二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事：

利用 multinomial coefficient（分組公式）時，有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子：

「

如果有 10 個人，要分成兩隊音樂組合，各自有 5 人，那總共有多少個可能？

」

答案表面上是 10_C_5，即是「10 選 5」，因為，你要考慮由那 10 人之中，選 5 人出來組成第一組樂隊，有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過，這題式又可以視為「多項式係數」（multinomial coefficient），意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組；分母則是指，第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是，實際上，正確的運算方法，應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是，題目只要求把那 10 人分成，兩組人數相同的樂隊，而題目並沒有要求區分，哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如，

「

由『ABCDEFGHIJ』10 人中，選了『ACEGI』5 人出來，先組成一隊

」

和

「

由『ABCDEFGHIJ』10 人中，選了『BDFHJ』5 人出來，先組成一隊

」，

在這一題上文下理的要求下，應該歸納為同一個「case」（事件可能性），因為，兩者的結果都同樣是：

「

『ACEGI』為之一隊，而『BDFHJ』則為之另一隊。

」

如果題目改為：

「

如果有 10 個人，要抽 5 人出來，組成一隊音樂組合，那總共有多少個可能？

」

答案則是：

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為：

「

如果有 10 個人，要分成兩隊音樂組合，第一組有 5 人，而第二組又有 5 人，那總共有多少個可能？

」

答案都是：

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話，試一試這題：

「

假設有 10 個友人，要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人，而第二輛的載客量是 5 人。換而言之，那 10 人要分成兩組乘車。那樣，總共有多少個分配方法呢？

」

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5，還是 10_C_5 呢？

— Me@2013.07.19

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