Multinomial coefficient 2.5

二項式係數 4.5 | Binomial coefficient 4.5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 4 人,而第二輛的載客量是 6 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

言歸正傳,剛才我講過:

記住,是否視之為「一個」可能性,並不是跟你的感覺行事。一切要按題目的指示去定義。例如,在這一題中,題目問的是「分法」,而不是「抽法」,或者「坐法」。

所以,答案明顯是 10_C_4,即是「10 選 4」,等於 210。結論是,總共有 210 個可能的分配方法。

10_C_4 =

(10!)
——–
(4!)(6!)

而我亦提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」—— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 4 個人 和 第二組有 6 個人。因為是「分組」,即是「分成組合」,所以每組內部的次序並不重要。

但是,你剛才又追問:

但是,我覺得應該不止有 210 個可能性,因為抽某 4 個人出來時,本身有很多個抽法。假設「甲、乙、丙、丁」四人被抽中,去乘坐第一輛車,「先抽甲出來」和「先抽乙出來」,就已經是兩個不同的可能性。我不太明白,為什麼毋須考慮這一點?

那樣,我就會答:

你講得沒有錯,即使在那 10 人中,指定某 4 個人去乘第一輛車,那就已經有(4!)個可能性,即是 24 個那 4 人被抽出來時,可能的先後次序。

而正正是因為那樣,再加上那(4!)個可能性,在題目問法的上文下理之下,被定義為「同一個」case(事件可能性),所以分母才會有一個(4!)的因子,用以減低「事件可能性」的數目。

換而言之,題目只在乎「分配方法」,即是那 10 人之中,哪些人上第一輛車,哪些人去第二輛。

試想想,假設你只懂乘除,而不懂得任何機會率或者統計學的公式,你會怎樣完成這一題呢?

— Me@2013.07.12

2013.07.12 Friday (c) All rights reserved by ACHK