Factors

Posted on February 28, 2013 by rpflee

因子

factors = independent causes

因素 = 原因元素 = 原因粒子

product = the results of factors multiplying together

產品 = 積 = 因素成果

multiply

乘 = 騎 = 順勢 = 利用

— Me@2013-02-28 8:16 pm

微積分 5

Posted on February 28, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

導數（derivative）dy/dx 的定義是

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{(x + \Delta x)-x}$

\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{(x + \Delta x) – x}

但是，你千萬不要直接背誦這個數式，因為它很繁複。你需要記憶的，是淺白一點的版本：　

$\Delta y = f(x + \Delta x)-f(x)$

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)

\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

— Me@2013.02.28

Exchange symmetry

Posted on February 28, 2013 by rpflee

Because the exchange of two identical particles is mathematically equivalent to the rotation of each particle by 180 degrees (and so to the rotation of one particle’s frame by 360 degrees), the symmetric nature of the wave function depends on the particle’s spin after the rotation operator is applied to it. Integer spin particles do not change the sign of their wave function upon a 360 degree rotation — therefore the sign of the wave function of the entire system does not change. Semi-integer spin particles change the sign of their wave function upon a 360 degree rotation (see more in spin-statistics theorem).

— Wikipedia on Exchange symmetry

2013.02.27 Wednesday ACHK

Blogging

Posted on February 27, 2013 by rpflee

Writing a blog is an entertainment against loneliness.

— Me@2009.12.18

無限蘋果 1.6

Posted on February 27, 2013 by rpflee

無限年 2.6 | 微積分 4.6 | Process, not a state, 7

大概而言，接受不到「無限」的話，你可以把它看成「超大」。「超大」只是一個模糊的印象，而不是一個明確的數字。　

準確而言，「無限」不是一個數字，而是一個過程。它是「不停地增長」這個過程，的一個簡稱。

— Me@2013.02.27

Elementary particles, 2

Posted on February 27, 2013 by rpflee

Tommaso Dorigo’s comrade Vladimir Lenin believed that an electron was a galaxy with many electrons, and so on, indefinitely. That’s what he meant by the statement that matter was “inexhaustible”. This hierarchical picture of the Matryoshka Universe was clearly indefensible already during Lenin’s life. First, it has to stop at the Planck scale because distances shorter than the Planck scale are unphysical, or at least don’t follow the normal laws of geometry. Second, two electrons must be exactly identical to allow chemistry to work, so they can’t carry any substructure that would be as variable as one of a galaxy (or even a high entropy, which must be zero).

— Composite vs elementary particles

— Lubos Motl

2013.02.27 Wednesday ACHK

Records

Posted on February 26, 2013 by rpflee

No records, no results.

— Me@2013-02-25 5:35 pm

無理數 2.2

Posted on February 26, 2013 by rpflee

乘法意思 5.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

「有理數」（rational number）的意思是，兩個整數的比例。亦即是話，它是一個分數，而分子和分母都是整數。如果表達成小數，它會是一個「有盡小數」或者「循環小數」。

「有理數」英文「rational number」中的「rational」，在日常生活的意思是「合理的」。但是，在這個數學的情境下，應該解讀成「ratio-nal」。「ratio」即為「比例」。根據現在的上文下理，「rational number」應該翻譯成「比例數」。「比例數」這個詞，比「有理數」直接易明。

— Me@2013.02.26

Hiring

Posted on February 25, 2013 by rpflee

We rely on the Lake Wobegon Strategy, which says only hire candidates who are above the mean of your current employees.

— Hiring: The Lake Wobegon Strategy

— Peter Norvig, Director, Google Research

— 12th March 2006

2013.02.25 Monday ACHK

Consultant

Posted on February 25, 2013 by rpflee

Be a consultant, not a teacher.

Being a teacher makes me old; being a consultant makes me young.

— Me@2009.12.11

無限蘋果 1.5

Posted on February 24, 2013 by rpflee

無限年 2.5 | 微積分 4.5

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法，來驗算牽涉「無限」的極限題目。

而你得到的答案，有三種可能。

第一種情況是，因為分母中 x 的最大次方，大過分子中 x 的最大次方，所以當 x 趨向「無限大」時，整個分數會趨向「無限小」，即是零。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} = 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= …

= 0

第二種情況是，由於分母中 x 的最大次方，小過分子中 x 的最大次方，導致當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向「無限大」，即是「沒有極限」。例如，

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 6} \right) = \hspace{5mm} \dots \hspace{5mm} \to \infty$

lim_{x -> infinity} x^3/(x^2 + 6)

= …

-> infinity

最後一種情況是，分母中 x 的最大次方，和分子中 x 的最大次方相同。那樣，當 x 趨向「無限大」時，整個分數都趨向一個「有限數」。至於那個「有限數」是什麼，你只要看看分子和分母中， x 最大次方的係數（coefficients），就可以判斷到。例如，

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + 3 x + 7}{5 x^3 + 3 x^2 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^3 + \hspace{5mm} \dots}{5 x^3 + \hspace{5mm} \dots}$

$= \hspace{5mm} \dots$

$= \frac{2}{5}$

lim_{x -> infinity} (2 x^3 + 3 x + 7)/(5 x^3 + 3 x^2 + 6)

= lim_{x -> infinity} (2 x^3 + …)/(5 x^3 + …)

= …

= 2/5

— Me@2013.02.24

Anger 4

Posted on February 22, 2013 by rpflee

gbog 15 hours ago | link

“Brilliant marketing play”

Maybe, but where the idealism gone? Both on HN, in tech circles, and, yes, at Google, there was some healthy dose of idealism. You know, this thing that make people do thing for something else than money, for the better good of humanity for example.

Idealism (and anger) brought us Linux, Vim, the Web, etc.

…

— Google has killed Android (the brand)

— Hacker News

2013.02.22 Friday ACHK

Always

Posted on February 22, 2013 by rpflee

For all, 2

“Always” means “all the time“, not “an infinite length of time“, for “infinity” is not a number.

— Me@2013-02-21 11:14:53 AM

無理數 2.1

Posted on February 22, 2013 by rpflee

乘法意思 5.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

剛才討論「乘法意思」時，提及過「無理數」。我現在想詳細講述一下。

一般而言，需不需要用小數，要視乎你所用的單位。例如，你用間尺量度一條線，發現長度等於 2.4cm。你需要用小數 2.4，是因為你用了厘米 cm 作為單位。如果轉用毫米 mm，你就可以用整數，來表達同樣的長度。

2.4 cm = 24 mm

但是，有時，無論用整數還是小數，都好像表達不到某些長度。例如，如果你間尺的最小間隔是 1mm，而你所度的長度是介乎 12mm 和 13mm 之間，一方面，你不能用整數來表達那長度，因為那既不是 12mm，又不是 13mm；另一方面，你亦不能用小數來表達，因為憑那把間尺，你並不知道，那長度是 12 點幾。

按常識，只要使用刻度精細一點的間尺，就可以解決這個問題 —— 你就可以用整數，準確表達那個長度。用厘米 cm 作刻度不行的話，就用毫米 mm；用毫米都不行的話，就用十分之一毫米；如此類推。在這個「可以透過縮小單位，來把小數化成整數」的情況下，你所量度的長度數值，如果堅持用原本的單位，就會表達成一個「有理數」（rational number），可以用「有盡小數」或者「循環小數」來表達。

但是，數學世界卻隱藏了，一些不按一般人「常識」的情況。有一些線的長度，無論你間尺的刻度有多精細，它永遠止於兩個刻度之間。例如，如果一個正方形的邊長是一個單位，它的對角線長度，就會是「開方 2」個單位（ $\sqrt{2}$ ）。

This is a file from the Wikimedia Commons.

「開方 2」就為之「無理數」（irrational number）。表達成小數的話，它會「無盡不循環」。

（安：那如果用對角線作為單位呢？

如果用一把刻度間隔，剛好是那條對角線長度的間尺，你就相當於把那長度，定義為「一個單位」。那樣，你就可以用「一」這個數字，來表達那對角線長度，而迴避了「無理數」。）

但是，那樣的話，你就犧牲了那正方形的邊長。你會被迫把它表達成「無理數」 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

— Me@2013.02.20

Feeling time

Posted on February 19, 2013 by rpflee

Time as other things

“Feeling the existence of time” means that you stop but other things keep going. That’s why “feeling time” is not a good thing.

— Me@2011.05.24

Time is not valuable anymore if all you have is only time.

—

Rediscovery

Posted on February 18, 2013 by rpflee

I hold with the Swiss psychologist Jean Piaget that the process of learning mathematics is itself a process of rediscovery. A similar view was expressed by the logician Ludwig Witgenstein, asserting in the preface to his famous Tractatus Logico-Philosophicus that he would probably not be understood except by those who had already had similar thoughts themselves.

— A Unified Language for Mathematics and Physics

— David Hestenes

— Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics

2013.02.18 Monday ACHK

無限蘋果 1.4

Posted on February 17, 2013 by rpflee

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit（極限值）的正式運算方法是：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{x^2}{x^3} \right)}{\left(\frac{x^3 + 6}{x^3}\right)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{1}{x} \right)}{\left(1 + \frac{6}{x^3}\right)}$

$= \frac{\left( 0 \right)}{\left(1 + 0 \right)}$

$= 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是，雖然，因為「無限」（ $\infty$ ）並不是一個數，你不可以代它於任何變數 x 之中；但是， $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ 是卻一個數，而且等於零，所以，你可以把「零」代於所有（1/x）出現的地方。

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過，如果分子和分母同時趨向「無限」，整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子中 x 次方比較大，還是分母。例如在這一題中，分子的 x 是二次方（x^2），而分母的 x 是三次方（x^3），所以，分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果，整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼，並不是正確合法的數學符號：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3}$

$= 0$

你可以在心裡運用，但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= （無限）^2/（（無限）^3 + 6）

= 0

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法來驗算，牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

The Heisenberg picture, 2

Posted on February 17, 2013 by rpflee

As I suggested in the article about the solution of the Hydrogen atom using the SO(4) symmetry, one of the reasons why almost no people properly learn the “foundations of quantum mechanics” is the textbooks’ and teachers’ excessive focus on the Schrödinger picture (and the wave functions) and their disrespect for the Heisenberg picture (and the operators) even though operators – the observables – is what quantum mechanics is all about.

— Celebrating the Heisenberg picture

— Lubos Motl

2013.02.17 Sunday ACHK

Panaceas

Posted on February 16, 2013 by rpflee

Health care providers often call exercise the “miracle” or “wonder” drug — alluding to the wide variety of proven benefits that it provides.

— Wikipedia on Physical exercise

Doing physics (for my mind) and doing physical exercises (for my body) are my panaceas (for health).

— Me@2011.10.10

— Me@2013.02.16

乘法意思 4.3

Posted on February 16, 2013 by rpflee

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

乘法第五關：何謂「負數次方」？

如果是正數次方，例如 a^2，即是在原本數字的右邊，乘多兩個 a：

$(a^3) a^2 = (a^3) a a$

$=a^5$

(a^3) a^2 = (a^3) a a = a^5

那樣，按常理，負數次方，例如 a^{-2}，就應該代表，要令到原本的數字，乘少兩個 a：

$(a^3) a^{-2} = a \not a \not a = a$

(a^3) a^{-2} = a a a = a

(a^3) a^{-2} = a a a (but cancel two a’s) = a

然後，你回想一下，一生之中，學過什麼數字或者符號，乘在原本數字的右邊後，會等於「刪除了其中兩個 a」？

$(a^3) a^{-2} = a a a (?) (?) = a$

a a a (?) (?) = a

只有「a 分之一」有這個效果：

$(a^3) a^{-2} = a a a (\frac{1}{a}) (\frac{1}{a}) = a$

(a^3) a^{-2} = a a a (1/a) (1/a) = a

所以，

$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$

a^{-2} = 1/a^2

— Me@2013.02.15

Physics Town

continues

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微積分 5

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Elementary particles, 2

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The Heisenberg picture, 2

Panaceas

乘法意思 4.3