乘法意思 1.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

Young man, in mathematics you don’t understand things. You just get used to them.

— John von Neumann

數學之中,越基礎的內容,有時會越難解釋。那些基礎內容,我們有時會以為自己明白。那只是因為,我們已經習慣了那些東西。「習慣」冒充了「明白」的感覺。例如,「3 乘以 2」 是什麼意思?

(安:「3 乘以 2」即是有兩個 3 加在一起,所以是 6。

3 x 2 = 3 + 3 = 6

無錯。那「3 乘以 2.1」 呢?何謂「有 2.1 個 3 加在一起」?

3 x 2.1 = ?

(安:我們可以把「3 乘以 2.1」,看成有三個 2.1 加在一起:

3 x 2.1

= 2.1 x 3

= 2.1 + 2.1 + 2.1

= 6.3 

都可以。那樣,「3.1 乘以 2.1」呢?

— Me@2013.01.30

2013.01.31 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

No-cloning theorem 3

No-cloning in a classical context

There is a classical analogue to the quantum no-cloning theorem, which we might state as follows: given only the result of one flip of a (possibly biased) coin, we cannot simulate a second, independent toss of the same coin. The proof of this statement uses the linearity of classical probability, and has exactly the same structure as the proof of the quantum no-cloning theorem.

Thus if we wish to claim that no-cloning is a uniquely quantum result, some care is necessary in stating the theorem. One way of restricting the result to quantum mechanics is to restrict the states to pure states, where a pure state is defined to be one that is not a convex combination of other states. The classical pure states are pairwise orthogonal, but quantum pure states are not.

— Wikipedia on No-cloning theorem

2013.01.30 Wednesday ACHK

驗算極限 1.1

微積分 3.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

運算 limit(極限值)的題目時,有一個很簡單的方法驗算。那就是用計數機再運算一次。例如,假設你透過徒手運算,得到以下答案:

lim_{x -> 3} (x^2 – 9)/(x – 3) = 6

用計數機驗算時,雖然你不可以代 3 落 x 之中,因為那會導致分母變 0,但是,你卻可以代一個十分接近 3 的數字,例如 3.001,看看那數學式子的數值,是否十分接近你的運算結果。(還有,那正正是 limit 這個抽象數學概念,背後的真正實際意思。)

(3.001^2 – 9)/(3.001 – 3) = 6.001

但是,如果 x 所趨向的是「無限大」,你應代什麼數,才為之「接近無限大」呢?

你可以試試代一個大數,例如 100,000。我們看看另一道例題:

lim_{x -> infinity} (3 x^2 – 9 x – 3)(4 x^2 – 3)

你先徒手運算。假設得到的答案是 3/4。然後,你用計數機,把 x = 100,000 代落數式之中:

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3}{4(100000)^2 – 3)

如果你發覺計數機的結果,十分接近你的答案,你運算錯誤的機會,就微乎其微。

(3 (100000)^2 – 9 (100000) – 3)/(4(100000)^2 – 3) = 0.7499775

— Me@2013.01.29

2013.01.30 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

Answer to the Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything

Cosmic religion 2

Whatever the nature of life and universe is, doing good is good.

— Me@2010.12.12

But be careful. By “doing good”, I refer to long-term good. Sometimes, short-term goods would create long-term evils. You should avoid doing such kind of goods.

Also, even for long-term goods, you should consider the opportunity costs. As your time is limited, you cannot do them all. You have to prioritize.

— Me@2013-01-28 11:33:24 AM

2013.01.28 Monday (c) All rights reserved by ACHK

平行宇宙 3.3

西瓜 8.3 | Copy Me, 6.3 | Verification principle, 4.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

The difference that makes no difference makes no difference.

無關痛癢的分別,毋須理會。

你這個問題,其實是哲學裡的 problem of identity,即是「同一問題」,或者「身份問題」。「身份問題」追究的是,何謂「同一個人」?

我們在上幾次,討論「時間定義」和「記憶」時,已經探討過這個問題。正如剛才所講,是否「同一個自我」,要視乎你自己的定義。「定義」即是「用法」,並沒有「對錯」可言,只有「恰不恰當」。

一個比較恰當的定義是,根據洛克(John Locke)的標準 —— 有同一個記憶,就為之「同一個自我」。

— Me@2013.01.28

2013.01.28 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Schrodinger’s cat

You should not apply a single-particle wavefunction to Schrodinger’s cat. Instead, you should either use classical physics or use a wavefunction for all the particles of the cat.

— Me@2013-01-23 10:25:00 AM

The uncertainty in Schrodinger’s cat’s life or death problem is classical uncertainty, not quantum uncertainty. For an observer outside the box, the cat is in a mixed state, not just a superposition of quantum eigenstates. The probability in a mixed state is classical, not quantum.

— Me@2013-01-27 09:59:13 AM

2013.01.27 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

考慮次序與否 2.2

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

有一個袋子,內裡有十張卡紙。每張卡紙上,都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」,即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙,不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。問題是,你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少?

P 方法:

S 方法:

我們先考慮所有可能結果的總數,放於分母;然後,再考慮可以接受的結果有多少,放於分子。

(_)
(   )

總共有 10 字母,選 3 個出來,所以共有 10_C_3 個可能。(10_C_3)即是 「10 選 3」,等於 120。

(____)
(10_C_3)

而眾多可能的結果中,我們接受的,是「兩 A 一 B」的情況。換句話說,即是要從三個 A 中,選兩個出來;從三個 B 中,選一個出來;和從四個 C 中,選零個出來。

(3_C_2)(3_C_1)(4_C_0)
____________
          (10_C_3)

   (3)(3)(1)
= _____
      (120)

結論是,抽到三個 A 的機會率是 3/40。

(3)(3)(1)
_____
   (120)

= 3/40

答案和 P 方法的結果相同,即是正確的機會很大。

— Me@2013.01.27

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.27 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Energy conservation, 4

Is Energy Conserved in General Relativity?

In special cases, yes. In general — it depends on what you mean by “energy”, and what you mean by “conserved”.

We will not delve into definitions of energy in general relativity such as the hamiltonian (amusingly, the energy of a closed universe always works out to zero according to this definition), various kinds of energy one hopes to obtain by “deparametrizing” Einstein’s equations, or “quasilocal energy”.  There’s quite a bit to say about this sort of thing!  Indeed, the issue of energy in general relativity has a lot to do with the notorious “problem of time” in quantum gravity. . . but that’s another can of worms.

— Original by Michael Weiss and John Baez

2013.01.26 Saturday ACHK

大世界 6

R4

Idiot 3

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Your world is your world.

– Ludwig Wittgenstein

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你的主觀世界, 並不是客觀世界的全部.

– Translation, Me@2009.09.16

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愚蠢的人以為自己的主觀世界, 就是客觀世界. 所以, 他們不知道自己的愚蠢.

聰明的人知道自己的主觀世界, 只是客觀世界的一小部分. 所以, 他們可以真切感受到自己的愚蠢.

– Me@2009.09.17

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.

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2009.09.18 Friday (c) ACHK

平行宇宙 3.2

西瓜 8.2 | Copy Me, 6.2 | Verification principle, 4.2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

我們可以把「同一個宇宙」定義為,一個有「因果關係」的時空區域。「平行宇宙」這個詞語中的「平行」,是指老死不相往來,互不相干。如果有兩個時空區域,完全沒有任何形式的因果連繫,我們就應該把那兩個區域,標籤為「兩個宇宙」。

(安:但是,我問題的前提是,我有一部時光機。我有可能由一個平行宇宙「甲」,走到另一個平行宇宙「乙」。那樣,「宇宙甲」就可以透過我和我的時光機,去影響「宇宙乙」。甲乙就開始有因果關係。原本的兩個「平行宇宙」,亦都不再「平行」。那樣,難道甲乙宇宙,就為之「二合為一」嗎?

另外,即使現實世界只有一個宇宙,由於宇宙膨脹的速度比光速還高,而光速本身,又是宇宙中訊息傳遞的終極最高速度,宇宙中的很多區域之間,自盤古初開,就永世不相往來,不可能有任何「因果關係」。那樣,難道那眾多區域,就為之「多重宇宙」嗎?)

你帶出了問題的重點。那是言辭之爭。

是否「同一個宇宙」,要視乎你自己的定義。「定義」即是「用法」,並沒有「對錯」可言,只有「恰不恰當」。

如果是一個常用的詞語,社會有一個慣常的用法,而你卻在沒有任何理據,和沒有事先聲明的情況下,用了一個極端不同的定義,那就為之「不恰當」。例如,「電腦」的一般意思是解作「運算機器」。如果你卻用這個詞語來指「蘋果」,就會引起很大的誤會。例如,當你說「我每天也會吃一個電腦」時,大家也會覺得你是瘋子。

但是,「同一個宇宙」並不是常用詞語,並沒有一個約定俗成、相對客觀的用法。既然沒有「先天的恰當定義」,那就應該「用者自付」。既然是你帶頭使用這個罕見詞彙,你就應該自己先給予一個清晰的定義。如果大家也接受,我們就可以用它,來繼續討論問題。

換句話說,你應該由自己回答,你原本的問題 —— 怎樣分辨「兩個平行宇宙」和「同一個宇宙的兩個不同區域」?

你要講得出,至少在原則上,「去了另一個平行宇宙」和「去了同一個宇宙的另一個區域」,會有什麼觀察結果上的分別。

如果你講得出有什麼分別 —— 例如「在同一個宇宙,我的薪金不會變;但是在另一個宇宙,我的薪金會加倍」—— 你就毋須問我如何分辨,因為,你只要看看自己的薪金有沒有變,就可以知道,究竟自己是「去了另一個平行宇宙」,還是「去了同一個宇宙的另一個區域」。如果你講不出有什麼分別,你問我如何分辨也沒有意思,因為那代表了,根據你的用法,「兩個平行宇宙」和「同一個宇宙的兩個不同區域」,根本是同義詞。

The difference that makes no difference makes no difference.

無關痛癢的分別,毋須理會。

— Me@2013.01.26

2013.01.26 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

web.py

The web.py slogan is: “Think about the ideal way to write a web app. Write the code to make it happen.”

This is literally how I developed web.py. I wrote a web application in Python just imagining how I wanted the API to be.

— The web.py Philosophy

— Aaron Swartz

2013.01.25 Friday ACHK

Writing and Speaking

I’m not a very good speaker. I say “um” a lot. Sometimes I have to pause when I lose my train of thought. I wish I were a better speaker. But I don’t wish I were a better speaker like I wish I were a better writer. What I really want is to have good ideas, and that’s a much bigger part of being a good writer than being a good speaker.

Having good ideas is most of writing well. If you know what you’re talking about, you can say it in the plainest words and you’ll be perceived as having a good style. With speaking it’s the opposite: having good ideas is an alarmingly small component of being a good speaker.

I first noticed this at a conference several years ago. There was another speaker who was much better than me. He had all of us roaring with laughter. I seemed awkward and halting by comparison. Afterward I put my talk online like I usually do. As I was doing it I tried to imagine what a transcript of the other guy’s talk would be like, and it was only then I realized he hadn’t said very much.

— Writing and Speaking

— March 2012

— Paul Graham

2013.01.25 Friday ACHK

考慮次序與否 2.1

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

初學機會率的其中兩個最大難處是,要釐清「什麼時候要考慮次序」和「怎樣為之『相同情況』」,例如:

我們再考慮另一個例子:

有一個袋子,內裡有十張卡紙。每張卡紙上,都寫上了一個英文字母。那十個字母分別是「AAABBBCCCC」,即是三個 A、三個 B 和 四個 C。你將要抽其中三個字母出來。被抽出來的卡紙,不會放回袋中。

假設整個過程是隨機的,即是各個可能性的機會均等。問題是,你抽中「兩 A 一 B」的機會率是多少?

P 方法:

總共要抽三個字母:

(_)(_)(_)

抽第一個時,總共有十個字母,而你想要的 A,則有三個。所以,第一個機會率分數是十分之三(3/10)。

(3/10)(_)(_)

抽第二個時,總共餘下九個字母,而你想要的 A,則還有兩個。所以,第二個機會率分數是九分之二(2/9)。

(3/10)(2/9)(_)

最後,總共餘下八個字母,而你想要的 B,則有三個。所以,第三個機會率分數是八分之三(3/8)。

(3/10)(2/9)(3/8)

暫時的結論是,抽到 A A B 的機會率是 1/40。

(3/10)(2/9)(3/8)

= 1/40

在用「S 方法」驗算前,我們先考慮,我們需不需要,再額外考慮「次序問題」呢?

需要,因為剛才那幾個機會率分數,只包括了 A A B,即是「頭兩個是 A 而最尾一個是 B」的情況。那並不是題目的設定。題目並沒有要求三個之中,哪一個是 B。所以,還有其他情況需要考慮:

(A)(A)(B)

(A)(B)(A)

(B)(A)(A)

(HYC:這一題很明顯是只有三種情況。但是,當題目不是那麼簡單,數字不是那麼小,而是要我選(例如)「四 C 三 A」時,我怎樣保證,可以羅列所有相關的情況,沒有遺漏?)

你可以這樣想:

(_)(_)(_)

三格之中,你要放一個是 B,有多少方法呢?

很明顯,有 3_C_1 種可能。3_C_1 即是「3 選 1」,等於 3。所以,你只要將剛才的中途結果乘以 3,就可以得到最終答案。

(3/10)(2/9)(3/8)3_C_1

=(1/40)3

= 3/40

結論是,抽到「兩 A 一 B」的機會率是 3/40。

(HYC:我明白為何共有 3_C_1 種情況。但是,我不明白,為何只要將 3_C_1 乘上其中一個案例的機會率,就可以得到整體的機會率。)

你的憂慮是合理的。實情是,那 3_C_1 種情況,是三種不同的處境,需要各自計算,然後把它們相加,來得出整體的機會率。

(A)(A)(B)=(_)(_)(_)

(A)(B)(A)=(_)(_)(_)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

剛才運算過,「(A)(A)(B)」的機會是 1/40。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(_)(_)(_)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

而第二種情況「(A)(B)(A)」,抽到第一張是 A 的機會是 3/10,因為十張卡紙中,有三張是 A;抽第二張是 B 的機會是 3/9,因為餘下的九張卡紙中,有三張是 B;抽第三張是 C 的機會是 2/8,因為餘下的八張卡紙中,還剩兩張是 A。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

(B)(A)(A)=(_)(_)(_)

類似地,第三種情況「(B)(A)(A)」的機會是(3/10)(3/9)(2/8)。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

(B)(A)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)

理論上,三種情況要各自計算,從而會有三道不同的算式。但是實際上,你會發覺三道不同算式,會有相同的結果,都是 1/40。

(A)(A)(B)=(3/10)(2/9)(3/8)= 1/40

(A)(B)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)= 1/40

(B)(A)(A)=(3/10)(3/9)(2/8)= 1/40

所以,剛才的講法「只要把『(A)(A)(B)』的機率乘以 3_C_1,就可以得以整體結果」,雖然概念上「有點不負責任」,但實際上,會得到正確的最終答案。

還有,很多時候,那是必須的捷徑。例如,如果題目問你「從『AAABBBCCCC』中,抽出七個字母,抽到『兩 A、兩 B 和 三 C』的機會是多少」,你就總共有 210 種情況要各自考慮、個別運算,除非你願意使用捷徑。

— Me@2013.01.24

致讀者:如發現本文有思考漏洞,或者運算錯誤,請以電郵告知本人。謝謝!

— Me@2012.10.17

2013.01.25 Friday (c) All rights reserved by ACHK

Chrono Trigger

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Setting Out! The Dreamy Millennial Festival
The Queen who Returned
The Vanished Princess
I’m Home!
Kingdom Trial
Across the Ruins……
Factory Ruins in the Land of Mystery
The Farthest Reaches of Time
People of the Demon Village
Appeared: The Legendary Hero
Tarta and Frog
Red Stone, Rare Stone
Footprints! Track!!
Fight! Grandleon
Decisive Battle! Magus Castle!!
Before You Realize It, Primeval
Law of the Earth
Kingdom of Magic: Zeal
Release the Seal, Call Forth a Storm
The Philosopher on Grief Mountain
That Which Awaits in the Sky
The Call of Lavos
The Ancient Era’s New King
The Egg of Time
To the Fateful Time……
At the End of the Planet’s Dream
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– Chrono Compendium
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2010.01.03 Sunday ACHK