nCr, 3

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果，你要選 3 個出來，總共有多少個選法？

…

總括而言，「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的，等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105，不是正確的。

（A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以，而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤？）

如果要變成正確，你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3，才會得到正確答案呢？

亦即是話，在這裡，「除以 3」的實際意思，又是什麼呢？

把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」是錯誤的原因是，你暗地裡為那三個蘋果，加了一點次序。

例如，假設原本的 7 個蘋果是 A、B、C、D、E、F 和 G，而你抽到了 A、B、E 三個蘋果。在考慮 7C3 時，

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個次序，要視為一個情況，因為 7C3 的意思是「組合」，重點是你由那 7 個蘋果之中，買了哪 3 個，而不是先拿哪一個，後拿哪一個。

如果你接受不到這一點，你可以想像，現在是要由 A、B、C、D、E、F 和 G 七個人之中，抽 3 個出來，組成一隊 3 人樂隊，即是音樂組合。組成音樂組合的話，

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個選人次序，要視為一個情況，因為這 6 個次序，都代表著同一隊樂隊，都同樣是由 A、B、E 三人組成的。但是，如果你把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」，即是把「7 選 3」硬要看成「7 選完 2 後再選 1」的話，運算的結果就會變成：

AB　E

BA　E

AE　B

EA　B

BE　A

EB　A

意思是，

AB　E

BA　E

會視為同一個情況；

AE　B

EA　B

又會視為同一個情況；

BE　A

EB　A

則會視為第三個情況。但是，這 3 類情況，會視為 3 個不同的可能性。亦即是話，原本應視為同一個「組合」的 6 個「排列」，會被誤會為 3 個不同的「組合」方法。

建構樂隊時時，只要被選的是 A、B、E，哪一個是最尾被抽出來，根本不重要。但是，「7C2 x 5C1」卻偏偏重視，哪一個是最尾被抽出來。那就是為什麼，「7C3」和「7C2 x 5C1」的不同之處，在於「7C2 x 5C1」中，你暗地裡為那三個蘋果，加了一點次序。

（A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以？那不會「暗地裡加了次序」嗎？）

因為 nPr 根本不是講「組合」，而是講「排列」，本身就要重視次序。

— Me@2014.04.14

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