乘法意思 5.1

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

剛才討論「乘法意思」時，提及過「無理數」。我現在想詳細講述一下。

一般而言，需不需要用小數，要視乎你所用的單位。例如，你用間尺量度一條線，發現長度等於 2.4cm。你需要用小數 2.4，是因為你用了厘米 cm 作為單位。如果轉用毫米 mm，你就可以用整數，來表達同樣的長度。

2.4 cm = 24 mm

但是，有時，無論用整數還是小數，都好像表達不到某些長度。例如，如果你間尺的最小間隔是 1mm，而你所度的長度是介乎 12mm 和 13mm 之間，一方面，你不能用整數來表達那長度，因為那既不是 12mm，又不是 13mm；另一方面，你亦不能用小數來表達，因為憑那把間尺，你並不知道，那長度是 12 點幾。

按常識，只要使用刻度精細一點的間尺，就可以解決這個問題 —— 你就可以用整數，準確表達那個長度。用厘米 cm 作刻度不行的話，就用毫米 mm；用毫米都不行的話，就用十分之一毫米；如此類推。在這個「可以透過縮小單位，來把小數化成整數」的情況下，你所量度的長度數值，如果堅持用原本的單位，就會表達成一個「有理數」（rational number），可以用「有盡小數」或者「循環小數」來表達。

但是，數學世界卻隱藏了，一些不按一般人「常識」的情況。有一些線的長度，無論你間尺的刻度有多精細，它永遠止於兩個刻度之間。例如，如果一個正方形的邊長是一個單位，它的對角線長度，就會是「開方 2」個單位（）。

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「開方 2」就為之「無理數」（irrational number）。表達成小數的話，它會「無盡不循環」。

（安：那如果用對角線作為單位呢？

如果用一把刻度間隔，剛好是那條對角線長度的間尺，你就相當於把那長度，定義為「一個單位」。那樣，你就可以用「一」這個數字，來表達那對角線長度，而迴避了「無理數」。）

但是，那樣的話，你就犧牲了那正方形的邊長。你會被迫把它表達成「無理數」。

— Me@2013.02.20

2013.02.22 Friday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

乘法第五關：何謂「負數次方」？

如果是正數次方，例如 a^2，即是在原本數字的右邊，乘多兩個 a：

(a^3) a^2 = (a^3) a a = a^5

那樣，按常理，負數次方，例如 a^{-2}，就應該代表，要令到原本的數字，乘少兩個 a：

(a^3) a^{-2} = a a a = a

(a^3) a^{-2} = a a a (but cancel two a’s) = a

然後，你回想一下，一生之中，學過什麼數字或者符號，乘在原本數字的右邊後，會等於「刪除了其中兩個 a」？

a a a (?) (?) = a

只有「a 分之一」有這個效果：

(a^3) a^{-2} = a a a (1/a) (1/a) = a

所以，

a^{-2} = 1/a^2

— Me@2013.02.15

2013.02.16 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

乘法的第四個難題是，何謂「二分一次方」。

「a 的 n 次方」的意思是，有 n 個 a 乘在一起。所以，「a 的二分一次方」，就即是有半個 a 乘在一起。但是，何謂「半個 a 乘在一起」呢？

如果你用數學公式 ，你就可以推斷到：

a^m a^n = a^{m+n}

a^{1/2} a^{1/2} = a^1

留意，「半個 a」如果是在「加法」的上文下理中，是指

a/2

但是，現在討論「乘法」。所以，這裡是指「乘法上的半個 a」。如果有這個概念，即使不用數學公式 ，你都可以推斷到， 是什麼。

a^{1/2} a^{1/2} = ?

試想想，根據「一半」這個詞語的意思，「兩個半」就即是「一個」。所以，「乘以兩次半個 a」，很明顯等於「乘以一個 a」。

a^{1/2} a^{1/2} = a^1

然後，你回想一下，一生之中，學過什麼數字或者符號，自乘兩次後，會等於「a 的一次方」？

(?)(?) = a

只有「a 平方根」有這個效果：

\sqrt{a} \sqrt{a} = a

所以，

a^{1/2} = \sqrt{a}

— Me@2013.02.13

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