時空兌換率

這段改編自 2015 年的對話。

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我的相對論教授說,所謂

E = m c^2

在某些意思之下,沒有那麼特別,因為,你可以把它看成,貨幣的兌換。

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E = c^2 m

能量 =(光速二次方)\times 質量

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1 \text{USD} \approx 8 \times 1 \text{HKD}

1 美元 \approx 8 \times 1 港元

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公式中的 c^2(光速平方),角色其實正正就是,能量 E 和質量 m 之間的「貨幣兌換率」。

(而光速 c,則是時間和空間的兌換率。)

— Me@2018-05-11 09:10:00 PM

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2018.05.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Inception 16.4.2

潛行凶間 16.4.2

這段改編自 2010 年 8 月 13 日的對話。

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例如,你在夢裡,正在期待著夢中故事的結局時,就不小心地醒了。你試過沒有?

(CPK:試過臨知道答案前,就醒了。)

你留意,《潛行凶間》就刻意拍到那樣—在觀眾就要知道結果時,就停了。換句話說,導演 Christopher Nolan 刻意把這部以夢為主題的電影,拍到有如夢境一樣。

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那是他的習慣。例如,他的另一部電影—《死亡魔法》—以魔術為主題。導演就把它拍到彷彿魔術一般,由始至終,一路戲弄著觀眾。

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所以,千萬不要連續看幾部,Christopher Nolan 的電影。看了一部已後,最好先隔一段時間,待心情平伏以後,才看下一部。

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至於《潛行凶間》結尾,主角是否還在夢境之中?

是或否,兩個解釋,二選其一,都可以講得通。

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你記不記得,戲中有一句,大概有以下的意思:「在夢中,通常都不會知道,自己正在發夢。只會在蘇醒時,才發現剛才,自己在發夢;才驚覺剛才,劇情不合理。」

你在看《潛行凶間》時,都有同樣的感覺。在戲院看時,覺得一切都合理,又有詳細解釋。但是,看完後,回家時,才驚覺劇情,有些地方不妥,講來講去講不通。其中一個例子是,陀螺會不會停止,並不能用來推斷,主角是否仍在夢中。

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如果陀螺永不停止,那必定是夢中。但是,如果陀螺倒了下來,也不一定是現實,因為,即使在夢中,造夢者都可以令陀螺停止。

— Me@2018-04-24 11:36:31 AM

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Some pundits have argued that the top was not in fact Cobb’s totem, rendering the discussion irrelevant. They say that the top was Mal’s totem; Cobb’s was his wedding ring, as he can be seen wearing it whenever he is in a dream and without it whenever he isn’t. As he hands his passport to the immigration officer, his hand is shown with no ring; thus he was conclusively in reality when seeing his children. Furthermore, the children were portrayed by different actors, indicating they had aged.

— Wikipedia on Inception

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2018.04.24 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

Inception 16.4

潛行凶間 16.4

這段改編自 2010 年 8 月 13 日的對話。

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(CPK:在自己的夢裡面,是不是真的可以,想怎樣就怎樣?)

有時可以。但只是有時。

剛才講過,

《潛行凶間》中的意念,你可以假想,有七成是真的。

亦即是話,有些部分不是真的。例如,現實中(暫時)並沒有那「夢境同步」機器。

又例如,現實中,你並不可以完全操控著,你的夢境。你可以控制到一點點,但不會完全控制到。

例如,你在夢裡,正在期待著夢中故事的結局時,就不小心地醒了。你試過沒有?

(CPK:試過臨知道答案前,就醒了。)

你留意,《潛行凶間》就刻意拍到那樣—在觀眾就要知道結果時,就停了。換句話說,導演 Christopher Nolan 刻意把這部以夢為主題的電影,拍到有如夢境一樣。

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那是他的習慣。例如,他的另一部電影—《死亡魔法》—以魔術為主題。導演就把它拍到彷彿魔術一般,由始至終,一路戲弄著觀眾。

— Me@2018-04-18 02:48:05 PM

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2018.04.18 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

潛行凶間 16.3

Inception 16.3

這段改編自 2010 年 8 月 13 日的對話。

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怎料,當早所看的電影《潛行凶間》那麼應景,恰巧在主題中有「清醒夢」和「多層夢」。那就是為什麼我剛才說:

《潛行凶間》中的意念,你可以假想,有七成是真的。

知道這些有趣知識——原來世間上,是有「清醒夢」和「多層夢」——是有實質好處的。

例如,你會繼而知道,原來人是有「潛意識」的;而在一些清況下,「潛意識」的智力和能力,多過「顯意識」。但是,「潛潛意識」又再利害過「潛意識」。

再例如:

3. 多重自我

3.1 每一個人,其實有超過一個自我。

3.2 而每一個自我,其實有超過一個層次的意識。

至於在平日,怎樣可以存取到,各個層次的潛意識呢?

有太多的方法,有些是健康的,有些是自殘的,不能盡錄。現在只講一兩點。

健康的方法有,適量的睡眠。睡眠太多或太少,都到身體、顯意識和潛意識有害。睡眠太少的話,你的潛意識,沒有足夠時間,去整理日間接收了的資料。

自殘的方法有,患病。

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「清醒夢」或「多層夢」,如果自然發生,你可以細心觀察。

但是,千萬不要主動去引發「清醒夢」或「多層夢」。它們時常發生的話,會破壞意識,脫離現實。

— Me@2018-04-08 10:51:30 AM

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2018.04.08 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

潛行凶間 16.2

Inception 16.2

這段改編自 2010 年 8 月 13 日的對話。

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又例如:

2. 多層夢

有時,明明已經起了床,關掉了鬧鐘;怎料,「明明已經起了床,關掉了鬧鐘」這劇情,只是另一個夢——我仍然未醒來。結果,要醒了很多次,經歷很多層,才真正醒來。

而對我個人而言,最有趣的地方是,我在看《潛行凶間》之前一晚,正正發了「清醒夢」和「多層夢」。

我在看《潛行凶間》前的那個時期,身體長期不太舒服,可能是傷風或者感冒,導致有少許咳嗽。但是,在戲院內咳喇的話,會影響他人,所以可免則免。因此,在前一晚,因為知道明早要去看電影,我的潛意識對身體下令,要立即康復。那樣,一來令我腦部活躍,二來令我身體病發,引發了我的「清醒多層夢」。

怎料,當早所看的電影《潛行凶間》那麼應景,恰巧在主題中有「清醒夢」和「多層夢」。那就是為什麼我剛才說:

《潛行凶間》中的意念,你可以假想,有七成是真的。

知道這些有趣知識——原來世間上,是有「清醒夢」和「多層夢」——是有實質好處的。

例如,你會繼而知道,原來人是有「潛意識」的;而在一些清況下,「潛意識」的智力和能力,多過「顯意識」。但是,「潛潛意識」又利害過「潛意識」。

(但是,千萬不要主動去引發,「清醒夢」或「多層夢」。它們時常發生的話,會破壞意識,脫離現實。)

— Me@2018-03-08 08:32:52 PM

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2018.03.08 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

潛行凶間 16

Inception 16

這段改編自 2010 年 8 月 13 日的對話。

d_2018_02_18__19_10_12_PM_

這幾個月來,我跟一位來自大學時代的朋友,討論一些較為深刻精采,一般人也不會討論的話題。怎料,《潛行凶間》竟然囊括那些深刻精采話題,之中的一大部分。

在我朋友的同意和鼓勵下,我把那些對話錄了音,再化成文字。那就彷彿是把那些意念,由氣體凝結成液體。怎料,該電影卻把那些意念,再由液體凝固成固體。

我把對話化成文字,莫非都是為了避免,同一堆說話,再講一次。同一堆說話講第二次,並不是一個快樂的過程。有了文字版後,當有其他朋友需要那些意念時,我就可以引述我的文章,從而開發下一個層次的話題。

但是,有了《潛行凶間》這電影後,凡是之中有的意念,我的相關文章,都可以一概置之不理;因為,我只要介紹該電影,給對那些意念,有興趣的朋友就可以。

電影內,有太多超凡的意念,不能一次過講得完。你們可以分開幾次來問我,例如:

1. 清醒夢

1.1 有些人在某些時候,在夢知道自己在發夢,卻又可以保持住,發夢的狀態。

1.2 那些人之中的部分人,在那些清醒夢時候的部分時候,甚至可以控制著,那些夢境的劇情演變。

你有沒有試過,在夢裡面,知道自己在發夢?

(CPK:未。不過,我的姐姐試過。)

我中學時代,有一次清醒夢時,刻意留意一棵樹。

我發現,原來夢中的東西,不只有黑白色。我不單看到,那棵樹的葉是綠色的,而且,還可以見到,那些樹葉中的每一塊。

《潛行凶間》中的意念,你可以假想,有七成是真的。

又例如:

2. 多層夢

有時,明明已經起了床,關掉了鬧鐘;怎料,「明明已經起了床,關掉了鬧鐘」這劇情,只是另一個夢 — 我仍然未醒來。

3. 多重自我

3.1 每一個人,其實有超過一個自我。

3.2 而每一個自我,其實有超過一個層次的意識。

— Me@2018.02.18

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2018.02.18 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理:製作特輯 1.2

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那位教授的功力深厚,講到一般教授講不到的東西。所以,雖然修他的課十分辛苦,例如他的功課,一份可以消磨我,20 至 40 小時不等;但是,為了要聽到一些,來自「天界」的說話,我也堅持修他的課。試想想,他大概每一個半星期,就出一份功課,我何來找那 40 個小時呢?

唯有每日花 8 至 9 小時,不停鑽研該星期的那一份功課。

(安:每天 9 小時,其實也不算不合理。年輕時玩電腦遊戲,往往都會花那麼多的時間。)

但是在那學期,我並不只修「量子力學二」那一科;我還修了「電磁學」和「固態物理」。它們各自也是每星期,就有一份功課,而每份都花費我,10 多至 20 多小時不等。

(安:你覺得「你的測不準原理講法」價值連城,是因為得來不易。首先,要有一個物理學家,發現和發表了「測不準原理」。然後,一代傳一代地,傳到你的教授那裡;而他又要功力深厚,理解正確。接著,又要剛巧有你,修了他的課。)

有時,知識很易會失傳。當年,那科「量子力學二」,包括我在內,只有 12 位學生。那 12 人之中,不知有多少人,聽得明白「測不準原理」的正確版本。聽得明白的人之中,又不知有多少人,會刻意把它紀錄下來。

— Me@2014.02.12

2014.02.12 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理:製作特輯 1.1

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

(安:我現在感覺到,自己剛剛開始明白,「測不準原理」的真正意思。)

那我就算是,化解了你其中一個問題,令你明白了一樣,一般人不會明白的東西。

(安:那又不要神化我。我也是一般人。)

我的意思並不是,因為你智力的高或低,而導致你明白或不明白。我想帶出的要點是,有這些資料十分難得。

(安:「這些資料」是指「測不準原理的正確講法」?)

無錯。

「測不準原理」的真正意思,是我刻意收集回來的。我剛才有關「測不準原理」的解釋,雖然是我即席原創,但是它所要表達的知識,即是「測不準原理」的真正意思,是來自我「量子力學二」的教授。

那位教授的功力深厚,講到一般教授講不到的東西。所以,雖然修他的課十分辛苦,例如他的功課,一份可以消磨我,20 至 40 小時不等;但是,為了要聽到一些,來自「天界」的說話,我也堅持修他的課。試想想,他大概每一個半星期,就出一份功課,我何來找那 40 個小時呢?

唯有每日花 8 至 9 小時,不停鑽研該星期的那一份功課。

(安:每天 9 小時,其實也不算不合理。年輕時玩電腦遊戲,往往都會花那麼多的時間。)

— Me@2014.02.08

2014.02.08 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.11

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

換句話說,我們不應該把「甲+乙」(甲加乙),視為純粹是「甲」的延續;我們應該把「甲+乙」和「甲」視為,兩個獨立的系統。

(安:但是,根據我們之前,有關「時間定義」的討論,「影響」和「更換」,沒有絕對的分別。在某個意思之下,「影響」和「更換」,是同一樣東西。

方便起見,我把「甲」稱為 A,而「甲+乙」,則簡稱為 B。

是「影響」還是「更換」,要視乎你把 A 和 B 標籤為,「同一個系統的兩個不同(時間)版本」,還是「兩個不同的系統」。

那只是言辭之爭。你沒有絕對的理據,去禁止兩者之中的任何一個。)

一般的情況下,你可以這樣說。但在「測不準原理」的上文下理當中,用「影響」會相當誤導。

如果我們說「量度儀器」(乙),「影響」了「原本物理系統」(甲),人們會以為「乙」量度「甲」時,影響的是個別的觀測結果。例如,其中一個流行但錯誤的講法是:

因為你量度一粒粒子的位置時,需要『看』它,所以需要把光照射到它身上。當光子撞擊到那粒子時,自然會影響到粒子的速度,亦即是改變了它原本的速度。換句話說,你量度粒子位置,這個動作本身,就導致你不能再準確量度到,它原本的速度。

但是,「測不準原理」所要處理的,並不是一個物理系統的個別觀測結果;「測不準原理」所要處理的,是一個物理系統,複製成眾多相同系統後,作同一個物理量的量度時,眾多結果所形成的統計模式。簡而言之,「測不準原理」處理的,是一個物理系統,量度數據的統計模式。

雖然「觀察者效應」,並不是「測不準原理」的重心正文,但是,只要你不用「影響」,而改用「更換」,就不會引起任何誤會。你自然可以得到正確的「觀察者效應測不準原理版」:

凡是觀察都必須加入『量度儀器』(乙),於你想觀察的『物理系統』(甲)之中。

『甲+乙』(甲加乙)是一個新的物理系統,所以,其眾多量度數據的統計模式,自然和『甲』的統計模式,有所不同。

因為你必須把『甲』,『更換』成『甲+乙』,所以無可避免地,你會失去,即是觀察不到,『原本物理系統』(甲),量度數據的統計模式。

— Me@2014.02.05

2014.02.05 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.10

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

(安:你的意思是,「測不準原理」成立,是「觀察者效應」成立的原因,而不是相反。一般人之所以錯,是因為不小心地,把「測不準原理」和「觀察者效應」的因果關係倒轉了。)

歸根究底,把「測不準原理」,誤會成「觀察者效應」的原因是,混淆了「影響」和「更換」;而一般人也會那樣混淆的原因是,「影響」和「更換」,可統稱為「改變」。

沿用剛才的簡稱,「甲」代表「原本的物理系統」;「乙」代表「額外量度儀器」。

在「測不準原理」的觀點下,描述「觀察者效應」時,我們應該把,「加入新的量度儀器(乙),於原本的物理系統(甲)之中」這個動作,視為「更換」了物理系統,而不是「影響」了原本的物理系統。

換句話說,我們不應該把「甲+乙」(甲加乙),視為純粹是「甲」的延續;我們應該把「甲+乙」和「甲」視為,兩個獨立的系統。

(安:但是,根據我們之前,有關「時間定義」的討論,「影響」和「更換」沒有絕對的分別。在某個意思之下,「影響」和「更換」,是同一樣東西。

方便起見,我把「甲」稱為 A,而「甲+乙」,則簡稱為 B。

是「影響」還是「更換」,要視乎你把 A 和 B 標籤為,「同一個系統的兩個不同(時間)版本」,還是「兩個不同的系統」。

那只是言辭之爭。你沒有絕對的理據,去禁止兩者之中的任何一個。)

— Me@2014.02.01

2014.02.02 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.9

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

「測不準原理」所處理的,是有關在建構一個物理系統時,所要作出的考慮和妥協;而不是處理,在量度一個已有物理系統時,對該個物理系統原本的演化,所做成的影響。

雖然「觀察者效應」客觀存在,但它和「測不準原理」沒有直接關係。「測不準原理」所關心的,是「建構者妥協」,而不是「觀察者效應」。

(安:那樣,為什麼一般人也錯誤以為,「測不準原理」和「觀察者效應」,有直接關係呢?)

我們先再回顧一下,一般人易於理解,但難於正確的講法:

凡是觀察一個物理系統,你的觀察本身,都會影響到該個物理系統,導致你不能百分百地,觀察到原本想觀察的東西。

(安:這個講法合理正確,為何你說它「難於正確」呢?)

這個講法,只是正確的「觀察者效應」,但不是正確的「測不準原理」。

如果要在「測不準原理」的觀點下,描述「觀察者效應」,我們就應該這樣說:

『觀察者』或者『量度儀器』,一定會和原本的物理系統,有相互作用,導致互相影響。換句話說,『量度儀器』(乙)必然地加入了,它想量度的『原本物理系統』(甲)。換而言之,『甲』和『乙』在一起,形成了一個新的物理系統。

因為新的物理系統『甲+乙』(甲加乙),和原本的物理系統『甲』,是兩個不同的物理系統,『甲+乙』各個物理量的『標準差』,和『甲』各個物理量的『標準差』,自然有所不同。亦即是話,『甲+乙』各個物理量的『確定程度』,和『甲』各個物理量的『確定程度』,必定有所分別。

留意,以上並不是「測不準原理」的真身,而只是「測不準原理」的其中一個例子 —— 應用「測不準原理」,來解釋「觀察者效應」的由來。

你可以用「測不準原理」,來解釋「觀察者效應」,但不可以用「觀察者效應」,來解釋「測不準原理」。

(安:你的意思是,「測不準原理」成立,是「觀察者效應」成立的原因,而不是相反。一般人之所以錯,是因為不小心地,把「測不準原理」和「觀察者效應」的因果關係倒轉了。)

— Me@2014.01.29

2014.01.29 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.8

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

要明白「測不準原理」的真正嚴格意思,你就要首先明白兩個要點:

1. 有些物理量的配對,是 incompatible observables(不相容觀察量)。

如果一個物量系統的物理量,「甲」和「乙」並不相容,該系統就沒有可能,同時處於「甲」的 eigenstate(本徵態)和「乙」的 eigenstate。換句話說,該系統不可能有一個狀態,同時是甲乙的「本徵態」。

2. 兩件事不可以同時發生,不代表不可以同時不發生。

該個物理系統,即使不可能同時是甲乙的「本徵態」,但仍然有可能同時,既不是「甲」的「本徵態」,亦不是「乙」的「本徵態」。換而言之,該系統,有可能同時是甲乙的「非本徵態」,亦即「疊加狀態」。

有了這兩點「前傳」後,我們就可以正式「宣佈」,「測不準原理」:

3. 如果甲乙這兩個物理量互不相容,甲的標準差( \sigma_a )和乙的標準差( \sigma_b ),相乘之積一定不小於 \frac{\hbar}{2},而 \hbar 是「約化普朗克常數」(reduced Planck constant)。

\sigma_{a} \sigma_{b} \geq \frac{\hbar}{2}

換句話說,如果「甲的標準差」越小,「乙的標準差」就必然越大,反之亦然;因為兩者相乘,一定要大於一個固定的數值(「約化普朗克常數」的一半)。

4. 這數式背後想帶出的物理意義是,對於互不相容的兩個物理量「甲」和「乙」,

雖然你可以刻意建構一個量子物理系統,令到其對應的「物理量甲」,所對應的「標準差」極之細小,而「極之細小」在這裡的意思是,任意細小 —— 細小到你指定的程度;但是,你要付出的代價是,該個物理系統的「物理量乙」,所對應的「標準差」,就會相應變大。

「標準差甲」和「標準差乙」,並不能同時「任意細小」。

簡而言之,你建構出來的量子物理系統,如果「物理量甲」越確定,「物理量乙」就越不確定,反之亦然。

而在這裡,「確定」的意思是,在量度之前,「物理量甲」的眾多可能數值中,有一個或者一些數值,對應出現的機會率,遠遠大於其他數值,對應出現的機會率。「不確定」的意思則是,在量度之前,「物理量乙」的眾多可能數值中,各個數值的出現機會率相若;並沒有任何數值,對應出現的機會率特別大,有著壓倒性的優勢。

留意,在「測不準原理」的正式論述中,並沒有提及過「觀察者效應」。「測不準原理」之所以成立,並不是因為,觀察者在量度第一個物理量時,干擾或者改變了,原本物理系統的運行。

「測不準原理」所處理的,是有關在建構一個物理系統時,所要作出的考慮和妥協;而不是處理,在量度一個已有物理系統時,對該個物理系統原本的演化,所做成的影響。

雖然「觀察者效應」客觀存在,但它和「測不準原理」沒有直接關係。「測不準原理」所關心的,是「建構者妥協」,而不是「觀察者效應」。

— Me@2014.01.26

2014.01.26 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.7

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那樣,我們就可以說:

處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

這個『能量疊加狀態』的一個物理系統,如果複製成很多個相同的系統,然後各自量度能量數值的話,那堆能量數據的分佈,所對應的『標準差』,將等於  0.9428J。  

因為這個論述十分費時,所以我們會將它簡化成:

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的『標準差』是 0.9428J。

(安:等一等,讓我先整理一下。

你想講的是,每個量子態,都有對應的「標準差」(standard deviation)。而「標準差」就反映了,一堆數據的分散程度。)

無錯。

(安:那又怎樣?那跟「測不準原理」,又有什麼關係呢?)

「標準差」和「確定性」有著密切的關係。具體而言,一個量子態(例如)能量的「標準差」越大,即代表了可能的能量數值越分散。那樣,在量度之前,能量的「不確定性」就越大。

換句話說,「標準差」反映了「不確定性」。例如,我們試試比較兩個「疊加態」,各自的「標準差」:

疊加態甲:

\sqrt{\frac{1}{10}} | A \rangle + \sqrt{\frac{9}{10}} | B \rangle

的『標準差』是 0.6J。

疊加態乙:

\sqrt{\frac{1}{2}} | A \rangle + \sqrt{\frac{1}{2}} | B \rangle

的『標準差』,則是 1J。

你會發現,「疊加態乙」的「標準差」大於「疊加態甲」。那就代表乙比較甲「不確定」,符合我們的直觀感覺:

乙有 1/2 的機會,會被量度出,帶有 1J 的能量(「本徵態 A」的對應能量數值);而亦有 1/2 的機會,會被量度出,帶有 3J 的能量(「本徵態 B」的對應能量數值)。兩個可能數值,出現的機會率相同或者相若時,我們就「無從估計」,系統會出現兩個數值中的哪一個。

但是,甲卻有 9/10,即是有九成的機會率,會被量度出,帶有 3J 的能量(「本徵態 B」的對應能量數值)。那樣,我們就可以說,我們「相對確定」,系統帶有 3J 的能量。

— Me@2014.01.23

2014.01.23 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.6

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那樣,如果該物理系統,並不處於 A、B、C 狀態,即是不處於任何一個,「能量本徵態」的話,情況又會如何呢?

系統就會處於一個「非本徵態」,又稱「疊加狀態」。「疊加狀態」的意思是,「本徵態的疊加」。例如,系統可能處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的一個狀態。

那樣,你在量度之前,並不會知道,你得到的能量數值是 1J (「本徵態 A」的對應數值),還是 3J (「本徵態 B」的對應數值)。但是,你會知道,你有 1/3 的機會率,會得到 1J; 而亦有 2/3 的機會率,會得到 3J。

換句話說,如果將該物理系統複製成,120 萬個相同系統,然後量度它們各自的能量數值的話,你會發現,將有大概 1/3 的成員,即是 40 萬個,帶有 1J 的能量;另外有大概 2/3 的成員,即是 80 萬個,帶有 3J 的能量。

因為現在不只有一點數據,而是有一大堆的數據,所以我們可以討論,這堆數據的「標準差」(standard deviation)。「標準差」是一個統計學的測量,用來反映一堆數據的分散程度。「標準差」越大,就代表一堆數據越分散;「標準差」越小,就代表一堆數據越集中。

例如,在剛才的例子中,總共有 120 萬個能量數值。當中大概 40 萬個是 1J; 而大概 80 萬個是 3J。如果要找到這堆數據的「標準差」,你就要先運算出它們的「平均值」:

\frac{400000(1J) + 800000(3J)}{1200000}

= 2.333J

有了這個「平均值」後,我們就可以找到「標準差」:

\sqrt{\frac{400000(1-2.333)^2 + 800000(3-2.333)^2}{1200000}}

= 0.9428J

那樣,我們就可以說:

處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

這個『能量疊加狀態』的一個物理系統,如果複製成很多個相同的系統,然後各自量度能量數值的話,那堆能量數據的分佈,所對應的『標準差』,將等於 0.9428J。  

因為這個論述十分費時,所以我們會將它簡化成:

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的『標準差』是 0.9428J。

— Me@2014.01.14

2014.01.14 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.5

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

一個物理系統,是否正處於「本徵態」,要視乎相對於,哪一個物理量而言。一個物理系統,正處於物理量「甲」的「本徵態」,並不代表它正處於,另一個物理量「乙」的「本徵態」。換句話說,「甲的本徵態」,不一定是「乙的本徵態」。例如,「位置的本徵態」,不一定是「能量的本徵態」。

如果一個物理系統的狀態,有可能同時是物理量「甲」和物理量「乙」的 eigenstate(本徵態),「甲」和「乙」就為之 compatible observables(相容觀察量)。不可能的話,「甲」和「乙」就為之「不相容觀察量」。

你首先記住這一點。然後,我要跳去另一個問題 —— 如果一個物理系統,並不是處於(例如)能量的本徵態,我們會量度到什麼能量數值呢?

其實,你都會度到其中一個本徵態,所對應的數值,簡稱 eigenvalues(本徵值/特徵值)。

(安:什麼意思?

你的講法好像自相矛盾。不在「本徵態」,但又度到「本徵值」?)

無論一個物理系統,是否處於「能量本徵態」,你將會量度到的能量數值,都一定會是「能量本徵值」。

處於「能量本徵態」與否,具體的分別在於,如果系統是處於「能量本徵態」,你在量度之前,就可以知道,你會得到哪一個「能量本徵值」;但是,如果不是處於「能量本徵態」,你在量度之前,並不可能知道,你會得到哪一個「能量本徵值」。你可以知道的,就只是各個可能的「能量本徵值」,對應的出現機會率。

例如,假設一個物理系統,有「能量本徵態」 A、B 和 C,而順序對應的「能量本徵值」是 1J、3J 和 5J。

如果該物理系統正處於「本徵態 A」,你就一定會量度到能量數值 1J。換句話說,只要知道系統正處於「本徵態 A」,即使不用量度,你也知道系統當時,所帶的能量值是 1 焦耳。同理,如果該物理系統正處於「本徵態 B」,你就一定會量度到能量數值 3J;如果該物理系統正處於「本徵態 C」,你則一定會量度到能量數值 5J。

那樣,如果該物理系統,並不處於 A、B、C 狀態,即是不處於任何一個,「能量本徵態」的話,情況又會如何呢?

系統就會處於一個「非本徵態」,又稱「疊加狀態」。「疊加狀態」的意思是,「本徵態的疊加」。例如,系統可能處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的一個狀態。

那樣,你在量度之前,並不會知道,你得到的能量數值是 1J(「本徵態 A」的對應數值),還是 3J(「本徵態 B」的對應數值)。但是,你會知道,你有 1/3 的機會率會得到 1J,有 2/3 的機會率會得到 3J。

— Me@2014.01.07

2014.01.07 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.4

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

(安:你說「觀察者效應」,並不是「測不準原理」的核心內容。那樣,「測不準原理」的核心內容,又是什麼呢?)

量子力學之中,有些物理量,你是沒有辦法在量度之前,就透過預測,事先知道到它的數値。

(安:什麼意思?)

量子力學中,有一個術語,叫做 eigenstate(本徵態),意思是「本身帶有特徵的狀態」,簡稱「特別態」。例如,如果你正在考慮的物理系統,是一粒粒子,而該粒子正處於一個「位置的本徵態」,那樣,原則上,在量度那粒子之前,你就可以百分百準確地,預測到它在下一刻的位置。或者說,你毋須量度,也可以準確知道,那粒子在下一刻的位置。

但是,如果那粒子並不是,處於一個「位置的本徵態」,那樣,即使只在原則上而言,量子力學也不可以百分百準確地,運算到那粒子在下一刻的位置。量子力學可以運算到的,就只是那粒子在下一刻,在各個可能位置出現,對應的機會率。

一個物理系統,是否正處於「本徵態」,要視乎相對於哪一個物理量而言。一個物理系統,正處於物理量「甲」的「本徵態」,並不代表它正處於,另一個物理量「乙」的「本徵態」。換句話說,「甲的本徵態」,不一定是「乙的本徵態」。例如,「位置的本徵態」,不一定是「能量的本徵態」。

— Me@2013.12.25

2013.12.25 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.3

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

(安:那為什麼宏觀的物理系統,不會受到「測不準原理」的影響?)

其實都一樣會。但是,同一個誤差的幅度,即使對於微觀系統而言,是舉足輕重,但對於宏觀系統來說,可以是微不足道。

在這裡,「誤差」的意思是「不確定性」。

— Me@2013.12.16

2013.12.16 Monday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.2

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那樣,校長的觀察,就改變了整體的課堂氣氛,導致他不能百分百地,觀察得到原本想觀察的東西。

但是,這只是一般人對「測不準原理」的理解,並不準確。這「觀察者效應」,只是「測不準原理」的一小部分意思,並不是「測不準原理」的核心內容。

(安:一般人也理解錯誤?)

我是指懂得物理的一般人,而不是一般的一般人。

(安:雖然你說,「觀察者效應」並不是「測不準原理」的主因,或者主要意思,但是我想先討論一下。

原則上,有沒有可能,觀察到一個物理系統,讀取到有關的資料,而又不影響到,該個物理系統呢?)

沒有可能,因為凡是量度一個物理系統的數據,你就必定會和它有溝通、有相互作用。換句話說,你已經加入了該個物理系統。或者說,你已經和原本的物理系統一起,形成了一個大一點的物理系統。

在這裡,「你」是指「觀察者」,或者「量度儀器」。

— Me@2013.12.14

2013.12.14 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.1

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

(安:「測不準原理」(uncertainty principle)的意思是,凡是觀察一個物理系統,你的觀察本身,都會影響到該個物理系統,導致你不能百分百地,觀察到原本想觀察的東西。)

無錯。例如,我以前在中學教學時,校長有時會入課室視學,觀察一下我的教學質素,和學生的學習態度。但是,校長一走入課室,教師和學生的表現,自然會與平日不同。例如,原本健談的學生,都會靜了下來。

那樣,校長的觀察,就改變了整體的課堂氣氛,導致他不能百分百地,觀察得到原本想觀察的東西。

但是,這只是一般人對「測不準原理」的理解,並不準確。這「觀察者效應」,只是「測不準原理」的一小部分意思,並不是「測不準原理」的核心內容。

— Me@2013.12.09

2013.12.09 Monday (c) All rights reserved by ACHK

物理定律團 1.4

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

什麼東西是「軟件」,什麼東西是「硬件」,雖然非常客觀,但不是絕對客觀。有時會出現一些模稜兩可的情況。

從這個角度看,一樣東西究竟應該叫做「硬件」還是「軟件」,其實是一種 convention(習俗慣例)。

convention ~ the most convenient labeling system

所謂的「習俗慣例」,「最方便的標籤系統」也。至於那個標籤方法最方便,則需要視乎上文下理而定。例如,對於「硬碟」而言,在一般情況下,我們會標籤為「硬件」,因為「硬碟」是「物件」,你可以用手拿著它;拿著它時,你又可能會擔心稍一不慎,會把它掉在地下弄壞。

但是,如果你是硬碟工程師,你拿著一個硬碟設計圖和同事討論時,那個「硬碟」,就仍然只是一個「設計」,暫時未有實物。那時,你標籤它為「軟件」比較恰當。

同理,什麼東西是「物理定律」,什麼東西是「物理系統」,雖然非常客觀,但不是絕對客觀。有時會出現一些模稜兩可的情況。

— Me@2013.10.28

2013.10.28 Monday (c) All rights reserved by ACHK