The problem of induction 3.2

The meaning of induction is that

we regard, for example, that

“AAAAA –> the sixth is also A”

is more likely than

“AA –> the second is also A”

 

We use induction to find “patterns”. However, the induced results might not be true. Then, why do we use induction at all?

There is everything to win but nothing to lose.

— Hans Reichenbach

If the universe has some patterns, we can use induction to find those patterns.

But if the universe has no patterns at all, then we cannot use any methods, induction or else, to find any patterns.

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However, to find patterns, besides induction, what are the other methods?

What is meaning of “pattern-finding methods other than induction”?

— Me@2012.11.05

— Me@2018.12.10

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2018.12.10 Monday (c) All rights reserved by ACHK

The problem of induction 3

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In a sense (of the word “pattern”), there is always a pattern.

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Where if there are no patterns, everything is random?

Then we have a meta-pattern; we can use probability laws:

In that case, every (microscopic) case is equally probable. Then by counting the possible number of microstates of each macrostate, we can deduce that which macrostate is the most probable.

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Where if not all microstates are equally probable?

Then it has patterns directly.

For example, we can deduce that which microstate is the most probable.

— Me@2012.11.05

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2018.11.19 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Monty Hall problem 1.6

Sasha Volokh (2015) wrote that “any explanation that says something like ‘the probability of door 1 was 1/3, and nothing can change that…’ is automatically fishy: probabilities are expressions of our ignorance about the world, and new information can change the extent of our ignorance.”

— Wikipedia on Monty Hall problem

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2018.11.02 Friday ACHK

The square root of the probability

Probability amplitude in Layman’s Terms

What I understood is that probability amplitude is the square root of the probability … but the square root of the probability does not mean anything in the physical sense.

Can any please explain the physical significance of the probability amplitude in quantum mechanics?

edited Mar 1 at 16:31
nbro

asked Mar 21 ’13 at 15:36
Deepu

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Part of you problem is

“Probability amplitude is the square root of the probability […]”

The amplitude is a complex number whose amplitude is the probability. That is \psi^* \psi = P where the asterisk superscript means the complex conjugate.{}^{[1]} It may seem a little pedantic to make this distinction because so far the “complex phase” of the amplitudes has no effect on the observables at all: we could always rotate any given amplitude onto the positive real line and then “the square root” would be fine.

But we can’t guarantee to be able to rotate more than one amplitude that way at the same time.

More over, there are two ways to combine amplitudes to find probabilities for observation of combined events.

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When the final states are distinguishable you add probabilities:

P_{dis} = P_1 + P_2 = \psi_1^* \psi_1 + \psi_2^* \psi_2

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When the final state are indistinguishable,{}^{[2]} you add amplitudes:

\Psi_{1,2} = \psi_1 + \psi_2

and

P_{ind} = \Psi_{1,2}^*\Psi_{1,2} = \psi_1^*\psi_1 + \psi_1^*\psi_2 + \psi_2^*\psi_1 + \psi_2^* \psi_2

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The terms that mix the amplitudes labeled 1 and 2 are the “interference terms”. The interference terms are why we can’t ignore the complex nature of the amplitudes and they cause many kinds of quantum weirdness.

{}^1 Here I’m using a notation reminiscent of a Schrödinger-like formulation, but that interpretation is not required. Just accept \psi as a complex number representing the amplitude for some observation.

{}^2 This is not precise, the states need to be “coherent”, but you don’t want to hear about that today.

edited Mar 21 ’13 at 17:04
answered Mar 21 ’13 at 16:58

dmckee

— Physics Stack Exchange

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2018.08.19 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Quantum Computing, 2

stcredzero 3 months ago

A note for the savvy: A quantum computer is not a magic bit-string that mysteriously flips to the correct answer. A n-qubit quantum computer is not like 2^n phantom computers running at the same time in some quantum superposition phantom-zone. That’s the popular misconception, but it’s effectively ignorant techno-woo.

Here’s what really happens. If you have a string of n-qubits, when you measure them, they might end up randomly in [one] of the 2^n possible configurations. However, if you apply some operations to your string of n-qubits using quantum gates, you can usefully bias their wave equations, such that the probabilities of certain configurations are much more likely to appear. (You can’t have too many of these operations, however, as that runs the risk of decoherence.) Hopefully, you can do this in such a way, that the biased configurations are the answer to a problem you want to solve.

So then, if you have a quantum computer in such a setup, you can run it a bunch of times, and if everything goes well after enough iterations, you will be able to notice a bias towards certain configurations of the string of bits. If you can do this often enough to get statistical significance, then you can be pretty confident you’ve found your answers.

— An Argument Against Quantum Computers

— Hacker News

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2018.05.17 Thursday ACHK

Mixed states

To me the claim that mixed states are states of knowledge while pure states are not is a little puzzling because of the fact that it is not possible to uniquely recover what aspects of the mixed state are subjective and what aspects are objective.

The simple case is this:

Let’s work with a spin-1/2 particle, so there are states:

|0 \rangle
|1 \rangle
|+ \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |0 \rangle + |1 \rangle \right)
|- \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |0 \rangle - |1 \rangle \right)

The mixed state corresponding to 50% |0> + 50% |1> is the SAME as the mixed state corresponding to 50% |+> + 50% |->.

— Daryl McCullough

— Comment #13 November 19th, 2011 at 2:00 pm

— The quantum state cannot be interpreted as something other than a quantum state

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\frac{1}{2}_c | + \rangle \langle + | + \frac{1}{2}_c | - \rangle \langle - |

=\frac{1}{2}_c \left( \frac{1}{\sqrt{2}}_q | 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}_q | 1 \rangle \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}}_q \langle 0 | + \frac{1}{\sqrt{2}}_q \langle 1 | \right)+ \frac{1}{2}_c \left( \frac{1}{\sqrt{2}}_q | 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}_q | 1 \rangle \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}}_q \langle 0 | - \frac{1}{\sqrt{2}}_q \langle 1 | \right)

=\frac{1}{2}_c \frac{1}{\sqrt{2}}_q \frac{1}{\sqrt{2}}_q \left( | 0 \rangle + | 1 \rangle \right) \left( \langle 0 | + \langle 1 | \right)+ \frac{1}{2}_c \frac{1}{\sqrt{2}}_q \frac{1}{\sqrt{2}}_q \left( | 0 \rangle - | 1 \rangle \right) \left( \langle 0 | - \langle 1 | \right)

=\frac{1}{2}_c \frac{1}{2}_q \left( | 0 \rangle + | 1 \rangle \right) \left( \langle 0 | + \langle 1 | \right) + \frac{1}{2}_c \frac{1}{2}_q \left( | 0 \rangle - | 1 \rangle \right) \left( \langle 0 | - \langle 1 | \right)

=\frac{1}{2}_c \frac{1}{2}_q \left( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | + | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | \right)

=\frac{1}{2}_c \frac{1}{2}_q \left( 2_c | 0 \rangle \langle 0 | + 2_c | 1 \rangle \langle 1 | \right)

= \frac{1}{2}_q | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2}_q | 1 \rangle \langle 1 |

— Me@2018-03-11 03:14:57 PM

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How come the classical probabilities \frac{1}{2}_c of a density matrix in one representation can become quantum probabilities \frac{1}{2}_q in another?

\frac{1}{2}_c | + \rangle \langle + | + \frac{1}{2}_c | - \rangle \langle - | = \frac{1}{2}_q | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2}_q | 1 \rangle \langle 1 |

1. Physically, whether we label the coefficients as “classical probabilities” or “quantum probabilities” gives no real consequences. The conflict lies only in the interpretations.

2. The interpretation conflict might be resolved by realizing that probabilities, especially classical probabilities, is meaningful only when being with respect to an observer.

For example,

\frac{1}{2}_c | + \rangle \langle + | + \frac{1}{2}_c | - \rangle \langle - | = \frac{1}{2}_q | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2}_q | 1 \rangle \langle 1 |

represents the fact that the observer knows that the system is either in state |+\rangle \langle+| or |-\rangle \langle-|, but not |0 \rangle \langle 0| nor |1 \rangle \langle 1|.

However,

\frac{1}{2}_c | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2}_c | 1 \rangle \langle 1 |

represents the fact that the observer knows that the system is either in state |0 \rangle \langle 0| or |1 \rangle \langle 1|, but not |+\rangle \langle+| nor |-\rangle \langle-|.

— Me@2018-03-13 08:10:46 PM

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2018.03.14 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

Quantum Indeterminacy

注定外外傳 1

Quantum indeterminacy is the apparent necessary incompleteness in the description of a physical system, that has become one of the characteristics of the standard description of quantum physics.

Indeterminacy in measurement was not an innovation of quantum mechanics, since it had been established early on by experimentalists that errors in measurement may lead to indeterminate outcomes. However, by the later half of the eighteenth century, measurement errors were well understood and it was known that they could either be reduced by better equipment or accounted for by statistical error models. In quantum mechanics, however, indeterminacy is of a much more fundamental nature, having nothing to do with errors or disturbance.

— Wikipedia on Quantum indeterminacy

Quantum indeterminacy is the inability to predict the behaviour of the system with 100% accuracy, even in principle.

If everything is connected

, quantum indeterminacy is due to the logical fact that, by definition, a “part” cannot contain (all the information of) the “whole”.

An observer (A) cannot separate itself from the system (B) that it wants to observe, because an observation is an interaction between the observer and the observed

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In order to get a perfect prediction of a measurement result, observer (A) must have all the information of the present state of the whole system (A+B). However, there are two logical difficulties.

First, observer A cannot have all the information about (A+B).

Second, observer A cannot observe itself to get (all of) its present state information, since an observation is an interaction between two entities. Logically, it is impossible for something to interact with itself directly. Just as logically, it is impossible for your right hand to hold your right hand itself. 

So the information observer A can get (to the greatest extent) is all the information about B, which is only part of the system (A+B) it (A) needs to know in order to get a prefect prediction for the evolution of the system B.

— Me@2015-09-14 08:12:32 PM

2015.09.15 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

假名定律 1.2

反白論前傳:冠名篇 2.2

Jesus, Buddha, Einstein 3.2

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

(安:經濟學家張五常先生提過,有一篇經濟論文指出,凱恩斯(John Maynard Keynes)的經濟理論,和「凱恩斯學派」的經濟理論,不盡相同,雖然整個學派是以「凱恩斯」來命名。)

那不算出奇,因為有很多類似的現象,例如,甘地講過:

我認同基督。我不認同基督徒。

很多「基督徒」的言行,也和「基督」太不相像。

又例如,「機會率」有兩大學派,「頻率學派」和「貝葉斯學派」。「貝葉斯學派」雖然以數學家貝葉斯(Thomas Bayes)來命名,但是,貝葉斯並不算是,「貝葉斯學派的成員」(Bayesian),因為,「貝葉斯學派」中有很多理論,例如,「貝葉斯學派」對「機會率」的詮釋,也不是貝葉斯本人的意見。

Bayes himself might not have embraced the broad interpretation now called Bayesian. It is difficult to assess Bayes’s philosophical views on probability, since his essay does not go into questions of interpretation.

— Wikipedia on Thomas Bayes

— Me@2014.04.11

I like your Christ. I do not like your Christians. Your Christians are so unlike your Christ. The materialism of affluent Christian countries appears to contradict the claims of Jesus Christ that says it’s not possible to worship both Mammon and God at the same time.

– Mohandas K. Gandhi

2014.04.11 Friday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.11

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

換句話說,我們不應該把「甲+乙」(甲加乙),視為純粹是「甲」的延續;我們應該把「甲+乙」和「甲」視為,兩個獨立的系統。

(安:但是,根據我們之前,有關「時間定義」的討論,「影響」和「更換」,沒有絕對的分別。在某個意思之下,「影響」和「更換」,是同一樣東西。

方便起見,我把「甲」稱為 A,而「甲+乙」,則簡稱為 B。

是「影響」還是「更換」,要視乎你把 A 和 B 標籤為,「同一個系統的兩個不同(時間)版本」,還是「兩個不同的系統」。

那只是言辭之爭。你沒有絕對的理據,去禁止兩者之中的任何一個。)

一般的情況下,你可以這樣說。但在「測不準原理」的上文下理當中,用「影響」會相當誤導。

如果我們說「量度儀器」(乙),「影響」了「原本物理系統」(甲),人們會以為「乙」量度「甲」時,影響的是個別的觀測結果。例如,其中一個流行但錯誤的講法是:

因為你量度一粒粒子的位置時,需要『看』它,所以需要把光照射到它身上。當光子撞擊到那粒子時,自然會影響到粒子的速度,亦即是改變了它原本的速度。換句話說,你量度粒子位置,這個動作本身,就導致你不能再準確量度到,它原本的速度。

但是,「測不準原理」所要處理的,並不是一個物理系統的個別觀測結果;「測不準原理」所要處理的,是一個物理系統,複製成眾多相同系統後,作同一個物理量的量度時,眾多結果所形成的統計模式。簡而言之,「測不準原理」處理的,是一個物理系統,量度數據的統計模式。

雖然「觀察者效應」,並不是「測不準原理」的重心正文,但是,只要你不用「影響」,而改用「更換」,就不會引起任何誤會。你自然可以得到正確的「觀察者效應測不準原理版」:

凡是觀察都必須加入『量度儀器』(乙),於你想觀察的『物理系統』(甲)之中。

『甲+乙』(甲加乙)是一個新的物理系統,所以,其眾多量度數據的統計模式,自然和『甲』的統計模式,有所不同。

因為你必須把『甲』,『更換』成『甲+乙』,所以無可避免地,你會失去,即是觀察不到,『原本物理系統』(甲),量度數據的統計模式。

— Me@2014.02.05

2014.02.05 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.10

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

(安:你的意思是,「測不準原理」成立,是「觀察者效應」成立的原因,而不是相反。一般人之所以錯,是因為不小心地,把「測不準原理」和「觀察者效應」的因果關係倒轉了。)

歸根究底,把「測不準原理」,誤會成「觀察者效應」的原因是,混淆了「影響」和「更換」;而一般人也會那樣混淆的原因是,「影響」和「更換」,可統稱為「改變」。

沿用剛才的簡稱,「甲」代表「原本的物理系統」;「乙」代表「額外量度儀器」。

在「測不準原理」的觀點下,描述「觀察者效應」時,我們應該把,「加入新的量度儀器(乙),於原本的物理系統(甲)之中」這個動作,視為「更換」了物理系統,而不是「影響」了原本的物理系統。

換句話說,我們不應該把「甲+乙」(甲加乙),視為純粹是「甲」的延續;我們應該把「甲+乙」和「甲」視為,兩個獨立的系統。

(安:但是,根據我們之前,有關「時間定義」的討論,「影響」和「更換」沒有絕對的分別。在某個意思之下,「影響」和「更換」,是同一樣東西。

方便起見,我把「甲」稱為 A,而「甲+乙」,則簡稱為 B。

是「影響」還是「更換」,要視乎你把 A 和 B 標籤為,「同一個系統的兩個不同(時間)版本」,還是「兩個不同的系統」。

那只是言辭之爭。你沒有絕對的理據,去禁止兩者之中的任何一個。)

— Me@2014.02.01

2014.02.02 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.9

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

「測不準原理」所處理的,是有關在建構一個物理系統時,所要作出的考慮和妥協;而不是處理,在量度一個已有物理系統時,對該個物理系統原本的演化,所做成的影響。

雖然「觀察者效應」客觀存在,但它和「測不準原理」沒有直接關係。「測不準原理」所關心的,是「建構者妥協」,而不是「觀察者效應」。

(安:那樣,為什麼一般人也錯誤以為,「測不準原理」和「觀察者效應」,有直接關係呢?)

我們先再回顧一下,一般人易於理解,但難於正確的講法:

凡是觀察一個物理系統,你的觀察本身,都會影響到該個物理系統,導致你不能百分百地,觀察到原本想觀察的東西。

(安:這個講法合理正確,為何你說它「難於正確」呢?)

這個講法,只是正確的「觀察者效應」,但不是正確的「測不準原理」。

如果要在「測不準原理」的觀點下,描述「觀察者效應」,我們就應該這樣說:

『觀察者』或者『量度儀器』,一定會和原本的物理系統,有相互作用,導致互相影響。換句話說,『量度儀器』(乙)必然地加入了,它想量度的『原本物理系統』(甲)。換而言之,『甲』和『乙』在一起,形成了一個新的物理系統。

因為新的物理系統『甲+乙』(甲加乙),和原本的物理系統『甲』,是兩個不同的物理系統,『甲+乙』各個物理量的『標準差』,和『甲』各個物理量的『標準差』,自然有所不同。亦即是話,『甲+乙』各個物理量的『確定程度』,和『甲』各個物理量的『確定程度』,必定有所分別。

留意,以上並不是「測不準原理」的真身,而只是「測不準原理」的其中一個例子 —— 應用「測不準原理」,來解釋「觀察者效應」的由來。

你可以用「測不準原理」,來解釋「觀察者效應」,但不可以用「觀察者效應」,來解釋「測不準原理」。

(安:你的意思是,「測不準原理」成立,是「觀察者效應」成立的原因,而不是相反。一般人之所以錯,是因為不小心地,把「測不準原理」和「觀察者效應」的因果關係倒轉了。)

— Me@2014.01.29

2014.01.29 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.8

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

要明白「測不準原理」的真正嚴格意思,你就要首先明白兩個要點:

1. 有些物理量的配對,是 incompatible observables(不相容觀察量)。

如果一個物量系統的物理量,「甲」和「乙」並不相容,該系統就沒有可能,同時處於「甲」的 eigenstate(本徵態)和「乙」的 eigenstate。換句話說,該系統不可能有一個狀態,同時是甲乙的「本徵態」。

2. 兩件事不可以同時發生,不代表不可以同時不發生。

該個物理系統,即使不可能同時是甲乙的「本徵態」,但仍然有可能同時,既不是「甲」的「本徵態」,亦不是「乙」的「本徵態」。換而言之,該系統,有可能同時是甲乙的「非本徵態」,亦即「疊加狀態」。

有了這兩點「前傳」後,我們就可以正式「宣佈」,「測不準原理」:

3. 如果甲乙這兩個物理量互不相容,甲的標準差( \sigma_a )和乙的標準差( \sigma_b ),相乘之積一定不小於 \frac{\hbar}{2},而 \hbar 是「約化普朗克常數」(reduced Planck constant)。

\sigma_{a} \sigma_{b} \geq \frac{\hbar}{2}

換句話說,如果「甲的標準差」越小,「乙的標準差」就必然越大,反之亦然;因為兩者相乘,一定要大於一個固定的數值(「約化普朗克常數」的一半)。

4. 這數式背後想帶出的物理意義是,對於互不相容的兩個物理量「甲」和「乙」,

雖然你可以刻意建構一個量子物理系統,令到其對應的「物理量甲」,所對應的「標準差」極之細小,而「極之細小」在這裡的意思是,任意細小 —— 細小到你指定的程度;但是,你要付出的代價是,該個物理系統的「物理量乙」,所對應的「標準差」,就會相應變大。

「標準差甲」和「標準差乙」,並不能同時「任意細小」。

簡而言之,你建構出來的量子物理系統,如果「物理量甲」越確定,「物理量乙」就越不確定,反之亦然。

而在這裡,「確定」的意思是,在量度之前,「物理量甲」的眾多可能數值中,有一個或者一些數值,對應出現的機會率,遠遠大於其他數值,對應出現的機會率。「不確定」的意思則是,在量度之前,「物理量乙」的眾多可能數值中,各個數值的出現機會率相若;並沒有任何數值,對應出現的機會率特別大,有著壓倒性的優勢。

留意,在「測不準原理」的正式論述中,並沒有提及過「觀察者效應」。「測不準原理」之所以成立,並不是因為,觀察者在量度第一個物理量時,干擾或者改變了,原本物理系統的運行。

「測不準原理」所處理的,是有關在建構一個物理系統時,所要作出的考慮和妥協;而不是處理,在量度一個已有物理系統時,對該個物理系統原本的演化,所做成的影響。

雖然「觀察者效應」客觀存在,但它和「測不準原理」沒有直接關係。「測不準原理」所關心的,是「建構者妥協」,而不是「觀察者效應」。

— Me@2014.01.26

2014.01.26 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.7

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那樣,我們就可以說:

處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

這個『能量疊加狀態』的一個物理系統,如果複製成很多個相同的系統,然後各自量度能量數值的話,那堆能量數據的分佈,所對應的『標準差』,將等於  0.9428J。  

因為這個論述十分費時,所以我們會將它簡化成:

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的『標準差』是 0.9428J。

(安:等一等,讓我先整理一下。

你想講的是,每個量子態,都有對應的「標準差」(standard deviation)。而「標準差」就反映了,一堆數據的分散程度。)

無錯。

(安:那又怎樣?那跟「測不準原理」,又有什麼關係呢?)

「標準差」和「確定性」有著密切的關係。具體而言,一個量子態(例如)能量的「標準差」越大,即代表了可能的能量數值越分散。那樣,在量度之前,能量的「不確定性」就越大。

換句話說,「標準差」反映了「不確定性」。例如,我們試試比較兩個「疊加態」,各自的「標準差」:

疊加態甲:

\sqrt{\frac{1}{10}} | A \rangle + \sqrt{\frac{9}{10}} | B \rangle

的『標準差』是 0.6J。

疊加態乙:

\sqrt{\frac{1}{2}} | A \rangle + \sqrt{\frac{1}{2}} | B \rangle

的『標準差』,則是 1J。

你會發現,「疊加態乙」的「標準差」大於「疊加態甲」。那就代表乙比較甲「不確定」,符合我們的直觀感覺:

乙有 1/2 的機會,會被量度出,帶有 1J 的能量(「本徵態 A」的對應能量數值);而亦有 1/2 的機會,會被量度出,帶有 3J 的能量(「本徵態 B」的對應能量數值)。兩個可能數值,出現的機會率相同或者相若時,我們就「無從估計」,系統會出現兩個數值中的哪一個。

但是,甲卻有 9/10,即是有九成的機會率,會被量度出,帶有 3J 的能量(「本徵態 B」的對應能量數值)。那樣,我們就可以說,我們「相對確定」,系統帶有 3J 的能量。

— Me@2014.01.23

2014.01.23 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.6

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

那樣,如果該物理系統,並不處於 A、B、C 狀態,即是不處於任何一個,「能量本徵態」的話,情況又會如何呢?

系統就會處於一個「非本徵態」,又稱「疊加狀態」。「疊加狀態」的意思是,「本徵態的疊加」。例如,系統可能處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的一個狀態。

那樣,你在量度之前,並不會知道,你得到的能量數值是 1J (「本徵態 A」的對應數值),還是 3J (「本徵態 B」的對應數值)。但是,你會知道,你有 1/3 的機會率,會得到 1J; 而亦有 2/3 的機會率,會得到 3J。

換句話說,如果將該物理系統複製成,120 萬個相同系統,然後量度它們各自的能量數值的話,你會發現,將有大概 1/3 的成員,即是 40 萬個,帶有 1J 的能量;另外有大概 2/3 的成員,即是 80 萬個,帶有 3J 的能量。

因為現在不只有一點數據,而是有一大堆的數據,所以我們可以討論,這堆數據的「標準差」(standard deviation)。「標準差」是一個統計學的測量,用來反映一堆數據的分散程度。「標準差」越大,就代表一堆數據越分散;「標準差」越小,就代表一堆數據越集中。

例如,在剛才的例子中,總共有 120 萬個能量數值。當中大概 40 萬個是 1J; 而大概 80 萬個是 3J。如果要找到這堆數據的「標準差」,你就要先運算出它們的「平均值」:

\frac{400000(1J) + 800000(3J)}{1200000}

= 2.333J

有了這個「平均值」後,我們就可以找到「標準差」:

\sqrt{\frac{400000(1-2.333)^2 + 800000(3-2.333)^2}{1200000}}

= 0.9428J

那樣,我們就可以說:

處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

這個『能量疊加狀態』的一個物理系統,如果複製成很多個相同的系統,然後各自量度能量數值的話,那堆能量數據的分佈,所對應的『標準差』,將等於 0.9428J。  

因為這個論述十分費時,所以我們會將它簡化成:

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的『標準差』是 0.9428J。

— Me@2014.01.14

2014.01.14 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.5

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

一個物理系統,是否正處於「本徵態」,要視乎相對於,哪一個物理量而言。一個物理系統,正處於物理量「甲」的「本徵態」,並不代表它正處於,另一個物理量「乙」的「本徵態」。換句話說,「甲的本徵態」,不一定是「乙的本徵態」。例如,「位置的本徵態」,不一定是「能量的本徵態」。

如果一個物理系統的狀態,有可能同時是物理量「甲」和物理量「乙」的 eigenstate(本徵態),「甲」和「乙」就為之 compatible observables(相容觀察量)。不可能的話,「甲」和「乙」就為之「不相容觀察量」。

你首先記住這一點。然後,我要跳去另一個問題 —— 如果一個物理系統,並不是處於(例如)能量的本徵態,我們會量度到什麼能量數值呢?

其實,你都會度到其中一個本徵態,所對應的數值,簡稱 eigenvalues(本徵值/特徵值)。

(安:什麼意思?

你的講法好像自相矛盾。不在「本徵態」,但又度到「本徵值」?)

無論一個物理系統,是否處於「能量本徵態」,你將會量度到的能量數值,都一定會是「能量本徵值」。

處於「能量本徵態」與否,具體的分別在於,如果系統是處於「能量本徵態」,你在量度之前,就可以知道,你會得到哪一個「能量本徵值」;但是,如果不是處於「能量本徵態」,你在量度之前,並不可能知道,你會得到哪一個「能量本徵值」。你可以知道的,就只是各個可能的「能量本徵值」,對應的出現機會率。

例如,假設一個物理系統,有「能量本徵態」 A、B 和 C,而順序對應的「能量本徵值」是 1J、3J 和 5J。

如果該物理系統正處於「本徵態 A」,你就一定會量度到能量數值 1J。換句話說,只要知道系統正處於「本徵態 A」,即使不用量度,你也知道系統當時,所帶的能量值是 1 焦耳。同理,如果該物理系統正處於「本徵態 B」,你就一定會量度到能量數值 3J;如果該物理系統正處於「本徵態 C」,你則一定會量度到能量數值 5J。

那樣,如果該物理系統,並不處於 A、B、C 狀態,即是不處於任何一個,「能量本徵態」的話,情況又會如何呢?

系統就會處於一個「非本徵態」,又稱「疊加狀態」。「疊加狀態」的意思是,「本徵態的疊加」。例如,系統可能處於

\sqrt{\frac{1}{3}} | A \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} | B \rangle

的一個狀態。

那樣,你在量度之前,並不會知道,你得到的能量數值是 1J(「本徵態 A」的對應數值),還是 3J(「本徵態 B」的對應數值)。但是,你會知道,你有 1/3 的機會率會得到 1J,有 2/3 的機會率會得到 3J。

— Me@2014.01.07

2014.01.07 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

測不準原理 1.4

這段改編自 2010 年 4 月 10 日的對話。

(安:你說「觀察者效應」,並不是「測不準原理」的核心內容。那樣,「測不準原理」的核心內容,又是什麼呢?)

量子力學之中,有些物理量,你是沒有辦法在量度之前,就透過預測,事先知道到它的數値。

(安:什麼意思?)

量子力學中,有一個術語,叫做 eigenstate(本徵態),意思是「本身帶有特徵的狀態」,簡稱「特別態」。例如,如果你正在考慮的物理系統,是一粒粒子,而該粒子正處於一個「位置的本徵態」,那樣,原則上,在量度那粒子之前,你就可以百分百準確地,預測到它在下一刻的位置。或者說,你毋須量度,也可以準確知道,那粒子在下一刻的位置。

但是,如果那粒子並不是,處於一個「位置的本徵態」,那樣,即使只在原則上而言,量子力學也不可以百分百準確地,運算到那粒子在下一刻的位置。量子力學可以運算到的,就只是那粒子在下一刻,在各個可能位置出現,對應的機會率。

一個物理系統,是否正處於「本徵態」,要視乎相對於哪一個物理量而言。一個物理系統,正處於物理量「甲」的「本徵態」,並不代表它正處於,另一個物理量「乙」的「本徵態」。換句話說,「甲的本徵態」,不一定是「乙的本徵態」。例如,「位置的本徵態」,不一定是「能量的本徵態」。

— Me@2013.12.25

2013.12.25 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

量子力學 1.17

因果律 1.22 | 語意互相推卸責任論 1.22 | Verification principle, 5.22 | 西瓜 9.22 | Make a difference, 3.3

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

換而言之,根據「印證原則」和「萊布尼茲同一律」,你至少要在原則上,講得出有什麼方法,以什麼形式的實驗,分辨到哪一句對和哪一句錯,「量子自由論」和「量子決定論」,才算是「兩個不同」的理論。

如果,就連在原則上,你都講不出,如何分辨它們誰是誰非 —— 所有可能的實驗結果,「量子自由版本」和「量子決定版本」,都必定一模一樣的話,「量子自由論」和「量子決定論」就根本是「同義句」。

(安:那就即是話,如果「量子物理定律」是正確的,無論我「相信」「量子自由論」,還是「量子決定論」,我都沒有錯。)

無錯。你可以根據個人喜好兩選其一,去作為你的世界觀。

我個人的取態是,相信「量子決定論」,取其作為我的思想架構。「量子決定論」不可以直接運用,不代表不可以間接運用;不可以全部運用,不代表不可以部分運用。而「間接而部分運用」的方法是,透過「局部版因果律」,去理解世界:

我們越詳細地了解,越多的物理定律,只要掌握某一個時刻,某一個物理系統,越精緻和越豐富資料,我們就可以越準確地,推斷到該個物理系統,在其他時刻的狀態,無論是過去或者將來。

簡而言之,

所知越多,預測就越準確。

— Me@2013.10.14

2013.10.14 Monday (c) All rights reserved by ACHK