Ex 1.8.2.5 Implementation of $delta$

Structure and Interpretation of Classical Mechanics

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Verify that the operators \displaystyle{D} (differentiation) and \displaystyle{\delta} (variation) commute (Equation 1.27) using the scmutils software library:

\displaystyle{D \delta_{\eta} f [q] = \delta_\eta g[q]} with \displaystyle{g [q] = D ( f[q] )}

~~~

(define (((delta eta) f) q)
  (define (g epsilon)
    (f (+ q (* epsilon eta))))
  ((D g) 0))

(define q (literal-function 'q (-> Real (UP Real))))

(define eta (literal-function 'eta (-> Real (UP Real))))

.

(define (f q)
  (compose (literal-function 'f
             (-> (UP Real (UP* Real) (UP* Real)) Real))
           (Gamma q)))

(define (g q)
  (compose (literal-function 'g
             (-> (UP Real (UP* Real) (UP* Real)) Real))
           (Gamma q)))

.

(define (g q) (D (f q)))

.

(define LHS ( (D (((delta eta) f) q)) 't))

(define RHS ((((delta eta) g) q) 't))

.

(print-expression LHS)

(show-expression LHS)

.

\displaystyle{\partial_1 \partial_1 f \left( \begin{bmatrix} t \\ q(t) \\ Dq(t) \end{bmatrix} \right) D q(t) \eta(t) + D^2 q \partial_2 \partial_2 f D \eta + D^2 q \partial_1 \partial_2 f \eta + ... }

\displaystyle{... \partial_1 \partial_2 f D \eta D q + D^2 \eta \partial_2 f + \partial_0 \partial_2 f D \eta + \partial_0 \partial_1 f \eta + D \eta \partial_1 f}

.

(print-expression RHS)

(show-expression RHS)

(- LHS RHS)

— Me@2020-08-24 03:18:21 PM

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2020.08.24 Monday (c) All rights reserved by ACHK

三一萬能俠, 2

太極滅世戰 2.2 | PhD, 4 | 財政自由 4

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一九九六年的那個暑假,我開始參加 Ken Chan 的物理補習班,開始一步一步的,解決了「空有目標,沒有執行之道」這問題。

有了「做物理學家」這長遠目標後,我感到人生不再一樣,雖然,我讀書的日常生活,仍然十分混亂。不一樣的地方主要是,我讀書的動機,大了很多;次要是,我開展了閱讀的習慣,不只是物理書籍。

那時,我的短期夢想是,升讀預科,選修物理、純數學 和 應用數學 三科。在書局,見到應用數學的一排課本,單單是書脊上的課題名稱時,就已經觸動我心靈:

Theoretical Mechanics I

Theoretical Mechanics II

Differential Equations

Numerical Methods

Probability and Statistics

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雖然中五會考的成績不好,但是幸好仍然足夠令我選俢到,物理、純數學 和 應用數學 三科。所以,中六中七那兩年的預科生活,暫時而言,是我人生中最快樂的時光。

但那段時間,同時是最辛苦的。當然,正正是因為最辛苦,才可爭奪到,那麼密集深刻的數學物理知識和功力,繼而為我帶來最大的快樂。那正正是「難能可貴」的意思。

How would it be possible, if salvation were ready to our hand, and could without great labour be found, that should be by almost all men neglected?

But all excellent things are as difficult as they are rare.

— Spinoza

其實,莫講話有鉅大收穫;即使沒有,單單是可以「全天候研究數學和物理」,就足夠令我把那兩年,視為「直到現在,是我人生中最快樂的時光」。

那時那境,難以複製。

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幾年前,不記得從何而來的靈感,創作了以下的面試題目:

1. What is the happiest moment in your life ever?

2. Can you re-create that moment?

3. If not, why not?

— Me@2013.08.03

  1. 到目前為止,哪個時刻是你最快樂的?

  2. 你可以重造那個時刻嗎?

  3. 如果不可以的話,為什麼不可以呢?

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(如果是最快樂的一刻,我選第一次見到我弟弟的那一刻。

如果是最快樂的一天,我選大學第一天。)

如果是最快樂的一個時代,我選預科的那兩年。

我暫時不能重造那個時代,主要因為還未有足夠的金錢儲備,令我可以,毋須做工維生,從而「全天候研究數學和物理」。

— Me@2020-08-16 07:15:02 PM

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2020.08.21 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Problem 2.3b2

Prove that a metric tensor is symmetric.

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Assume \displaystyle{\eta_{\alpha\beta} \neq \eta_{\beta\alpha}}. Because it’s irrelevant what letter we use for our indices,

\displaystyle{\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} = \eta_{\beta\alpha}dx^{\beta}dx^{\alpha}}.

Then

\displaystyle{\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} = \frac{1}{2}(\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} + \eta_{\beta\alpha}dx^{\beta}dx^{\alpha}) = \frac{1}{2} (\eta_{\alpha\beta} + \eta_{\beta\alpha})dx^{\alpha}dx^{\beta}}

So only the symmetric part of \displaystyle{\eta_{\alpha\beta}} would survive the sum. As such we may as well take \displaystyle{\eta_{\alpha\beta}} to be symmetric in its definition.

— edited Jun 15 ’15 at 22:48

— rob

— answered Jun 15 ’15 at 17:52

— FenderLesPaul

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— Why is the metric tensor symmetric?

— Physics StackExchange

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1.

\displaystyle{\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} = \eta_{\beta\alpha}dx^{\beta}dx^{\alpha}}

means that

\displaystyle{\sum_{\alpha, \beta} \eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}=\sum_{\alpha, \beta}\eta_{\beta\alpha}dx^{\beta}dx^{\alpha}}

So in

\displaystyle{\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} = \eta_{\beta\alpha}dx^{\beta}dx^{\alpha}},

we cannot cancel out \displaystyle{dx^{\alpha}dx^{\beta}} on both sides. In other words, we do NOT assume that \displaystyle{\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\beta\alpha}} in the first place.

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2.

\displaystyle{\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} = \frac{1}{2}(\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} + \eta_{\beta\alpha}dx^{\beta}dx^{\alpha}) = \frac{1}{2} (\eta_{\alpha\beta} + \eta_{\beta\alpha})dx^{\alpha}dx^{\beta}}

means that

\displaystyle{\sum_{\alpha, \beta}\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} = \frac{1}{2}\sum_{\alpha, \beta}(\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} + \eta_{\beta\alpha}dx^{\beta}dx^{\alpha}) = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta}(\eta_{\alpha\beta} + \eta_{\beta\alpha})dx^{\alpha}dx^{\beta}}

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3. “… only the symmetric part of \displaystyle{\eta_{\alpha\beta}} would survive the sum” means that only the sum \displaystyle{\left(\eta_{\alpha\beta} + \eta_{\beta\alpha}\right)} is physically meaningful.

— Me@2020-08-14 03:34:05 PM

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2020.08.14 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Spacetime rate

Every motion in space is also a motion in time.

The speed of light is the upper limit of the spacetime rate.

— Me@2012-04-28 12:42:08 PM

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An object cannot change this position without changing its time coordinate.

In short, there is no instantaneous motion.

— Me@2020-08-12 05:26:20 PM

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2020.08.12 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

機遇創生論 1.6.3

一萬個小時 2 | 十年 3

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任何一門通用知識,起點都是「學海無涯,唯勤是岸」,終點都是「學海無涯,回頭是岸」。

「通用知識」的意思是,每人日常也需要知道的東西,例如,健康、財政、人際、時間管理等。

As we get older, generic reading becomes less and less useful. We then gain new knowledge mostly by personal life experience and directed reading.

— paraphrasing John T. Reed

那是指一般「通用知識」。

directed reading ~ research

至於「專業知識」,即是「技術細節」,結構和「通用知識」雖有相似之處,但不大一樣。

任何一門專業知識,由初學至成熟,則要大概十年的刻意用功。

這裡「成熟」的意思是「可用」;而「可用」的意思是「可以用來維生」。亦即是話,任何一門專業知識,由初學至可以用來作,長久穩定的賺錢工具,需要大概一萬個小時的有意識磨煉。

這裡的「十年」或「一萬個小時」,並不是精細的估計,而是數量級估計。換句話說,可以是七年、十二年,但絕不會是一年。

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這就是「專業知識」和「通用知識」結構相似的地方——都是由最初的「學海無涯,唯勤是岸」,發展到「學海無涯,回頭是岸」。

而結構不相似的地方就是,對於「專業知識」而言,由「唯勤是岸」到「回頭是岸」的過程,需要長很多的時間(十年一萬小時)。二來,對於「專業知識」而言,「回頭是岸」(純熟到可以用來維生)只是里程碑而已,而不是終點。

— Me@2020-08-11 03:09:13 PM

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2020.08.11 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

Ex 1.8.2.4 Implementation of $\delta$

Structure and Interpretation of Classical Mechanics

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Verify the product rule of variation (Equation 1.23) using the
scmutils software library:

\displaystyle{\delta_\eta \left(f [q] g [q] \right)  = \left( \delta_\eta f[q] \right) g[q]  + f[q] \delta_\eta g[q]}

~~~

(define (((delta eta) f) q)
  (define (g epsilon)
    (f (+ q (* epsilon eta))))
  ((D g) 0))

(define q (literal-function 'q (-> Real (UP Real))))

(define eta (literal-function 'eta (-> Real (UP Real))))

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(define (f q)
   (compose (literal-function 'f
              (-> (UP Real (UP* Real) (UP* Real)) Real))
            (Gamma q)))

(define (g q)
   (compose (literal-function 'g
              (-> (UP Real (UP* Real) (UP* Real)) Real))
            (Gamma q)))

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(define (f_times_g q) (* (f q) (g q)))

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(define LHS ((((delta eta) f_times_g) q) 't))

(define RHS (+ (* ((((delta eta) f) q) 't) ((g q) 't))
               (* ((f q) 't) ((((delta eta) g) q) 't))))

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(print-expression LHS)

(show-expression LHS)

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\displaystyle{g D \eta \partial_2 f + g \eta \partial_1 f + f D \eta \partial_2 g + f \eta \partial_1 g}

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(print-expression RHS)

(show-expression RHS)

(- LHS RHS)

— Me@2020-08-06 07:23:27 PM

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2020.08.06 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

The square root of the probability, 2

Mixed states, 4.2

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Superposition in quantum mechanics is a complex number superposition.

— Me@2017-08-02 02:56:23 PM

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Superposition in quantum mechanics is not a superposition of probabilities.

Instead, it is a superposition of probability amplitudes, which have complex number values.

Probability amplitude, in a sense, is the square root of probability.

— Me@2020-08-04 03:38:43 PM

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2020.08.04 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

大腦物理性損毀不是比喻, 2

權力來源 2.1

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大多數人相信沒用,苟且偷生,什麼都不做,少數人去做,就真的沒用,而且還要被大多數人背叛出賣。大多數人相信有用,去做一點點,就真的有用。所以有用沒用不是獨立於人的行為的客觀事實,而純粹是人選擇的結果,這是典型的博弈問題。您國命運就是您國人選擇的結果,也就是所謂報應,不能怪任何別人[。]

— 李穎

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2020.08.04 Tuesday ACHK

太極滅世戰 2.1

似水流年 2.2

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還記得童年時不太開心,好像沒有太多事情,令我快樂。換句話說,即是過得沉悶。一方面喜歡讀書,另一方面卻緊張成績,終日惶恐。

近乎唯一娛樂就是看電視。那時,我還沒有電腦,更加沒有互聯網。那時,沒有什麼金錢買玩具。就算有新玩具,我有時會想:「怎麼辦呢? 很快又會厭倦。」

中二開始,發覺對數學幾有興趣。

中途又有些所謂的嗜好,例如集郵,其實沒有意義。相對沒有那麼無聊的,有電腦遊戲。我的摯愛有 Simcity 2000 和 Chrono Trigger 等。但那也只是暫時的快樂,仍未能為我生活,帶來意義;遊戲完結時,感到額外的空虛。

中四上物理時,不知何故,精神上,有一點清涼暢快的感覺。那就代表著,疑似喜歡物理。但是,不知何故,幾乎凡是需要物理思考的題目,我都不懂得做。

一九九六年,逛書店時,看到有一本書叫《時間簡史》。我同學說:「這書(內容)就是你最喜愛的那些東西。」那時,我尚未有觸動心靈的感覺,所以不以為意,沒有購買。

那年暑假,看了香港太空館天象廳的《輪椅中的宇宙》,十分震撼。我大概記得,那是我自己一個去看,沒有朋友一起。

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從紀錄片中,我認識了霍金,知道了《時間簡史》的來源。不久之後,我買了《時間簡史》,企圖一口氣讀完它。過程中,我有惶恐不安的感覺。原因不是書中內容,而是我沒有閱讀的習慣。換句話說,《時間簡史》令我開始了,培養閱讀的習慣。

《輪椅中的宇宙》和《時間簡史》令我發現,我的人生目標是物理。

但是,我自中三開始,那些物理題目,真是不太懂做呀。空有目標,沒有執行之道。

其實,我那時沒有也辦法,因為,我日校物理教師,講物理講得十分有趣,而我又有留心聽講。如果在這個情況下,我仍然不懂的話,那大概是我的智力問題。

幸好,後來發現,那不是事實。至起碼,中五會考物理,並不需要高智力,也可以奪得 A 級成績。十多年後,在自己有足夠的讀書和教學經驗後,我發現,我當年不懂做題目,主因是日校物理教師,只談理論,不會教題目細節。甚至,有些課題,例如電學,連他自己也根本不太認識。

一九九六年的那個暑假,我開始參加 Ken Chan 的物理補習班,開始一步一步的,解決了「空有目標,沒有執行之道」這問題。

有了「做物理學家」這長遠目標後,我感到人生不再一樣,雖然,我讀書的日常生活,仍然十分混亂,

— Me@2020-07-27 07:33:45 AM

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2020.08.03 Monday (c) All rights reserved by ACHK