nCr

乘法意思 6

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

答案是 7C3(「7 選 3」),即是總共有,35 個可能的組合。

(A:那我可不可以把題目看成,分兩次抽 3 個蘋果出來?

首先,我由那 7 個蘋果中,抽兩個出來,即是 7C2。然後,我由餘下的 5 個蘋果中,再抽 1 個出來,即是 5C1。所以,答案應該可以寫成「7C2 乘以 5C1」。

但是,「7C2 x 5C1」卻是 105,不是 35 。錯在那裡呢?)

「7C3」和「7C2 x 5C1」,所表達的情況不同。

「7C3」是指由 7 個蘋果之中,任意選 3 個出來,總共有多少個可能。

而「7C2 x 5C1」則是指,由一箱 7 個蘋果之中,任意選 2 個出來;然後,再由另一箱 5 個蘋果之中,抽一個出來,即是 5C1,總共有多少抽法。

留意,「7C2 x 5C1」根本不是你所指,代表「首先由 7 個蘋果中,抽兩個出來;然後,再由同一箱餘下的 5 個蘋果中,抽 1 個出來」。

(A:但是我仍然不太明白,「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」,為何有所不同。)

互相獨立的因素,才會用乘法。你記不記得,在學習「機會率」時,學過這一點?

其實,歸根究底,「互相獨立的因素,如果一併考慮,總共有多少個組合」,就是乘法的根本意思,即是定義。

例如,一個長方形的長度增減,並不會影響闊度的大小,反之亦然。所以,長方形面積等於「長乘闊」的其中一個原因是,長和闊,是互相獨立的因素。

如果你把「7C2 x 5C1」看成,「由第一箱 7 個蘋果之中,任意選兩個出來;然後,再由另外箱 5 個蘋果中,抽 1 個出來,即是 5C1,總共有多少個抽法」,那就正確,因為,你由第一箱 7 個蘋果之中,抽了哪兩個出來,並不會影響到,你由第二箱 5 個蘋果之中,抽了 1 個出來時,會抽到哪 1 個。

但是,如果你把「7C2 x 5C1」看成,「由 7 個蘋果中,抽兩個出來;然後,再由同一箱餘下的 5 個蘋果中,抽一個出來」,那就不正確,因為,這兩個步驟,並不是互相獨立。第一個步驟結果,會影響到第二個步驟的結果。

你在「由 7 個蘋果中,抽兩個出來」時,抽了哪兩個,會影響到那箱中,將會餘下哪 5 個蘋果,給你第二個步驟去選。

— Me@2014.04.01

2014.04.01 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK