淘汰賽 2.2

這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。

假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。

另外，每人在每場勝利的機會相同，都是二分之一。

問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在第二輪比賽，即是準決賽，相遇的機會率有多少？

(_) (_) 決賽

(_) (_) (_) (_) 準決賽

(_)(_) (_)(_) (_)(_) (_)(_) 初賽

第一對第二對第三對第四對

P 方法：

…

S 方法：

我們先考慮所有可能排列的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的排列有多少，放於分子。

（＿）
（）

準決賽總共有 8 個可能的參加者， 4 個位置，所以共有 8P4 個可能的排列。（8P4）即是「8 排 4」，等於 1680。

（＿＿）
（8P4）

而眾多可能的排列中，我們接受的是 A B 對賽的情況，總共有 4 類。

(A)(B) (_)(_)

(B)(A) (_)(_)

(_)(_) (A)(B)

(_)(_) (B)(A)

所以，分子先有一個（4）的因素。

（4）
＿＿＿
（8P4）

另外，餘下有 6 個可能的參加者，兩個位置，所以共有 6P2 個可能的排列。所以，分子再有一個（6P2）。

（4）（6P2）
＿＿＿＿
（8P4）

結論是， A 和 B 在準決賽相遇的機會是 1/14。

（4）（30）
＿＿＿＿
（1680）

= 1/14

答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。

— Me@2012.10.22

致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！

— Me@2012.10.17

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