乘法意思 4.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

第三個難解的數學基礎內容是，為何「零次方是一」。

「零次方是一」的意思是，如果一個數本身不是零，它的零次方，就會等如一。

$a \ne 0$

$\to a^0 = 1$

a^0 = 1

要明白這道公式的來源，我們要首先明白，何謂「次方」。「次方」的意思是「重複相乘」。如果聽眾是小學生，我就會說，「次方」就即是「有多少個英文字母乘在一起」。例如，

$a^3 = aaa$

a^3 = aaa

「a 三次方」的意思是，有三個 a 相乘在一起。那樣的話，「『a 三次方』乘以『a 二次方』」的意思則會是，把「三個 a」和「兩個 a」各自乘在一起後，再把兩者乘在一起：

$(a^3)(a^2) = (aaa)(aa) = a^5$

(a^3)(a^2) = (aaa)(aa) = a^5

所以，結果有五個 a 乘在一起，簡稱「a 的五次方」。

另外一個講法是，

(a^3)(a^2)

就即是在 (a^3) 的右邊，再乘兩個 a。

(a^3)(a^2)

= (a^3)(aa)

所以，結果有五個 a 乘在一起，簡稱「a 的五次方」。

根據這個講法，

(a^3)(a^0)

的意思則會是，在 (a^3) 的右邊，乘多零個 a。「乘多零個 a」其實就即是「什麼也不乘」。既然是在 (a^3) 的右邊「什麼也不乘」，(a^3)(a^0) 就會等於 (a^3)：

$(a^3)(a^0) = a^3$

(a^3)(a^0) = a^3

如果要符合這個意思，(a^0) 就要定義為 1：

$a^0 = 1$

a^0 = 1

如果你偏好直接解釋，你可以這樣說：

(a^0) 就是「乘以零個 a 」。「乘以零個 a 」其實就即是「什麼也不乘」。然後你回想一下，一生之中，學過什麼數字，「乘了等如沒有乘」。數字 1 就有這個效果。

$(a^3)(1) = a^3$

(a^3)(1) = a^3

任何數乘以 1，數值都不會有變。「乘以 1 」等如「什麼也不乘」，符合 (a^0) 的目標。

— Me@2013.02.10

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