無限年 3.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

如果用粗疏的語言，我們會說，當 x 非常接近 3 時， 就會非常接近 6。

如果用「微積分初版」的語言，我們會說，當 x 和 3 的距離是「無限小」時， 和 6 的距離，都會是「無限小」。

如果準確一點的語言，我們會說，當 x 足夠接近 3 時， 就會足夠接近 6；又或者說，無論你要數式的數值，多麼接近 6 都可以，只要 x 足夠接近 3。

如果用後期數學家，所創製的嚴格語言，我要會說，

0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3 | < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right|

\forall \epsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3| < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right| < \epsilon)

意思是，如果你要求數式   和 6 的距離，小於 (\epsilon)，無論 \epsilon 有多麼小，你都一定可以達成，只要你設定 x 和 3 的偏差，小於 (\delta)。換句話說，這裡定義了，何謂「足夠接近」。

那些後期數學家，就是用了這套「(ε, δ)-definition of limit」(epsilon-delta definition of limit) 的語言，來描述牛頓和萊布尼茲，在「微積分初版」中，原本想帶出的意念，而又避開了「無限小」這個詞彙。

（安：但是， (\delta) 是什麼呢？

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話，你對「無限小」的定義，尚未完成？）

— Me@2013.03.09

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