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Gradient

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Assume \displaystyle{(x, y)} represents the position of an object and \displaystyle{f(x,y)} is a scalar field on the \displaystyle{x}–\displaystyle{y} plane. Then \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}} represents the change of \displaystyle{f} per unit length along the positive \displaystyle{x} direction. In other words, it is the spatial rate of change of \displaystyle{f} along the \displaystyle{x} direction.

Similarly, derivative \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}} represents the spatial rate of change of \displaystyle{f} along the \displaystyle{y} direction.

For an arbitrary direction, due to the nature of displacement, the change of \displaystyle{f} is \displaystyle{\delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \delta x + \frac{\partial f}{\partial x} \delta y} when the object has finished moving \displaystyle{\delta x} in \displaystyle{x} direction and then \displaystyle{\delta y} in \displaystyle{y} direction.

Then, the spatial rate of change of \displaystyle{f} is

\displaystyle{ \begin{aligned} &\frac{\delta f}{\sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2}} \\ &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\delta x}{\sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2}} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\delta y}{\sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2}} \\ \end{aligned} }

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For simplicity, denote the resultant displacement as \displaystyle{\mathbf{v}}:

\displaystyle{\mathbf{v} = (\delta x, \delta y)}

and define \displaystyle{\nabla f(x)} as

\displaystyle{\left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)}

Then, the change of the \displaystyle{f} due to the displacement \displaystyle{\mathbf{v}} is

\displaystyle{\begin{aligned} \left(\delta f\right)_{\mathbf{v}} &= \frac{\partial f}{\partial x} \delta x + \frac{\partial f}{\partial x} \delta y \\ &= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}\right) \cdot (\delta x, \delta y) \\ &= \left(\nabla f\right) \cdot \mathbf{v} \\ \end{aligned}}

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So the spatial rate of change \displaystyle{f} along the direction of the vector \displaystyle{\mathbf{v}} is

\displaystyle{\begin{aligned} D_{\mathbf{v}}(f) &= \frac{\left(\delta f\right)_{\mathbf{v}}}{|\mathbf{v}|} \\ &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\delta x}{\sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2}} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\delta y}{\sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2}} \\ &= \left(\nabla f\right) \cdot \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} \\ &= \left(\nabla f\right) \cdot \hat{\mathbf{v}} \\ \end{aligned}}

\displaystyle{D_{\mathbf{v}}(f)} is called directional derivative.

— Me@2016-02-06 09:49:22 PM

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This is the reason that \displaystyle{\nabla f} is in the steepest direction.

If \displaystyle{\hat{\mathbf{v}}} is chosen to be parallel to \displaystyle{\nabla f}, the directional derivative \displaystyle{\left(\nabla f\right) \cdot \hat{\mathbf{v}}} would be maximized.

— Me@2021-08-20 05:20:02 PM

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2016.02.21 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

注定外傳 2.4

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Can it be Otherwise? 2.4 | The Beginning of Time, 7

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因為沒有指定，追溯到哪一件事，或者哪一刻為止，所以討論會沒完沒了。

（問：不會沒完沒了呀。只會追溯到「時間的起點」。）

我們根本不知道，「時間的起點」（第一因）是怎樣的。那樣，我們又怎能夠，根據「時間的起點」，去判斷某一件事件，是不是注定的呢？

（問：可能可以。所謂「時間的起點」，其實就即是「宇宙的開端」。）

可以這樣說，因為「宇宙」這個詞語，就是指「所有事物」。所以，「時間起點」和「宇宙開端」，是同義詞。

（問：而物理學家知道，「字宙的開端」是「宇宙大爆炸」。所以我們知道，「時間的起點」，就是「宇宙大爆炸」。）

大概而言是。但是，嚴謹一點講：

1. 「宇宙大爆炸」是一件事件，有一個過程，並不是時間上的「一點」，所以不算是「起點」。「宇宙大爆炸這件事的開始那刻」才算是起點。

當然，「宇宙大爆炸這件事的開始那刻」太長太麻煩，可以用同義詞「宇宙開端」代替。但是，「宇宙開端」這四個字，太過空泛，沒有任何詳情。試想想，知道了「時間起點」就是「宇宙開端」，那又怎樣呢？

用「宇宙大爆炸這件事的開始那刻」，起碼可以知道，「宇宙開端」那一刻，開始發生的第一件事，是「宇宙大爆炸」。所以，如果又要細節，又要精簡，把「宇宙大爆炸這件事的開始那刻」，簡稱成「宇宙大爆炸」也無妨，只要上文下理足夠清晰，不會引起誤會就可以。

2. 物理學家根據愛因斯坦的「廣義相對論」推斷，「宇宙開端」那一刻，開始發生的第一件事，是「宇宙大爆炸」。所以，如果「廣義相對論」不正確，「宇宙大爆炸」就未必為真。

3. 即使「廣義相對論」是可信的，普朗克時期（Planck epoch），即是開端後的頭\(10^{−43}\)秒之內，以現時的物理知識，是處理不到的。所以，物理學家推斷不到，那段時間內，發生了什麼事。

如果要知道「普朗克時期」內，宇宙演變的詳情，物理學家就要先把「量子力學」和「廣義相對論」的矛盾化解。這個工序，學名是「把廣義相對論量子化」。

所以，討論任何問題，例如「某一件是否注定」時，即使有「推斷到時間起點」的企圖，也沒有可能做到，除非能夠把「量子力學」和「廣義相對論」合體。

我們至多只能追溯到，「普朗克時間」完結的那一刻，然後講一句：「再之前的，沒有資料」。

— Me@2016-02-15 07:04:56 PM

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