Probability 3.3

這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。

15 個錢幣之中，有 3 個是金的。假設你要由那 15 個錢幣之中，抽 4 個出來，抽到 3 個金幣的機會率是多少？

已知整個過程是隨機的，即是抽中各個錢幣的機會均等。

這一題有兩種運算方法。

第一種運算方法，我稱之為「機會率方法」，簡稱「P」。

…

我現在解釋，使用「P 方法」時，為何在那四個分數之後，要乘多一個 4C3。（4C3 即是「4 選 3」，等於 4。）

我剛才考慮，抽到「頭三個是金」和「尾一個非金」的機會率是多少？

（金）（金）（金）（X） = （3/15）（2/14）（1/13）（12/12）

但是，原本的題目並沒有規定 4 個錢幣之中，哪 3 個是金的，所以，我們還要用同樣的方法，思考其他的可能性：

（金）（金）（金）（X） = （3/15）（2/14）（1/13）（12/12）

（金）（金）（X）（金） = （3/15）（2/14）（12/13）（1/12）

（金）（X）（金）（金） = （3/15）（12/14）（2/13）（1/12）

（X）（金）（金）（金） = （12/15）（3/14）（2/13）（1/12）

只要把上面 4 個機會率加在一起，就是你要的最終答案。但是，那樣做會十分費時失事。有沒有快一點的做法呢？

有。只要利用一個簡單的觀察就可以。以上的 4 組數中的每一組，都是由 4 個分數相乘而成。雖然，例如，第一組的四個分數，並不同於第二組的那四個，但是，它們的分子，都是由那四個數「3、2、1、12」相乘而成的。唯一的分別，是次序不同。所以相乘以後，4 組數的數值是相同的。

（金）（金）（金）（X） = （72/32760）

（金）（金）（X）（金） = （72/32760）

（金）（X）（金）（金） = （72/32760）

（X）（金）（金）（金） = （72/32760）

既然是那樣，與其逐個運算，倒不如先計「（金）（金）（金）（X）」的機會率，然後乘以 4，直接獲取最終答案。

（3/15）（2/14）（1/13）（12/12）4 = 0.008791

那樣，為何我們會知道，總共只有 4 個排法？或者說，我們如何保證，沒有漏網之魚呢？

不同排法，代表那 3 個金幣，放於 4 格之中的不同位置。換句話說，你只需要思考，4 格之中放 3 個金幣，總共會有多少個方法。所以，答案是 4C3。 4C3 即是「4 選 3」，等於 4。

（3/15）（2/14）（1/13）（12/12）4C3 = 0.008791

我現在只是令你理解，為何在那四個分數之後，要乘多一個 4C3。到你自己做題目時，毋須思考得那麼詳細。你只需要懂得這樣想就可以：

4 個錢幣中，有 3 個是金的，而題目又沒有規定是哪 3 個，所以，要乘多一個 4C3。

— Me@2012.04.13

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