大學選工

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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凡是招聘廣告中的工作,通常也不是理想的工作。

從招聘者的角度看,如果公司有空缺,他盡量想聘請,曾經在合作過的人,因為聘請一個陌生人,或者一位相識,但未曾共事過的人,風險很大。

他第一步,會想到公司內部的人,看看有沒有同事,適合升遷到該職位。沒有的話,便會想一想其他曾經共事過的人,例如以前公司的同事、現在公司的以前同事、現在公司的以前實習生等等。

再不行的話,就會找一些雖未共事過,但有信心保證的人選。而信心保證,主要來自引薦。如果有可靠朋友的介紹,再加上恰當的面試,聘請到不務正業人士的機會,就比較微。

所以,如果那位招聘者,竟然要刊登招聘廣告,通常而言,只因「山窮水盡」,或者「走投無路」。

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作為一個求職者,如果要找到較為理想的工作,就盡量不要依靠招聘廣告。不要只寄「應徵信」,亦要寄「求職信」。只要有心儀的公司,就要主動寄出「求職信」,無論它有沒有刊登招聘廣告。

正正是因為較為理想的工作,通常不會在招聘廣告中出現,你要主動寄出「求職信」,才有可觀的機會,找到潛在的理想工作。

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但是,那也只是枝節,比較膚淺,只是順帶一提,不是核心方法。

— Me@2015.03.24

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2015.03.24 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

大學選科 1.2

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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(TK: 那樣,band A 之後的哪些科目,又應該怎樣選呢?)

其實,如果你不被你 band A 或 band B 的科目取錄,你就很可能會,跌落選科表格中,排到很後的學科。所以,你選科表格中的任何一科,都有可能變成你的真正主修。

大原則是,凡是你填落該表格的科目,可以沒有愛,但不可以有恨。

即使你最初入讀的學系,不是你最心儀的那一個,其實也沒有大所謂,只要你對它「沒有恨」就可以;因為,只要「沒有恨」,你就仍然有很大機會,在大學一年級時,奪取高分,從而獲准轉系,改變主修科目。

只要「沒有恨、成績好」,就自然有無盡的選擇。莫講話「第二年轉系」,連「第二年轉校」都有可能。

— Me@2015.03.08

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2015.03.09 Monday (c) All rights reserved by ACHK

大學選科

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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(TK: 那樣,band A (第一組別)的科目,應該都是,自己最喜歡的科目,…)

不完全是。

香港 JUPAS(大學聯合招生)的 band A 有三科。頭兩科就應該是,自己最喜歡的。至於第三科,就應該是「水浮」(救生圈)科目,亦即是一些自己不是最喜歡,但仍算頗為喜歡,可以接受;而收生要求不太高,導致以你的成績,有九成九機會,會獲得取錄的。

(TK: 那樣,band A 之後的哪些科目,又應該怎樣選呢?)

其實,如果你不被你 band A 或 band B 的科目取錄,你就很可能會,跌落選科表格中,排到很後的學科。所以,你選科表格中的任何一科,都有可能變成你的真正主修。

大原則是,凡是你填落該表格的科目,可以沒有愛,但不可以有恨。

— Me@2014.11.11

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2014.11.24 Monday (c) All rights reserved by ACHK

數字人事 1.1

荒島測試 4.1

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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(TK: 其實,我也不太知道,上大學應該選哪一科作為主修,因為,我暫時沒有,一些心儀的科目。)

至起碼,你要先縮窄範圍,例如,你可以考慮:

你喜歡「對數字」、「對文字」,還是「對人」的工作?

(TK: 可不可以,三樣也不喜歡?)

那樣,對你來說,哪一樣的「不喜歡程度」最低?

記住,要「眾害取其輕」。

(TK: 可以暫時假設是「對人」。)

那樣,你就可以立刻想像到,一大堆科目。例如,「工商管理」和「社會工作學」,都是「對人」的科目。

現在,你就有了一個大概的方向。然後,你才開始詳細考慮,你最喜歡的是哪些主修科目。

— Me@2014.11.11

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2014.11.12 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

語言科目

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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(TK: 通常,最勁(厲害)的人,都是讀數學出身的。彷彿只要數學勁,就幾乎什麼行業,都可以做得到。)

無錯。你知不知道,為什麼數學和中、英文一樣,都歸入「主科」?

漫畫化地講,因為三科也是「語言科目」。

中文,是中國人的語言;

英文,是地球人的語言;

而數學,則是宇宙人的語言。

「宇宙人語言」的意思是,在宇宙中的任何一個角落,一加一都是等於二。無論你移居去哪一個星球,你也不用擔心,你已學的數學知識,不再適用。數學可以說是,應用範圍取廣的知識。

中、英、數三科也是「語言科目」的意思是,它們不只是一般的知識,而且還直接是,其他科目的工具。其他知識中的大部分,也要用中、英、數來表達。

微觀而言,中、英、數的好壞,會直接影響到其他科的成績高低。宏觀來說,缺少其中一項語言的話,你將來的主修,或者專業的選項,就會大大減少。

而更嚴重的是,你的數學成績,會直接反映了,你智力的高低。假設你的數學一流,你很難可以說服到人,其實你的智力奇低。

— Me@2014.10.29

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2014.10.29 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

背誦量

全像記憶 3

這段改編自 2010 年 8 月 11 日的對話。

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(TK: 運算機會率題目時,如何提升準確度?)

九成九是靠背誦 —— 背誦眾多運算方法,和萬千驗算技巧。當然,我不是要你「死背」,而是要你「生背」,即是明白以後才背。

千萬不要企圖,自己發明任何方法。一來,你未有那些智力。二來,即使有,你也負擔不到那些時間。

只有數學家才會,負擔得起那些智力,和那些時間。

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(TK: 其實我是有背的,但是,時常也誤中副車,差一點才能想中正確方法。)

或者說,你背得不夠多,或者不夠詳細。我所指的「背」,其實份量是十分驚人的。

例如,假設考試有可能出現的機會率題目,總共有 5 類。我並不是說,你每類也背誦一題的方法,就可以奪得好成績。

實際上,你的背誦量,並不只是 5 題,而隨時可能是 50 題,因為,同一種題目,可以有(例如)10 種不同的問法。

那 10 種題形的應對方法(和對應的驗算技巧),你都要背誦,因為,同一種題目,你要背誦了它,很多不同的版本,才會領略到,背後的精髓。那你才可以做到「明白以後才背」,即是「生背」。

如果你一定要成績奪 A,背誦量是十分驚人的。所以,我多次提醒你,你在每次做 past paper(以往試題),或其他練習之前,也一次要先背誦你的「魔法筆記」。

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「背」的意思並不是說,你把「魔法筆記」,由頭至尾,閱讀一次就算。「背」的真正意思是,要你做到「過目不忘」,即是,在平日做練習,或者考試時,你都可以在心裡翻查,筆記上的每一頁,每一個細節。

— Me@2014.10.05

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2014.10.06 Monday (c) All rights reserved by ACHK

Deliberate practice

zvrba 1 day ago | link

I think the key is “deliberate practice” …

But before learning about ‘deliberate practice’, I had first heard a saying that “practice makes permanent”. You have to practice with the actual intention of getting better and perfecting your technique, otherwise you’re just strengthening the old habits.

Some context for the rest of the text: my hobbies are aikido and an old Japanese sword art, so I practice sword cuts a lot (wooden sword, no target — yet).

Deliberate practice is hard, it’s taxing, both physically but also mentally. It requires not only that you focus on what you’re doing but also consciously focusing on how you’re doing it. By focusing on what and how simultaneously, you can draw a causal connection between the result (what) and how you achieved it. If you’re not satisfied with the result, then you try to modify the “how” in a variety of ways until you feel the result has gotten better.

This is mentally taxing and absolutely not fun. You’re watching yourself making mistakes in real time, the mind wants but the body cannot (yet). Sometimes you even need to get a fundamentally new idea about “what” or “how” in order to break the (current) barrier. Suddenly an advice that you got from a teacher a year ago, and which didn’t make sense then, makes sense NOW.

And after having practiced for a while (usually up to 50 min; different exercises), I notice that I have reverted to “blind” practice, that I can no longer focus on “how”, regardless how much I try. That’s when I stop, regardless of how much “real time” has elapsed.

Trying to write ten thousand different sentences will make you a better writer than writing the same sentence ten thousand times.

— Hacker News

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2014.08.10 Sunday ACHK

無限倍 2

二十分開始 2

這段改編自 2010 年 8 月 5 日的對話。

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昨天,HYC 跟我說,她不肯做化學科 past paper(過往試題)的原因是,她一嘗試開始做,就發覺幾乎題題也不懂做。結果,就只拿得 20 分,十分難看。

但是,你要意會到,你要一日未開始做,化學科的 past paper,你化學科的功力,就連那 20 分也沒有。你只有 0 分。

相反,如果你開始做了,第一份的 past paper,得到 20 分的話,你就是由 0 分進步至 20 分。試想想,由 0 分進步至 20 分,是進步了多少倍?

(CSY:無限倍。)

(CPK:哈哈!)

不是嗎?

— Me@2014.07.23

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2014.07.23 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

二十分開始

這段改編自 2010 年 8 月 5 日的對話。

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你們有沒有做,物理科的 past paper(過往試題)?

(CPK:有。)

做沒有計算分數?

(CPK:有呀!)

你這次頗為高分。那是不是很振奮人心?

所以,你科科也應這樣做。

化學科呢?有沒有做 past paper?

(CPK:未呀。)

很多人也是那樣,不肯開始做某些科目的 past paper。

為什麼不做呢?

如果你第一次做,某一科按年份的 past paper,例如化學科,你要有心理準備,你得到的分數,將會奇低,例如只有 20 分。

昨天,HYC 跟我說,她不肯做化學科 past paper 的原因是,她一嘗試開始做,就發覺幾乎題題也不懂做,十分難看。

(CPK, LMC:係呀…)

你要記住,如果一個錯誤你平日未犯過,你在考試時,就很可能會犯。那如何保證考試時,不會犯那個錯誤呢?

就是在考試前,盡早先犯一次,從中學習,自此免疫。

你並不能選擇,犯不犯某個錯誤。你只能選擇,考試前犯,還是考試時犯。

換句話說,大概而言,按年份做 past paper 時,你要經歷過 20 分,才能得到 30 分;你要經歷過 30 分,才能得到 40 分;如此類推。

抱著這個心態的話,你就不會因為「怕低分怕難看」,而不敢開鈶按年份做 past paper。

例如,你今個星期做 2000 年的那一份化學科試題,只有 20 分。那樣,你就從中學習,從而,在下個星期的那一份,即是 2001 年試題,進步 5 分。

雖然 20 分進步了 5 分,亦只有 25 分,但是,你不要看小那 5 分。如果你每星期也按年份做一份 past paper,從而進步 5 分,試想想,你三個月後,會進步了多少分?

— Me@2014.07.20

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2014.07.20 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

Memory 5.4

這段改編自 2010 年 7 月 29 日的對話。

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(HSY:會考剛放榜,我的物理成績只有 C。所以,學校當局很可能會,不容許我選修高考物理,而要我改為選修,例如,「數學與統計」科。

現在,我要去和負責相關事項的老師,討論這個問題。那樣,我應該要講些什麼,才可以有機會說服到他,給我選修物理呢?)

你試試這樣:

在對話中,你要不斷重複著,同一個意思,以示你有無比的決心,去讀好物理科;但是,你又千萬不要,明顯地重複著,同一個說話,以免對方覺得你,沒有禮貌。

換句話說,你要用無限句不同的說話,去表達同一個意思,例如:

甲 = 你

乙 = 對方

乙:…

甲:我其實很喜歡物理。

乙:…

甲:我真的很喜歡物理。

乙:…

甲:你講得很有道理,不過,我對物理的信心,大過數學很多。

乙:…

甲:但是,我讀的數學天份,沒有物理那麼高。

乙:…

甲:我也有考慮這一點,但是,我如果讀物理,我的父母會安心一點。

乙:…

甲:讀物理的話,我奪得好成績的機會,會大很多。

乙:…

甲:…

— Me@2014.06.20

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2014.06.21 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

功夫傻瓜 3

中學實驗報告 4

這段改編自 2010 年 7 月 29 日的對話。

每次我介紹「魔法時間表」時,通常,學生也會說執行不到,因為有很多功課。例如,根據「魔法時間表」的設計,今天應該花三小時,去溫習物理科。但是,物理老師卻給了一份功課,花了你兩個多小時,才可以完成。餘下自然沒有什麼時間,可以用來溫習。

我的回應是,「做功課」就即是「做練習」。你試想想,如果「做練習」也不算是「溫習」,那怎樣才算是「溫習」呢?

(CPK:閱讀課文?)

閱讀了課文後,你又怎樣知道,自己是不是真的熟習內容,考試時奪不奪到分數?

(CPK:試一試做類似考試的題目。)

那不就是「做功課」嗎?

所以,如果你做了兩小時的物理功課,其實就即是完成了,兩小時的物理溫習。「功課」並不會阻礙你時間表的進展,因為「功課」根本就是,你編時間表時,原訂「溫習」的一部分。「練習」不單是「溫習」的一部分,它更加是「溫習」之中,最重要的那部分,因為「練習」就是,把「知識」化成行動。

一般人也不覺得「做功課」就是「溫習」,主要的原因是,他們平時「做功課」的主要目的,就只是「交功課」。他們不會追究,如何從一份功課中,學得最多的學術知識,奪取最多的考試分數。那是病態版本的「只問付出,不問收穫」。那是十分不負責任的表現。

正確的態度是,一邊做功課,一邊製作我之前所講的「魔法筆記」。亦即是話,做功課時,你要有意識地偵測,當中哪些內容,有需要記得,而自己又有機會不記得。然後,把它們歸納於,該科的「魔法筆記」之中。

(CPK:但是,有些功課的題目,實在和考試的內容和形式,十分不類似,做來也沒有用。)

我上次不是詳細地教過你們,應付無謂的功課時,如何盡量減輕損失嗎?

— Me@2014.06.11

2014.06.12 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

結果為本 3.3

答非所問 4.3

這段改編自 2013 年 11 月 16 日的對話。

成績表有的東西,你就需要考慮;成績表沒有的東西,你就不需要考慮。例如,成績表有沒有一欄分數,叫做「勤力分」,來評價你勤不勤力?

(A:沒有。)

所以,你千萬不要,企圖令自己勤力。

又例如,成績表有沒有一欄分數,叫做「正面分」,來評價你的思考正不正面。

(A:沒有。)

所以,你千萬不要浪費時間,企圖排除自己的負面思想,除非你有那樣的興趣。

重點是,你要把「思考負面」這個問題「transcend 掉」,令它不再重要;令到自己根本,沒有需要解決那個問題。

換句話說,解決「思考不夠正面」的最好方法是,令到自己不需要「思考正面」。你要透過平日的訓練,令到自己在真正的考試時,無論心理狀態是,「正面」還是「負面」,也能奪得上佳的成績。

再例如,成績表有沒有一欄分數,叫做「鎮定分」,來評價你考試時「緊不緊張」?或者說,考試當局,會不會因為你考試緊張,而扣減你的分數?

(A:不會。)

所以,你千萬不要浪費時間,企圖令到自己,考試時不緊張。嘗試令到自己不緊張,反而會令到自己加倍緊張。

重點是,你要把「考試緊張」這個問題「transcend 掉」,令它不再重要;令到自己根本,沒有需要解決那個問題。

換而言之,解決「考試緊張」的最好方法是,令到自己不需要「考試不緊張」。你要透過平日的訓練,令到自己在真正的考試時,無論心理狀態是,「緊張」還是「十分緊張」,也能奪得上佳的成績。

又再例如,成績表有沒有一欄分數,叫做「聰明分」,來評價你「聰不聰明」?

(A:沒有。)

所以,你千萬不要作出任何動作,企圖去顯示自己,格外聰明。嘗試炫耀自己才智的後果是,發現自己其實,沒有什麼才智可以炫耀。對於熟悉的題目,你會不知不覺間,答非所問,寫了一大堆拿不到分數的東西。對於陌生的題目,你會死纏難打,即使超了時也不肯放手,連累到往後的題目,即使懂做也沒有足夠的時間做。

考試的重點是,答對題目,從而奪取分數。亦即是話,你的答案要開門見山,一針見血。沒有人有時間或者興趣,去理會你聰不聰明。而對於不懂做的題目,如果在指定時限內,也沒有進展,就應該「唔識就飛」—— 暫時放棄,改為先做其他。

記住,成績表有的東西,你就需要考慮;成績表沒有的東西,你就不需要考慮。

— Me@2014.05.29

2014.05.30 Friday (c) All rights reserved by ACHK

結果為本 3.2

答非所問 4.2

這段改編自 2013 年 11 月 16 日的對話。

同理,解決「不夠勤力」的最好方法是,令到自己不需要「勤力」。你要設計一套溫習系統,令到自己無論「夠不夠勤力」,也能奪得上佳的成績。

(A:有那樣的系統嗎?)

我上幾次教你的讀書方法,例如「魔法筆記」和「魔法時間表」等,就是那樣的一個系統。

記住,成績表並不會有一欄分數,叫做「勤力分」,來評價你勤不勤力。

溫習的重點,在於「適量」和「正確」,即是對症下藥,而不在於「勤不勤力」。追求「勤力」的主要問題是,你往往會忽略了做事的「效率」;你往往會為了得到「勤力」的感覺,而做了一大堆沒有用途的事情。相反,如果你追求的是「學問」和「成績」,你自然會重視做事的「效率」,不會盲目追求「勤力」;你自然會在應該「勤力」的地方「勤力」,應該「懶惰」的地方「懶惰」。

例如,明天考試的範圍是第一和第二課。但你沒有足夠時間,去完全溫習兩課的內容。而老師又明言,由於第二課是新教的,所以會佔了大部分的考試內容。

如果你追求的是「勤力」,你很可能會不自覺地,由第一課開始,詳細地溫習。漸漸地你會發覺,你不會有有足夠的時間,去溫習第二課。相反,如果你追求的是「結果」,你自然有計劃地,在溫習第一課時「懶惰」,在溫習第二課時「勤力」。例如,你先溫習第二課,有時間剩餘,才處理第一課。

— Me@2014.05.11

2014.05.11 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

結果為本 3.1

答非所問 4.1

這段改編自 2013 年 11 月 16 日的對話。

成績表有的東西,你就需要考慮;成績表沒有的東西,你就不需要考慮。例如,成績表並不會有一欄分數,叫做「勤力分」,來評價你勤不勤力。所以,你千萬不要,企圖令自己勤力。

平日溫習時,你要追求的,是「充足的溫習」,而不是「勤力的感覺」;你要考慮的,是「如何提高溫習的效率」,而不是「如何令到自己更加勤力」。前者是「對事」,即是「以結果為中心」,對成績有利;後者「對人」,即是「以自我為中心」,對短期的自我形象有利,但對成績有害。

有時,「解決問題」的最好方法,未必是「直接解決」,而是把那個問題「transcend 掉」,令它不再重要;令到自己根本,沒有需要解決那個問題。例如,戒煙的最好方法是,從來不吸煙;因為那樣的話,你就從來沒需要處理,戒煙這問題。又例如,同一個難以相處的人,最好的相處方法是,不要跟他相處;因為那樣的話,你就沒需要研究,「如何同難以相處的人相處」這個問題。

同理,解決「不夠勤力」的最好方法是,令到自己不需要「勤力」。你要設計一套溫習系統,令到自己無論「夠不夠勤力」,也能奪得上佳的成績。

(A:有那樣的系統嗎?)

我上幾次教你的讀書方法,例如「魔法筆記」和「魔法時間表」等,就是那樣的一個系統。

— Me@2013.11.17

— Me@2013.11.19

— Me@2014.05.06

2014.05.07 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

大型玩具店

學問急症室 2 | 由零開始 2 | 唔識就飛 11 | 考試美術 3

以前我見過有一張獎劵的「獎品」十分有趣。頭獎是,容許你進入一間大型玩具店五分鐘;在那五分鐘內,你拿到什麼玩具,就歸你所有。你試想想,如果你是頭獎得獎者,你在入去那大型玩具店之前,你會盤算著什麼?

自然的反應是,考慮什麼東西最值錢,或者什麼東西最想要,以及奪得最重要的玩具後,在餘下的時間中,如何拿到最多的東西。你肯定不會想的是:「我怎樣可以用那五分鐘,取得那大型玩具店中的所有東西呢?」

但是,一般人在準備考試和應付考試時,偏偏就會有,這個不切實際的企圖。考試前,大部分人也會,因為來不及溫習所有內容,而意志消沉。考試時,大部分人也會,因為不可以完成所有題目,而耿耿於懷。

這些都是不合理的期望。

— Me@2014.03.03

— Me@2014.05.03

2014.05.03 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

Information explosion

Story | 故事連線 5

“Point of view” is that quintessentially human solution to information overload, an intuitive process of reducing things to an essential relevant and manageable minimum.

– Paul Saffo

You should not let your thought follow infinite information.

Instead, you should let the infinite information follow your OWN thought.

— Me@2008.10.18

2014.04.24 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 4

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 個蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)

因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。

如果你要百分百地通透理解,這一題的運作原理,你不妨試試重組案情 —— 用最原始的方法去思考和運算,而不用排列(nPr)和組合(nCr)的公式。

7 個蘋果中選 3 出來,即是相當於有 3 個格子要填滿:

(_)(_)(_)

第一格有 7 個選擇:

(7)(_)(_)

第二格則有,餘下的 6 個可能性:

(7)(6)(_)

如此類推:

(7)(6)(5)

這代表了 7 個蘋果抽 3 個出來排隊的話,有多少個排列方法(permutation)。但是,現在重視的是組合(combination),而不是排列。亦即是話,重要的是,你究竟要在那 7 個蘋果之中,選了哪 3 個出來。至於它們 3 個之中,哪一個先被選出、哪一個後被選出,並不重要。

所以,你應該把剛才的中途答案,除以(3!),因為,被選的 3 個蘋果,內部總共有(3!)種排列方法。

3! = 6

那 6 個「排列」,都應歸類為,同一個「組合」 。

(7)(6)(5)
—————-
    (3!)

= 35

至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。

如果你任何「數學科技」也不喜歡,而想再原始一點,直情(乾脆)連「階乘公式」(n!)都不用的話,你可以自行推斷一下,已選了的那 3 個蘋果之中,內部會有多少個排列方法。

那其實就相當於,已知有 3 個人入了總決賽,爭奪冠亞季軍,然後問,總共有多少個,可能的比賽結果?

你可以這樣想,冠亞季有 3 個席位:

(_)(_)(_)

第一格有 3 個選擇:

(3)(_)(_)

第二格則有,餘下的兩個可能性:

(3)(2)(_)

如此類推:

(3)(2)(1)

所以,那 3 個蘋果的內部,總共有(3)(2)(1),即是 6 個排列方法。那 6 個排列,都應歸類為是同一個組合。

(7)(6)(5)
—————-
(3)(2)(1)

= 35

至於你把這「原始式子」,看成「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」,還是「7C3」,則沒有所謂,因為,你把它們之中的任何一個拆開,都同樣會得到這「原始式子」。

但是,而「7C2 x 5C1」則不行,等如 105,不是正確的。不信的話,你可以試試建構一下,「7C2 x 5C1」的原始式子:

(7)(6)|(5)
——— ——-
(2)(1)|(1)

  (7)(6)|(5)
= ——— ——
    (2!) |(1!)

= 105

你會發現,這式子答非所問,並不是題目描述的情況。

— Me@2014.04.21

2014.04.24 Thursday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 3

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以,而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤?)

如果要變成正確,你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3,才會得到正確答案呢?

亦即是話,在這裡,「除以 3」的實際意思,又是什麼呢?

把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」是錯誤的原因是,你暗地裡為那三個蘋果,加了一點次序。

例如,假設原本的 7 個蘋果是 A、B、C、D、E、F 和 G,而你抽到了 A、B、E 三個蘋果。在考慮 7C3 時,

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個次序,要視為一個情況,因為 7C3 的意思是「組合」,重點是你由那 7 個蘋果之中,買了哪 3 個,而不是先拿哪一個,後拿哪一個。

如果你接受不到這一點,你可以想像,現在是要由 A、B、C、D、E、F 和 G 七個人之中,抽 3 個出來,組成一隊 3 人樂隊,即是音樂組合。組成音樂組合的話,

ABE

AEB

BAE

BEA

EAB

EBA

這 6 個選人次序,要視為一個情況,因為這 6 個次序,都代表著同一隊樂隊,都同樣是由 A、B、E 三人組成的。但是,如果你把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」,即是把「7 選 3」硬要看成「7 選完 2 後再選 1」的話,運算的結果就會變成:

AB E

BA E

AE B

EA B

BE A

EB A

意思是,

AB E

BA E

會視為同一個情況;

AE B

EA B

又會視為同一個情況;

BE A

EB A

則會視為第三個情況。但是,這 3 類情況,會視為 3 個不同的可能性。亦即是話,原本應視為同一個「組合」的 6 個「排列」,會被誤會為 3 個不同的「組合」方法。

建構樂隊時時,只要被選的是 A、B、E,哪一個是最尾被抽出來,根本不重要。但是,「7C2 x 5C1」卻偏偏重視,哪一個是最尾被抽出來。那就是為什麼,「7C3」和「7C2 x 5C1」的不同之處,在於「7C2 x 5C1」中,你暗地裡為那三個蘋果,加了一點次序。

(A: 那為什麼把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以?那不會「暗地裡加了次序」嗎?)

因為 nPr 根本不是講「組合」,而是講「排列」,本身就要重視次序。

— Me@2014.04.14

2014.04.15 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

nCr, 2

這段改編自 2014 年 3 月 22 日的對話。

假設有 7 蘋果,你要選 3 個出來,總共有多少個選法?

(A:我大概明白你的解釋。但是,情感上,我仍然接受不到,「7 選 3」和「7 選完 2 後再選 1」,的確有所不同。)

如果你堅持要把「7 選 3」,看成「7 選完 2 後再選 1」,而又要得到正確答案的話,你可以用 nPr 的方法。

「nPr」即是「n 排 r」—— 如果有 n 個物件,選 r 出來排隊,總共有多少個排列方法?

例如,由 7 個蘋果之中,選 3 個蘋果出來,總共就有 7P3,即是 210 個排法。

但是,題目要的是「組合」,不是「排列」。亦即是話,題目只重視,如果 7 個蘋果之中購買 3 個,有多少個選擇方法,而購買的次序並不重要。

換句話說,被選的 3 個蘋果的內部次序,不予考慮。所以,你應該把 7P3 除以(3!),才可以把「排列」翻譯成「組合」,得到正確的答案:

7P3/(3!)

= 210/6

= 35

這個答案,和 7C3 的結果相同。

你剛才說,你很想把「7 選 3」,看成「7 選完 2 後再選 1」。你可以這樣做:

首先,由 7 個蘋果之中,選兩個出來排隊。

7P2

然後,再由餘下的 5 個蘋果之中,選 1 個出來排隊。

(7P2)(5P1)

最後,就把次序因素刪除。

(7P2)(5P1)/(3!)

= 35

你都會得到 35。

總括而言,「7P3/(3!)」、「7P2 x 5P1/(3!)」和「7C3」都是正確的,等如 35。而「7C2 x 5C1」則等如 105,不是正確的。

(A: 為何把「7P3」拆成「7P2 x 5P1」就可以,而把「7C3」拆成「7C2 x 5C1」就錯誤?)

如果要變成正確,你就要把「7C2 x 5C1」除以 3。「7C2 x 5C1/3」都會等如 35。為何要把「7C2 x 5C1」除以 3,才會得到正確答案呢?

亦即是話,在這裡,「除以 3」的實際意思,又是什麼呢?

— Me@2014.04.05

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