乘法意思 5.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

剛才討論「乘法意思」時，提及過「無理數」。我現在想詳細講述一下。

一般而言，需不需要用小數，要視乎你所用的單位。例如，你用間尺量度一條線，發現長度等於 2.4cm。你需要用小數 2.4，是因為你用了厘米 cm 作為單位。如果轉用毫米 mm，你就可以用整數，來表達同樣的長度。

2.4 cm = 24 mm

但是，有時，無論用整數還是小數，都好像表達不到某些長度。例如，如果你間尺的最小間隔是 1mm，而你所度的長度是介乎 12mm 和 13mm 之間，一方面，你不能用整數來表達那長度，因為那既不是 12mm，又不是 13mm；另一方面，你亦不能用小數來表達，因為憑那把間尺，你並不知道，那長度是 12 點幾。

按常識，只要使用刻度精細一點的間尺，就可以解決這個問題 —— 你就可以用整數，準確表達那個長度。用厘米 cm 作刻度不行的話，就用毫米 mm；用毫米都不行的話，就用十分之一毫米；如此類推。在這個「可以透過縮小單位，來把小數化成整數」的情況下，你所量度的長度數值，如果堅持用原本的單位，就會表達成一個「有理數」（rational number），可以用「有盡小數」或者「循環小數」來表達。

但是，數學世界卻隱藏了，一些不按一般人「常識」的情況。有一些線的長度，無論你間尺的刻度有多精細，它永遠止於兩個刻度之間。例如，如果一個正方形的邊長是一個單位，它的對角線長度，就會是「開方 2」個單位（）。

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「開方 2」就為之「無理數」（irrational number）。表達成小數的話，它會「無盡不循環」。

（安：那如果用對角線作為單位呢？

如果用一把刻度間隔，剛好是那條對角線長度的間尺，你就相當於把那長度，定義為「一個單位」。那樣，你就可以用「一」這個數字，來表達那對角線長度，而迴避了「無理數」。）

但是，那樣的話，你就犧牲了那正方形的邊長。你會被迫把它表達成「無理數」。

— Me@2013.02.20

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