淘汰賽 1.2

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在初賽相遇的機會率有多少？

P 方法：

…

S 方法：

初賽共有 8 格參賽位置，即是 4 對。

(_)(_) (_)(_) (_)(_) (_)(_)

我們先考慮所有可能排列的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的排列有多少，放於分子。

（＿）
（）

總共有 8 個人 8 個位置，所以共有 8! 個可能的排列。

（＿）
（8!）

而我們想要的結果是， A、B 在初賽相遇。我們接受的可能性包括，

A、B 在第一對參賽位置、

(A)(B) (_)(_) (_)(_) (_)(_)

A、B 在第二對參賽位置、

(_)(_) (A)(B) (_)(_) (_)(_)

A、B 在第三對參賽位置、

(_)(_) (_)(_) (A)(B) (_)(_)

或者 A、B 在第四對參賽位置。

(_)(_) (_)(_) (_)(_) (A)(B)

所以，分子有一個（4）的因素。

（4）
＿＿
（8!）

然後，考慮到即使 A、B 的內部對調位置，結果都可以接受：

(B)(A) (_)(_) (_)(_) (_)(_)

(_)(_) (B)(A) (_)(_) (_)(_)

(_)(_) (_)(_) (B)(A) (_)(_)

(_)(_) (_)(_) (_)(_) (B)(A)

分子再有一個（2）。

（4）（2）
＿＿＿
（8!）

餘下有 6 個位置給 6 個人選擇。所以，分子還有一個（6!）。

（4）（2）（6!）
＿＿＿＿＿
（8!）

結論是， A 和 B 在初賽相遇的機會是 1/7。

（4）（2）（6!）
＿＿＿＿＿
（8!）

= （1/7）

答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。

— Me@2012.10.18

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.18

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