微積分 6.4

無限年 3.4 | 0/0 2

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：你的意思是，牛頓和萊布尼茲發明「微積分」之初，雖然必須使用「無限小」這個概念，但卻沒有賦予它，一個嚴格的定義。而這個「微積分」的漏洞，是後人幫他們修補的。）

無錯。那些數學後人，用了「(ε, δ)-definition of limit」(“epsilon-delta definition of limit”)，來定義「無限小」。

（安：那樣，「無限小」的嚴格定義是什麼？）

例如，數式

$\frac{x^2-9}{x-3}$

\frac{x^2-9}{x-3}

在 x = 3 時，並沒有數值，因為那會導致分母變成零。分母等於零的分數，沒有任何數學意義。但是，我們卻可以研究，

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

等於什麼。換句話說，雖然 x = 3 並不合法，但是，我們仍然可以追問，「x 非常接近 3」時，這題數式會得到什麼數值。

正式的運算方法是這樣的：

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$

\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x-3)}{x-3}$

= lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}

然後，我們約了分子和分母的(x-3)：

$= \lim_{x \to 3} (x + 3)$

= lim_{x \to 3} (x+3)

= 6

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

$\left( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \right) = 6$

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

…

— Me@2013.03.07

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