Momentum as Spatial Energy

能量空間版

這段改編自 2021 年 12 月 5 日的對話。

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In special relativity, four-momentum is the generalization of the classical three-dimensional momentum to four-dimensional spacetime. Momentum is a vector in three dimensions; similarly four-momentum is a four-vector in spacetime. The contravariant four-momentum of a particle with relativistic energy E and three-momentum p = (p_x, p_y, p_z) = \gamma m \bf v, where \bf v is the particle’s three-velocity and \gamma the Lorentz factor, is

\displaystyle{p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

The quantity m \bf v of above is ordinary non-relativistic momentum of the particle and m its rest mass. The four-momentum is useful in relativistic calculations because it is a Lorentz covariant vector. This means that it is easy to keep track of how it transforms under Lorentz transformations.

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\displaystyle{ p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}

— Wikipedia on Four-momentum

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之前我講,動能(KE)是時間方向的動量(momentum)。

那是錯的。

正確的講法是,動量(momentum)是總能量(total energy )的空間方向分量。(這裡,總能量(total energy )的數值,已包含了動能(KE)部分。)

動量(momentum)不是真身,總能量(total energy )才是。

那都是錯的,因為,這裡有歧義。

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在這裡,「動量」(momentum)這個詞語,有三個可能的意思:

1. Newtonian momentum 牛頓動量

\displaystyle{m \bf v}

2. Three-momentum 相對論三維動量

\displaystyle{\mathbf{p} = \gamma m \bf v}, \displaystyle{\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

3. Four-momentum 時空動量(相對論四維動量)

\displaystyle {  p   = \left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)  = \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)  = \left({E \over c},\bf p \right)  }

如果「動量」是指,時空動量 p 的話,總能量 E 的確是,時間方向的分量。(而時空動量 p 的空間分量,則是相對論三維動量 \bf p。)

留意,這裡的 E 是總能量,而不是動能 KE。

在這個背景下,「動量」和「能量」被統一成「時空動量」。換句話說,動量 \bf p 和能量 E 其實是,時空動量 p 中的,兩個部分。動量 \bf p 就是,時空動量 p 中是「空間動量」;而能量 E,則是「時間動量」。

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但是,如果現在考慮的「動量」,不是指時空動量 p 本身,而是它的數值 \displaystyle{\| p \|}(或稱「向量長度」)的話,則會得到這些公式:

\displaystyle{ \begin{aligned}   \| p \| &= \sqrt{p \cdot p} \\ \\  p \cdot p &= -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2 \\   \end{aligned}}

第零分量 p^0 的平方 (p^0)^2 的平方,之前要加負號的原因是,它並非純空間上的畢氏定理,而是時空版本的畢氏定理。而在這「時空畢氏定理」中,凡是屬於時間方向的,必須加負號。

那樣,時空動量數值平方 \displaystyle{ p \cdot p },就會等於:

\displaystyle{   \begin{aligned}   p \cdot p   &= -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2 \\  &= -(\frac{E}{c})^2 + (p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2 \\  \end{aligned}  }

在這裡,如果沿用剛才,「能量 E 是,時空動量 \displaystyle{   \begin{aligned}   p &= \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right) \\   \end{aligned}  } 中,在時間方向的分量」講話風格的話,我們可以把

\displaystyle{   \begin{aligned}   \| p \|  &= \sqrt{p \cdot p}   &= \sqrt{- \left(\frac{E}{c}\right)^2 + (p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2} \\  \end{aligned}  }

說成:「能量 E 的數值,構成了時空動量 p 的數值 \| p \| 的一部分。」換句話說,時空動量長度 \| p \|,由能量 E 和三維動量 \left( p_x, p_y, p_z \right) 兩部分組成。

這個講法雖然可以,但有少許弱點。

平時同「構成」或「組成」這字眼時,通常是指貢獻。但是,在 \| p \| 的公式中,能量平方 E^2 之前的,是負號;即是負累,不是貢獻。所以,很多時,物理學家會將該公式,調成

\displaystyle{   \begin{aligned}   \left(\frac{E}{c}\right)^2 &= (p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2 -  p \cdot p \\   \left(\frac{E}{c}\right)^2 &= |\mathbf {p} |^{2} -  p \cdot p \\   \end{aligned}  }

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留意一個有趣的事實:

\displaystyle{   \begin{aligned}   p \cdot p &= -m^{2}c^{2} \\   \end{aligned}  }

時空動量 p 的長度平方 \| p \|^2,即是 p \cdot p,在任何情況下,對於任何粒子而言,都等於 \left(- m^{2}c^{2}\right)。(平方竟然為負數的原因是,這裡的「平方」只是比喻,並非平時數學中的二次方。)

那樣,能量平方 E^2 就去了左邊,成了數式的主角。

\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ \end{aligned}}

意思就可以講成:「能量(平方)E^2 由兩個構成部:動態(平方)部分 \mathbf p \cdot \mathbf p 和靜態(平方)部分 m^2 c^2。」

在這個上文下理中,(相對論版)三維動量,其實就是能量中的動態部分。運動,必在空間中。所以動態部分,就是「空間部分」。

而質量,則是能量中的靜態部分。所以,質量又稱「靜止能」。靜止,代表「不在空間中運動」;可以視為「只在時間方向移動」。所以靜態部分,就是「時間部分」。

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概念上,精簡而言,能量是動量的一部分——能量 E 是時間方向的動量(momentum)。精準來說,能量 E 是時空動量 \displaystyle { p = \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)} 中,時間方向的分量。

數值上,精簡而言,動量是能量的一部分——動量(momentum)是總能量(total energy )的空間部分。精準來說,能量 E 是的數值中,包括了(相對論版)三次元動量 \displaystyle{\mathbf{p}} 的貢獻。

\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ \\    \frac{E}{c} &= \sqrt{|\mathbf p |^2 + m^2 c^2} \\ \end{aligned}}

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留意,暫時從來沒有提及過,動能 KE。剛才只是說,能量平方 E^2 可以分成兩部分——動態部分(空間部分)和靜態部分(時間部分)。

\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ \end{aligned}}

但是,暫時從來沒有提及過,要將能量 E 本身,分成兩部分。

\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E}{c} &= \dotsb + \dotsb \\ \end{aligned}}

動能 KE 是我們在,企圖將能量一次方 E,分成動靜兩部分時,出現的副產物。

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剛才提過,因為在能量平方的公式 \displaystyle{ \left( \frac{E^2}{c^2} = \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \right) } 中,質量平方 \displaystyle{ \left( m^2 c^2 \right)}代表靜態部分,所以,質量又名「靜止能」。

而質量可稱為「靜止能」的另一個理據是,如果物體靜止,它的三次元動量 | \bf p |,就會等於零。那樣,

\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2}     &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\     &= 0 + m^2 c^2 \\     \end{aligned}}

亦即是話,

\displaystyle{ \begin{aligned}     \frac{E^2}{c^2} &= m^2 c^2 \\ \\     E &= m c^2 \\     \end{aligned}}

所以,「質量 m c^2 是『靜止能』」的意思是,物體靜止時,身上僅有的能量數值,就是質量 m c^2

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然後,透過這個「靜能」,就可以定義到,所謂的「動能 KE」。

清晰起見,「質量 mc^2」命名為「靜能 E_r」:

\displaystyle{ \begin{aligned} E_r &= m c^2 \\ \end{aligned}}

總能量 E

\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E}{c} &= \sqrt{|\mathbf p |^2 + m^2 c^2} \\ \end{aligned}}

簡化起見,暫只考慮直線(即是一次元空間)上的運動。那樣,三次元動量 \bf p,就會降級成一次元動量 p

\displaystyle{ \begin{aligned}   \frac{E}{c} &= \sqrt{p^2 + m^2 c^2} \\ \\  E &= c \sqrt{p^2 + m^2 c^2} \\   \end{aligned}}

然後,我們把總能量 E,減去靜能 E_r 部分;把餘量命名為 E_k

\displaystyle{     \begin{aligned}     E_k &= E - E_r \\     &= \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2 \\     \end{aligned}}

物理量 E_k 的真正全名是「總能量 E 減去靜能 E_r 部分後的餘額」。由於這名字實在太長,我們簡稱它為「動能」;意思是,原本靜止的物體,因為運動而多了出來的能量。

原本靜止的物件,如果要令它,以速度 v 運動,你就需要給予它,動能 E_k 數值的能量。

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留意,這個所謂的「動量 E_k」,是由人工合成,再由後天標籤而成的。

\displaystyle{ \begin{aligned} E_k &= \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2 \\ \end{aligned}}

運算操作而言,動量 E_k 就是那麼的論盡;並沒有精簡的版本,除非取其近似值。

理論架構來說,動量 E_k 不是主角,只為配角;重要性並不如:

1. Four-momentum 時空動量

\displaystyle{p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}

2. Total energy 總能量

\displaystyle{E = p^0 c}

3. Three-momentum (3-space momentum) 相對論三次元空間動量

\displaystyle{\mathbf{p} = \left(p^{1},p^{2},p^{3}\right) = \left( p_x, p_y, p_z \right)}

\displaystyle{\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} = \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

這三位主角,各自會守恆不變:

1. 總能量 \displaystyle{E} 會因為,時間的均勻性而守恆。「時間均勻性」的意思是,物理定律不會隨時間改變。

2. 空間動量 \displaystyle{\mathbf{p}} 會因為,空間的均勻性而守恆。「空間均勻性」的意思是,宇宙間任何兩個不同地方,物理定律必為相同。

3. 結果,因為時間分量 \displaystyle{\frac{E}{c}} 和空間分量 \displaystyle{\mathbf{p}} 都守恆,時空動量 \displaystyle{p=\left({E \over c},\mathbf{p}\right)} 作為整體,亦會守恆。

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但是,動能 E_k,則從來沒有,對應的守恆定律,所以用處較少。動能 E_k 作為「未必守恆量」,只能作大配角。

\displaystyle{\begin{aligned}     E_{\text{k}}   &= {\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2} \\  &= {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}} + \dotsb \\ \\  E_{\text{k}} &\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}    \end{aligned}}

— Me@2022-01-16 05:39:11 PM

— Me@2022-01-17 01:17:51 PM

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I would flip it and say momentum [is] energy in the space-like direction. When at rest (four velocity u = (c, {\bf 0})), you are moving entirely in the time direction. Four momentum is:

\displaystyle{p_{\mu} = mu_{\mu} = (mc^2, {\bf 0})}

For a observer boosted to velocity \displaystyle{ \bf v }:

\displaystyle{p_{\mu} = mu_{\mu} =\gamma(mc^2, m{\bf v}c)=(mc^2+T, {\bf p}c)}

[Y]our rest mass (energy) now appears as momentum (and the timelike term has kinetic energy added to it).

That last equality may make it clear that when in motion (c=1):

\displaystyle{m \rightarrow m+T}

\displaystyle{{\bf 0}\rightarrow {\bf 0} + {\bf p}}

which could be interpreted as “Kinetic energy is momentum in the time-like direction”.

— answered Apr 25 ’18 at 1:13

— JEB

— Physics Stack Exchange

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