_2018_10_05__19_25_22_PM_

— MinutePhysics

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2018.10.06 Saturday ACHK

神的旨意 2.4

魔:為什麼「全能」者不可「全惡」?

甲:你如果是「全能」,就毋須問我這個問題。

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如果你是「全惡」,你的構成部分,就不能相處。而「你」,作為一個整體,並不會存在;必須散落成一大堆,獨立的部分而存在。而各個分部,各自內裡必有善部,才可能凝聚,不再分裂。

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魔:即使我不是「全惡」;即使我有所謂「善部」,你難保我「惡部」的法力,大於「善部」?

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甲:

第一,即使假設是那樣,那也沒有大意義,因為,你總不能完全忽略,你善部的旨意。

如果你的惡部,完全不理善部地作惡,那就即是,你的善部名存實亡。沒有善部,「你」必會分裂。

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第二,除了你存在以外,我也存在;其他生命體也存在。

善的會合作,那是定義。善的會合作,去抵擋你的惡。

雖然,惡部有「破壞容易過建設」的優勢,但是,善部也可以應用「破壞容易過建設」,去破壞惡部的破壞計劃 。

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第三,惡人自有惡人磨:

相似的人,因為各種原因,傾向身處相近的地方,簡稱「物以類聚」。

壞人的身邊,通常是其他壞人。壞人最怕的,往往是其他壞人。

最終對付你的人,是你自己。最終對付你惡部的人,是你自己的惡部。

— Me@2018-09-02 03:05:45 PM

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2018.09.02 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

The Sixth Sense, 3

Mirror selves, 2 | Anatta 3.2 | 無我 3.2

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You cannot feel your own existence or non-existence. You can feel the existence or non-existence of (such as) your hair, your hands, etc.

But you cannot feel the existence or non-existence of _you_.

— Me@2018-03-17 5:12 PM

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Only OTHER people or beings can feel your existence or non-existence.

— Me@2018-04-30 11:29:08 AM

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2018.04.30 Monday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.10

所以,「機遇再生論」的兩大假設的第一個——宇宙永在,並非必為正確(,除非你還有,額外的理據)。

「機遇再生論」有兩大(潛)假設:

1. 宇宙,有無限長的未來。

(這對應於撲克比喻中,「可以洗牌無限次」的假設。)

2. 宇宙中的粒子數目有限;而它們的組合及排列數目,都是有限的。

(這對應於撲克比喻中,「只有 52 隻牌」和「只有有限個排列」(52! \approx 8.07 \times 10^{67})的假設。)

「機遇再生論」的第二個假設,同第一個假設一樣,都是疑點重重。

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第一,宇宙的粒子總數,並不是常數。

「狹義相對論」加「量子力學」,等於「量子場論」。如果「量子場論」是正確的,真空中不斷有粒子生滅。

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第二,即使假設,宇宙的粒子總數不變,隨著宇宙的膨脹,粒子可能狀態的數目,不斷變大。

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第三,即使假設,字宙的體積固定,粒子數目有限,而又毋須考慮「量子力學」;粒子可能狀態數目,都可能不是有限的。

例如,即使只有一粒粒子,在一個邊長為一米的正立方體盒子之內,而宇宙只有那個盒子,沒有其他空間;

即使只考慮該粒子的位置,仍然有無限個可能態,因為,它可能在距離牆邊 0.1 米處、0.11 米處、0.111 米處,等等。

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(問:空間未必可以,無限分割。 假設空間可以無限分割,會導致「芝諾悖論」(Zeno’s paradoxes)。)

無錯。如果空間有最小的單位,不可無限無割,粒子在有限大空間中,可能位置的數目,則是有限。

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第四,即使假設,字宙的體積固定,粒子數目有限,粒子可能狀態數目,都不是有限的。

宇宙最根本的物理定律,必須跟隨量子力學架構,經典物理定律只是,有時適用的近似。

(這裡,「經典」的意思,並不是「歷史悠久」,而是「非量子」。「經典物理」即是「不是建基於量子力學架構的,物理定律」,例如牛頓力學。)

如果你沒有忽略考慮,粒子的量子疊加態的話,你會發現,例如,即使只有一粒粒子,在一個邊長為一米的正立方體盒子之內,而宇宙只有那個盒子,沒有其他空間;

即使只考慮該粒子的位置,該粒子(宇宙)很可能地,有無限個態。

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由於「機遇再生論」的兩大假設,都是「有待論證」,看來,想要靠「機遇再生論」來重生的話,有點難度。

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究竟,有沒有其他方法,可以保存自己,擇日歸來呢?

— Me@2015.04.08

— Me@2017-12-09

— Me@2018-04-28

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2018.04.28 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.9.2

但是,未來時間是否無限長?

或者說,宇宙的壽命,是否無限呢?

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可以參考的數據有:

宇宙現在的年齡,大概是只有十三億年(13.799 \times 10^9) 。

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(問:那和宇宙壽命有無限,沒有直接關係。)

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無錯。但那可以凸顯 10^{10^{50}} 是多麼的大。

10^{10^{50}} 大概是,宇宙現時年齡的10^{10^{50} - 10} 倍。

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另外,即使假設了宇宙本身是,永在不滅的,你仍然可追問,物質粒子的壽命,又是否無限呢?

暫時,物理學家仍不知道,質子的壽命是否有限。

他們根據一些理論運算和實驗結果,估計質子壽命,大概有 10^{29}10^{36} 年。但那仍然小於 10^{10^{50}} 很多很多。

10^{36} \ll 10^{10^{50}}

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(問:「宇宙」這個詞語的定義是「一切」。我們現時以為的「宇宙」,未必是真正的「宇宙」,因為,我們已知的「一切」,並非必定是,真正的「一切」。真正的「宇宙」,真正的「一切」,應連未知的部分,也包括在內。

所以,可能,真正宇宙的年齡,遠大於十三億年;可能,「10^{10^{50}} 年」對於真正宇宙來說,仍然是微不足道。)

無錯。未知永比已知多。而正正是這個理由,你既不可以假設,宇宙保證永在,亦不可以假設,宇宙必定有盡。

所以,「機遇再生論」的兩大假設的第一個——宇宙永在,並非必為正確(,除非你還有,額外的理據)。

「機遇再生論」有兩大(潛)假設:

1. 宇宙,有無限長的未來。

(這對應於撲克比喻中,「可以洗牌無限次」的假設。)

2. 宇宙中的粒子數目有限;而它們的組合及排列數目,都是有限的。

(這對應於撲克比喻中,「只有 52 隻牌」和「只有有限個排列」(52! \approx 8.07 \times 10^{67})的假設。)

「機遇再生論」的第二個假設,同第一個假設一樣,都是疑點重重。

— Me@2018-04-22 02:48:21 PM

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2018.04.22 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.9.1

當然,洗牌只是比喻。而這個比喻,想帶出的理論是,宇宙的任何狀態,都可以看成眾多粒子的不同組合排列。

任何一個組合排列 A,假設有極長的時間,去作極多次的變動,只要那「極多次」足夠多,相對於現在的你而言,那「極多次」之中,「至少有一次回到排列 A」 的機會率,會極度高。

而你的存在,則只是宇宙的其中一個狀態。

縱使人必有一死,如果在你終後,宇宙還有極長的時間,(相對於現在的你,或者另外指定不變的某一刻而言),你會再生重來的機會率,會極度接近,百分之一百。

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「機遇再生論」在同情地理解下,可以有這個意思。

但是,「機遇再生論」在這個意思下,正不正確,則是另一個問題。

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這個比喻,又正不正確呢?

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物理學中,有一個與「機遇再生論」,極度相似的運算,叫做 Boltzmann brain(波茲曼大腦)。

詳細不說,結論則是:

由現在開始,等待粒子不斷的隨機變化、排列和組合等,直到有一個有自我意識的腦袋(例如你)存在,(根據「波茲曼大腦」運算的其中一個版本,)

平均要等 10^{10^{50}} 年。

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這個數(10^{10^{50}})有多大?

這個時段(10^{10^{50}} 年)又有多長呢?

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首先,你要明白,{10^{50}} 是十的五十次方,即是 1 之後有五十個零:

1 \overbrace{ 000 ... 0 }^{50}

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然後,你亦要知道,10^{10^{50}} 是十的 {10^{50}} 次方,代表 1 之後有 {10^{50}} 個零:

1 \overbrace{ 000 ... 0 }^{10^{50}}

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還有,這只是「直到有__一個有自我意識的腦袋存在」,所需之等待時間長度而已。如果要「直到有__存在」,所需之等待時間,則會更長。

要靠「機會再生論」或者「波茲曼大腦」,這個「方法」來重生的話,看來不太可行。

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(問:為什麼呢?

10^{10^{50}} 仍然小於無限呀!

10^{10^{50}} < \infty)

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但是,未來時間是否無限長?

或者說,宇宙的壽命,是否無限呢?

— Me@2018-04-13 12:12:46 PM

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2018.04.13 Friday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.8

如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現,然後問:

現在開始,再洗多一千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案仍然會是

P(A_{10,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-61}

但是,如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現時,問_另一個_問題的話,答案就會截然不同:

剛才,我洗了一千萬之牌,仍然回不到 A。

我決定,現在開始再洗牌,多不只一千萬次,而是二千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_{20,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-54}

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(問:那我不需要在「洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現時」,才問_另一個_問題,因為,事先透過運算,就已經知道,那機會十分之微。

反而,我可以索性一開始,在一次牌都未洗的時候就問:

我決定,現在開始洗牌二千萬次,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

」)

無錯。機會再生論,在同情地理解的情況下,就正正是這個意思:

如果你在現在,一次牌都未洗時,打算將會洗牌的次數越多,相對於現在的你而言,至少一次洗到原本排列 A 的機會率,就會越高。

例如,你會發現,如果在一次牌都未洗的時候問:

洗牌 10,000,000^{10} 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是非常接近一:

P(A_{10,000,000^{10}}) = 0.9999999...

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(問:為什麼要「相對於現在的你而言」?)

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因為,當你洗完一次牌,知道結果後,由於你掌握的資料已經不同,對應的機會率,亦會不同。

在洗了一次牌後,如果已知結果不是排列 A,餘下的洗牌次數中,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率,再不是

P(A_{10,000,000^{10}}) 了,

而是

P(A_{10,000,000^{10} - 1})

如果不清楚這一點,就會引起剛才的誤會:

(問:你的意思是,即使我洗了(例如)一千萬牌,仍然得不回原本的排列 A,只要我洗多一千萬次,得回 A 的機會,就會大一點?)

不是。

正正是為了避免這個誤會,…

所以,千萬不要說:

只要不斷洗牌,回到原本排列 A 的機會,就會越來越高。

那是__的!

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機會再生論,在同情地理解的情況下,正確的意思是:

如果你在現在,一次牌都未洗時,打算將會洗牌的次數越多,相對於現在的你而言,至少有一次洗到原本排列 A 的機會率,就會越高。

.

當然,洗牌只是比喻。而這個比喻,想帶出的理論是,宇宙的任何狀態,都可以看成眾多粒子的不同組合排列。

任何一個組合排列 A,假設有極長的時間,去作極多次的變動,只要那「極多次」足夠多,相對於現在的你而言,那「極多次」之中,「至少有一次回到排列 A」 的機會率,會極度高。

而你的存在,則只是宇宙的其中一個狀態。

縱使人必有一死,如果在你終後,宇宙還有極長的時間,(相對於現在的你,或者另外指定不變的某一刻而言),你會再生重來的機會率,會極度接近,百分之一百。

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「機遇再生論」在同情地理解下,可以有這個意思。

但是,「機遇再生論」在這個意思下,正不正確,則是另一個問題。

— Me@2018-03-20 02:26:35 PM

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2018.03.20 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇再生論 1.7

同理,在一次牌都未洗的時候,問:

如果洗牌 m 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_m)= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m

留意,N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67},非常之大,導致 (1 - \frac{1}{N}) 極端接近 1。在一般情況,m 的數值還是正常時, P(A_m) 會仍然極端接近 0。

例如,你將會連續洗一千萬次牌(m = 10,000,000),起碼有一次,回到原本排列 A 的機會是:

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000}

你用一般手提計算機的話,它會給你 0。你用電腦的話,它會給你

1.239799930857148592 \times 10^{-61}

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但是,你亦毋須完全悲觀,因為只要再留意,你亦會發現,只要 m 越大,P(A_m) 的數值,都會越大。

亦即是話,例如,

「(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 二千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率」

會大過

「(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 一千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率」。

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那樣,如果有無限的時間,容許不停地洗牌,只要在一次牌都未洗的時候,問機會率 P(A_m) 時,把將會洗牌的次數 m 加大某個程度,P(A_m) 就有可能遠離零而接近一。

例如,如果設定次數 m 為一千萬的兩倍,你會發現

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000 \times 2}
\approx 2.479599861714297185 \times 10^{-61},

大過原本的數值 1.239799930857148592 \times 10^{-61};但是,那仍然是很小。

那樣,你就將 m 設為更大的數值,例如一千萬的一千萬倍(10,000,000 \times 10,000,000):

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000 \times 10,000,000}
\approx 1.2397999308571485923950342 \times 10^{-54}

雖然 P(A_m) 大了約一千萬倍之多,但是,結果的數值依然是很小。

但是,你也不用完全氣餒,因為,你可以不斷再試,越來越大的 m 數值。再例如,你可以試,一千萬的三次方、一千萬的四次方、一千萬的五次方等,如此類推。

m = 10,000,000^3, P(A_m) = 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000^3} \approx 1.2398 \times 10^{-47}

m = 10,000,000^4, P(A_m) \approx 1.2398 \times 10^{-40}

m = 10,000,000^8, P(A_m) \approx 1.2398 \times 10^{-12}

m = 10,000,000^9, P(A_m) \approx 0.000012398

m = 10,000,000^{10}, P(A_m) = 0.9999999...

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你會發現,如果在一次牌都未洗的時候問:

洗牌 10,000,000^{10} 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是非常接近一:

P(A_{10,000,000^{10}}) = 0.9999999...

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(問:你的意思是,即使我洗了(例如)一千萬牌,仍然得不回原本的排列 A,只要我洗多一千萬次,得回 A 的機會,就會大一點?)

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不是。

正正是為了避免這個誤會,我在以上的論述中,不厭其煩地重複著

如果在一次牌都未洗的時候問…

你留意我剛才所講:

由於,機會率只是與未知的事情有關,或者說,已知的事件,發生的機會率必為 1;所以,如果發生了第一次洗牌,而你又知道其結果的情況下,問「如果再洗一次牌,『是 A』和『不是 A』的機會,分別是多少」,第二次洗牌各個可能結果,發生的機會率,與第一次洗牌的結果無關。

第二次洗牌結果為組合 A 的機會率,仍然是

P(A) = \frac{1}{N}

(N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67})

同理:

剛才我們運算過,(在一次牌都未洗的時候問)洗牌 一千萬 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是

P(A_{10,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-61}

如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現,然後問:

現在開始,再洗多一千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案仍然會是

P(A_{10,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-61}

但是,如果你在洗完一千萬次牌後,發現原本排列 A 還未重新出現時,問_另一個_問題的話,答案就會截然不同:

剛才,我洗了一千萬之牌,仍然回不到 A。

我決定,現在開始再洗牌,多不只一千萬次,而是二千萬次牌的話,至少一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_{20,000,000})
\approx 1.2398 \times 10^{-54}

— Me@2018-02-23 08:21:52 PM

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2018.02.25 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Creative constraints

Imagine you were asked to invent something new. It could be whatever you want, made from anything you choose, in any shape or size. That kind of creative freedom sounds so liberating, doesn’t it? Or … does it?

If you’re like most people you’d probably be paralyzed by this task. Why?

Brandon Rodriguez explains how creative constraints actually help drive discovery and innovation.

With each invention, the engineers demonstrated an essential habit of scientific thinking – that solutions must recognize the limitations of current technology in order to advance it.

Understanding constraints guides scientific progress, and what’s true in science is also true in many other fields.

Constraints aren’t the boundaries of creativity, but the foundation of it.

— The power of creative constraints

— Lesson by Brandon Rodriguez

— animation by CUB Animation

— TED-Ed

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We cannot change anything until we accept it. Condemnation does not liberate, it oppresses.

— Carl Jung

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2018.02.17 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Twelve-step program

A twelve-step program is a set of guiding principles outlining a course of action for recovery from addiction, compulsion, or other behavioral problems. Originally proposed by Alcoholics Anonymous (AA) as a method of recovery from alcoholism, the Twelve Steps were first published in the 1939 book Alcoholics Anonymous: The Story of How More Than One Hundred Men Have Recovered from Alcoholism. The method was adapted and became the foundation of other twelve-step programs.

As summarized by the American Psychological Association, the process involves the following:

– admitting that one _cannot_ control one’s alcoholism, addiction or compulsion;

– recognizing a higher power that can give strength;

– examining past errors with the help of a sponsor (experienced member);

– making amends for these errors;

– learning to live a new life with a new code of behavior;

– helping others who suffer from the same alcoholism, addictions or compulsions.

— Wikipedia on Twelve-step program

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We cannot change anything until we accept it. Condemnation does not liberate, it oppresses.

— Carl Jung

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2018.02.17 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

深淵 2

與魔鬼戰鬥的人,應當小心自己不要成為魔鬼。當你遠遠凝視深淵時,深淵也在凝視你。

— 尼采

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勇者鬥惡龍,小心勇者變惡龍。

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As soon as men decide that all means are permitted to fight an evil, then their good becomes indistinguishable from the evil that they set out to destroy.

— Christopher Dawson

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2018.02.16 Friday ACHK

機遇再生論 1.6

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所以,「同情地理解」,亦可稱為「意念淘金術」。

機遇再生論,可以同情地理解為,有以下的意思:

(而這個意思,亦在「機遇再生論」的原文中,用作其理據。)

假設,你現在手中,有一副樸克牌,存在於某一個排列 A 。洗牌一次之後,排列仍然是 A 的機會極微。

一副完整的撲克牌,共有 N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67} 個,可能的排列。亦即是話,洗牌後仍然是排列 A 的機會率,只有 \frac{1}{N}

由於分母 N 太大(相當於 8 之後,還有 67 個位),洗牌後,理應變成另外一個排列 B 。

P(A) = \frac{1}{N}

P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}

洗了一次牌後,發覺排列是 B 不是 A 後,我們可以再問,如果再洗一次牌,「是 A」和「不是 A」的機會,分別是多少?

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由於,機會率只是與未知的事情有關,或者說,已知的事件,發生的機會率必為 1;所以,如果發生了第一次洗牌,而你又知道其結果的情況下,問「如果再洗一次牌,『是 A』和『不是 A』的機會,分別是多少」,第二次洗牌各個可能結果,發生的機會率,與第一次洗牌的結果無關。

第二次洗牌結果為組合 A 的機會率,仍然是

P(A) = \frac{1}{N}

不是組合 A 的機會率,仍然是

P(\text{not} A) = 1 - \frac{1}{N}

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(問:那樣,為什麼要問多一次呢?)

我是想釐清,我真正想問的是,並不是這個問題,而是另一個:

如果在第一次洗牌之前,亦即是話,一次牌都未洗的話,問:

「如果洗牌兩次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?」

把該事件標示為 A_2

A_2 = 兩次洗牌的結果,起碼一次洗到原本排列 A

再把該事件的機會率,標示為 P(A_2)

由於 P(A_2) 相對麻煩,我們可以先行運算其「互補事件」的機會率。

A_2 的互補事件為「不是 A_2」:

不是 A_2

= 兩次洗牌的結果,不是起碼一次洗到原本排列 A

= 兩次洗牌的結果,都不是排列 A

其機會率為

P(\text{not} A_2) = (1 - \frac{1}{N})^2

那樣,我們就可推斷,

P(A_2)
= 1 - P(\text{not} A_2)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^2

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同理,在一次牌都未洗的時候,問:

如果洗牌 m 次,起碼一次洗到原本排列 A 的機會率是多少?

答案將會是

P(A_m)= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m

留意,N = 52! \approx 8.07 \times 10^{67},非常之大,導致 (1 - \frac{1}{N}) 極端接近 1。在一般情況,m 的數值還是正常時, P(A_m) 會仍然極端接近 0。

例如,你將會連續洗一千萬次牌(m = 10,000,000),起碼有一次,回到原本排列 A 的機會是:

P(A_m)
= 1 - (1 - \frac{1}{N})^m
= 1 - (1 - \frac{1}{52!})^{10,000,000}

你用一般手提計算機的話,它會給你 0。你用電腦的話,它會給你

1.239799930857148592 \times 10^{-61}

— Me@2018-01-25 12:38:39 PM

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