Momentum NOT as Spatial Energy, 1.2

能量無空間版 1.2

那樣，能量平方 $E^2$ 就去了左邊，成了數式的主角。

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ \end{aligned}}$

意思就可以講成：「能量（平方） $E^2$ 有兩個構成部：動態（平方）部分 $\mathbf p \cdot \mathbf p$ 和靜態（平方）部分 $m^2 c^2$ 。」

在這個上文下理中，（相對論版）三維動量，其實就是能量中的動態部分。運動，必在空間中。所以動態部分，就是「空間部分」。

而質量，則是能量中的靜態部分。所以，質量又稱「靜止能」。靜止，代表「不在空間中運動」；可以視為「只在時間方向移動」。所以靜態部分，就是「時間部分」。

把能量平方 $\displaystyle{\frac{E^2}{c^2}}$ 的兩部分 $\displaystyle{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}$ 和 $\displaystyle{m^2 c^2}$ ，分別命名為「動態部分」和「靜態部分」，並無不妥。但是，再把它們標籤為「空間部分」和「時間部分」，則不恰當。

同理，你可以把能量一次方 $E$ 的兩部分，分別命名為「動態部分」 $\displaystyle{E_k}$ 和「靜態部分」 $\displaystyle{E_r}$ 。

$\displaystyle{\begin{aligned} E_k &= {\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2} \\ E_r &= m c^2 \\ \\ E &= E_{k} + E_{r} \\ \end{aligned}}$

但是，你不應該把它們，標籤為「空間部分」和「時間部分」。原因是，能量 $E$ 本身，就已經是時空動量 $p$ 中的「時間部分」。

之前講過，能量 $E$ 是時空動量 $p$ 中，時間方向的分量。

$\displaystyle { p = \left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right) = \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right) = \left({E \over c},\bf p \right) }$

所以，你可以把能量 $E$ ，稱為「時間動量」。

但是，如果你再把能量 $E$ ，自己內部的兩部分 $E_k$ 和 $E_r$ ，標籤為「空間能量」和「時間能量」的話，它們就成了「空間時間動量」和「時間時間動量」。

這兩名字既奇怪，亦失準。

這兩標籤不正確的原因是，它們不似「能量 $E$ 是『動量在時間方向的分量』（簡稱『時間動量』）」般，是客觀術詞，數學事實，因為，它真的是四次元時空向量，四格中的最左一格：

$\displaystyle { p = \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

而能量 $E$ 自己內部的兩部分 $E_k$ 和 $E_r$ ，分別標籤為「動態部分」和「靜態部分」，亦是有根有據，物理事實，因為，在物件靜止不動 ( $v = 0$ ) 時，動態部分 $E_k$ 真的等於零。它就是所謂的「動能」。

換句話說，動能 $E_k$ ，只會在物體有運動 ( $v \ne 0$ ) 時，才會出現。

而「靜態能量」 $E_r$ ，就是當物件，即使靜止不動 ( $v = 0$ ) 時，身上仍然持有的能量。它就是所謂的「質量」。

$\displaystyle{\begin{aligned} E &= E_{k} + E_{r} \\ \\ E_r &= m c^2 \\ E_k &= {\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2} \\ \\ E_k &= {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}} + \dotsb \\ &= {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}} + \dotsb \\ \end{aligned}}$

但是，如果再把「動態能量」 $E_k$ 和「靜態能量」 $E_r$ ，標籤為「空間能量」和「時間能量」的話，那就沒有根據，不是事實；極其量，只是主觀喜好，文學修辭。

首先，能量 $E$ 的已知身份是「時間動量」。它本身就是，時間的特性。與它直接有關的，是時間。

而能量 $E$ 與空間的關係，是間接的。

能量 $E$ 與空間有關的原因是，它與時間有關，而時間又和空間有關。

相對論的重點是，時空是會互動的，各自也不能獨立運行。時間和空間，必定會影響對方。而那些數學細節，就是「時空畢氏定理」。

而「時空畢氏定理」的時空動量版本，就是

$\displaystyle{ \begin{aligned} p \cdot p &= -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2 \\ &= -(\frac{E}{c})^2 + (p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2 \\ \\ p \cdot p &= -m^{2}c^{2} \\ \\ -m^{2}c^{2} &= -(\frac{E}{c})^2 + (p_x)^2 + (p_y)^2 + (p_z)^2 \\ -m^{2}c^{2} &= -(\frac{E}{c})^2 + |\mathbf{p}|^2 \\ \end{aligned} }$

時空動量 $p$ 的長度平方 $p \cdot p$ ，對於任何粒子而言，在任何情況下，都等於 $\left(- m^{2}c^{2}\right)$ 。由於這個硬性規定，能量（時間動量） $E$ 和三次元動量（空間動量） $\displaystyle { \left(p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$ 並不能獨立變動。任何一方的數值改變，必定牽動另一方。

$\displaystyle{\begin{aligned} E &= E_{k} + E_{r} \\ \end{aligned}}$

無論靜止或運動，能量數值 $\displaystyle{ E = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4} }$ 都不會零；意思是，無論靜止或運動，物體必在時間中「移動」。（三次元動量 $\mathbf{p}$ ，則在物體沒有運動，即靜止時，立刻為零。）

記住，無論是總能量 $E$ ，或其動靜分部 ( $E_k, E_r$ ) 部的任何一個，都是時間的「產物」；沒有所謂的「純空間」分部。所以，只把靜能（質量） $E_{r}$ 標籤為「時間能量」，卻把動能 $E_k$ 叫作「空間能量」，暗示其為「純空間能量」，並不恰當。

換句話說，把身份已知為「時間動量」的能量 $E$ ，再分拆為「時間能量」和「空間能量」，並不合理：

$\displaystyle{\begin{aligned} E &= E_{k} + E_{r} \\ \end{aligned}}$

~~能量 $E$ ＝空間能量＋時間能量~~

正確的分類和命名是：

$\displaystyle { p = \left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right) = \left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right) = \left({E \over c},\bf p \right) }$

時空動量＝（時動量， $x$ 空動量， $y$ 空動量， $z$ 空動量）
時空動量＝（能量，動量）

.

$\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{E^2}{c^2} &= \mathbf p \cdot \mathbf p + m^2 c^2 \\ \end{aligned}}$

能量平方＝動量平方＋質量平方
能量平方＝動態部分＋靜態部分

.

$\displaystyle{\begin{aligned} E_k &= {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}} + \dotsb \\ &= {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}} + \dotsb \\ \\ E_r &= m c^2 \\ E_k &= {\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2} \\ \\ E &= E_{k} + E_{r} \\ \end{aligned}}$

能量＝運動能量＋靜止能量
能量＝動能＋質量