Binomial coefficient 1.2

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

其實，你毋須透過任何複雜的運算（例如「數學歸納法」），而單靠簡單的思考推理，都可以嚴謹推導得到，只要你對「二項式定理」和「nCr」的 physical meaning（實質意義）足夠了解便行。

首先，你要知道，因為 (x+y)^4 本身是 4 次方，所以展開以後，每一項也是 4 次方的，即是由 4 個英文字母相乘而成。分別是，每一項的 4 個英文字母之中，x 的數目不同。而 y 的數目，亦會項項不同，因為 y 的數目，等於 4 減 x 的數目。例如，有 3 個 x 相乘的話，該項就同時有 1 個 y 。

那樣，總共有多少項是由 3 個 x 和 1 個 y 相乘而成的呢？

其中一種方法是，直接展開 (x+y)^4，把全部 16 項也列出來：

(x+y)^4

= (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= … + xxxy + … + xxyx + … + xyxx + … + yxxx + …

16 項之中，總共有 4 項，是由 3 個 x 和 1 和 y 組成的。結論是，x^3 y 的係數是 4。

更好的方法是，靠簡單的推理：

每一項也是 4 次方，即是有 4 個空格要填。

＿＿＿＿

4 個空格之中，要填 3 個 x，總共有多少個填法呢？

答案明顯是 4C3，即是「4 選 3」，等於 4。結論是，x^3 y 的係數是 4。

— Me@2012.02.11

2012.02.11 Saturday (c) All rights reserved by ACHK