這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。
假設有 7 個蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?
…
總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。
…
(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)
因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。
如果你要百分百地通透理解,這一題的運作原理,你不妨試試重組案情 —— 用最原始的方法去思考和運算,而不用排列(nPr)和組合(nCr)的公式。
7 個蘋果中選 3 出來,即是相當於有 3 個格子要填滿:
(_)(_)(_)
第一格有 7 個選擇:
(7)(_)(_)
第二格則有,餘下的 6 個可能性:
(7)(6)(_)
如此類推:
(7)(6)(5)
這代表了 7 個蘋果抽 3 個出來排隊的話,有多少個排列方法(permutation)。但是,現在重視的是組合(combination),而不是排列。亦即是話,重要的是,你究竟要在那 7 個蘋果之中,選了哪 3 個出來。至於它們 3 個之中,哪一個先被選出、哪一個後被選出,並不重要。
所以,你應該把剛才的中途答案,除以(3!),因為,被選的 3 個蘋果,內部總共有(3!)種排列方法。
3! = 6
那 6 個「排列」,都應歸類為,同一個「組合」 。
(7)(6)(5)
—————-
(3!)
= 35
至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。
如果你任何「數學科技」也不喜歡,而想再原始一點,直情(乾脆)連「階乘公式」(n!)都不用的話,你可以自行推斷一下,已選了的那 3 個蘋果之中,內部會有多少個排列方法。
那其實就相當於,已知有 3 個人入了總決賽,爭奪冠亞季軍,然後問,總共有多少個,可能的比賽結果?
你可以這樣想,冠亞季有 3 個席位:
(_)(_)(_)
第一格有 3 個選擇:
(3)(_)(_)
第二格則有,餘下的兩個可能性:
(3)(2)(_)
如此類推:
(3)(2)(1)
所以,那 3 個蘋果的內部,總共有(3)(2)(1),即是 6 個排列方法。那 6 個排列,都應歸類為是同一個組合。
(7)(6)(5)
—————-
(3)(2)(1)
= 35
至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。
但是,而「7C2 x 5C1」則不行,等如 105,不是正確的。不信的話,你可以試試建構一下,「7C2 x 5C1」的原始式子:
(7)(6)|(5)
——— ——-
(2)(1)|(1)
(7)(6)|(5)
= ——— ——
(2!) |(1!)
= 105
你會發現,這式子答非所問,並不是題目描述的情況。
— Me@2014.04.21
2014.04.24 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
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