Multinomial coefficient 2.1

二項式係數 4.1 | Binomial coefficient 4.1

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

你只要用二項式係數(binomial coefficient),就可以立刻知道答案。題目所問的,就相當於

如果要從那 10 人之中,抽 4 個出來(去乘坐第一輛車),總共有多少種抽法?

答案明顯是 10_C_4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

另一個看法是,你直接把這題看成「分組問題」,用「多項式係數」(multinomial coefficient)去運算。

總共有 10 個人,所以分子是 (10!):

(10!)
——–
(__)

總共有兩組,所以分母有兩個因子:

(10!)
——–
(_)(_)

第一組有 4 個人,所以第一個因子是 (4!):

(10!)
——–
(4!)(_)

第二組有 6 個人,所以第二個因子是 (6!):

(10!)
——–
(4!)(6!)

結論同樣是,如果第一輛車載 4 名乘客,而第二輛車載 6 名,總共就有 210 個,可能的分配乘客方法。

(CYW:但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?)

— Me@2013.06.29

2013.06.29 Saturday (c) All rights reserved by ACHK