17 | February | 2013 | Physics Town

無限年 2.4 | 微積分 4.4

這段改編自 2010 年 6 月 15 日的對話。

這個 limit（極限值）的正式運算方法是：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{x^2}{x^3} \right)}{\left(\frac{x^3 + 6}{x^3}\right)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \frac{1}{x} \right)}{\left(1 + \frac{6}{x^3}\right)}$

$= \frac{\left( 0 \right)}{\left(1 + 0 \right)}$

$= 0$

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= lim_{x -> infinity} (1/x)/(1 + 6/x^3)

= (0)/(1 + 0)

= 0

這個方法的的精髓是，雖然，因為「無限」（ $\infty$ ）並不是一個數，你不可以代它於任何變數 x 之中；但是， $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ 是卻一個數，而且等於零，所以，你可以把「零」代於所有（1/x）出現的地方。

$\left( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \right) = 0$

( lim_{x -> infinity} 1/x ) = 0

剛才講過，如果分子和分母同時趨向「無限」，整個分數究竟是趨向「零」、「有限數」或者「無限大」，要視乎分子中 x 次方比較大，還是分母。例如在這一題中，分子的 x 是二次方（x^2），而分母的 x 是三次方（x^3），所以，分母的「無限大」高級過分子的「無限大」。結果，整個分數趨向零。

以下只是輔助記憶的密碼，並不是正確合法的數學符號：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3 + 6}$

$= \frac{\infty^2}{\infty^3}$

$= 0$

你可以在心裡運用，但不可以寫出來。

lim_{x -> infinity} x^2/(x^3 + 6)

= （無限）^2/（（無限）^3 + 6）

= 0

換句話說，這個高速心算方法，其實就是由 x 次方的大小，來比較眾多「超大」的級數。有了這個「比較次方法」，你在作正式的運算前，就可以直接知道答案。所以，除了剛才提及，「用計數機代 x = 100,000」的方法外，你還可以用這個方法來驗算，牽涉「無限」的極限題目。

— Me@2013.02.17

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