Multinomial coefficient 3

二項式係數 5 | Binomial coefficient 5

這段改編自 2010 年 7 月 20 日的對話。

外傳故事:

利用 multinomial coefficient(分組公式)時,有一個情況要額外小心。我們先研究一題例子:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,各自有 5 人,那總共有多少個可能?

答案表面上是 10_C_5,即是「10 選 5」,因為,你要考慮由那 10 人之中,選 5 人出來組成第一組樂隊,有多少個方法。

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

而我亦多次提過,這題式又可以視為「多項式係數」(multinomial coefficient),意思是「分組公式」 —— 分子是指把 10 人分成兩組;分母則是指,第一組有 5 個人 和 第二組有 5 個人。

但是,實際上,正確的運算方法,應該是

(1/2) 10_C_5 =

1(10!)
——–
2(5!)(5!)

原因是,題目只要求把那 10 人分成,兩組人數相同的樂隊,而題目並沒有要求區分,哪組為之「第一組」、哪組為之「第二組」。例如,

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『ACEGI』5 人出來,先組成一隊

由『ABCDEFGHIJ』10 人中,選了『BDFHJ』5 人出來,先組成一隊

」,

在這一題上文下理的要求下,應該歸納為同一個「case」(事件可能性),因為,兩者的結果都同樣是:

『ACEGI』為之一隊,而『BDFHJ』則為之另一隊。

如果題目改為:

如果有 10 個人,要抽 5 人出來,組成一隊音樂組合,那總共有多少個可能?

答案則是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

如果題目改為:

如果有 10 個人,要分成兩隊音樂組合,第一組有 5 人,而第二組又有 5 人,那總共有多少個可能?

答案都是:

10_C_5 =

(10!)
——–
(5!)(5!)

明白的話,試一試這題:

假設有 10 個友人,要乘坐計程車去郊遊。總共有兩輛計程車。第一輛車的載客量是 5 人,而第二輛的載客量是 5 人。換而言之,那 10 人要分成兩組乘車。那樣,總共有多少個分配方法呢?

究竟答案應該是 (1/2) 10_C_5,還是 10_C_5 呢?

— Me@2013.07.19

2013.07.20 Saturday (c) All rights reserved by ACHK