二項式係數 3.1

Binomial coefficient 3.1

這段改編自 2010 年 5 月 25 日的對話。

nCr 的數值代表，如果要從 n 件物件中選 r 件出來，有多少個可能性。例如，從 5 個蘋果中，選 3 個出來的話，有多少種選擇呢？答案是 5C3，即是「5 選 3」，等於 10。

nCr 的另一個詮釋是，如果要把 n 件物件分成兩組，一組有 r 件，而另一組有 (n – r) 件的話，有多少個可能性。例如，假設要把 5 個蘋果分成兩袋。一袋有 3 個，而另一袋有 2 個。那樣，有多少個分配方法呢？答案是 5C3，即是「5 選 3」，等於 10。

只要你把 5C3 的公式寫出來，「分成兩組」的意思會格外明顯。　

5C3 =

(5!)
——–
(3!)(2!)

分子的「5!」代表總共有 5 個蘋果。分母有兩個因子，代表要分成兩袋。第一個因子是（3!)，代表第一袋要有 3 個蘋果。第二個因子是（2!)，代表第二袋要有兩個。

在這個 nCr 的詮釋下，「 nCr = nC(n-r) 」的原因一目了然。

— Me@2012.02.17

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