這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：那「負負得正」又如何解釋呢？

如果是

(-5) x (-3)

= +15，

第一個負數，可以理解為「負的金錢數目」。「-5」代表「5 元的欠債」。第二個負數，則要理解為「負的債主數目」。但是，那又是什麼意思？何謂「有 -3 個債主」？）

剛才說，你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元。所以，你的身家是 -15 元：

(-5) x 3

= -15

假設，三人中的「丙」，不知何故，突然說毋須你還錢。那樣，你的身家會變成什麼數目？你的身家會增加還是減少？

（安：身家會由 -15 元，變成 -10 元。那應該算是「增加」，因為欠債減少了。）

無錯。由 -15 元變成 -10 元，即是身家多了 5 元：

– 15 + (+5) = -10

現在，我們可以追究一下，如果要運算，算式會是怎樣的。原本你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元：

(-5) x 3

= -15

但是，後來「丙」毋須你還，令你的債主數目，少了 1 個，所以債主的數目改變，是 -1：

(-5) x (3-1)

根據常理，你的新身家是 -10：

(-5) x (3-1) = -10

根據「乘法分配性質」，算式左邊會變成：

(-5) x (3) + (-5) x (-1) = -10

再把算式簡化：

-15 + (-5) x (-1) = -10

(-5) x (-1) = -10 + 15

(-5) x (-1) = +5

那樣，我們就推斷到，負負得正。第一個「負」，代表欠債；第二個「負」，就代表少了債主；而結果是「正」，則代表你的財產增加了。

「負負得正」的實質意思是，「債主數目變小」會導致「欠債減少」。「欠債減少」就等價於「財富增加」。

實情是，「負負得正」這個數學規律，最先發現的，不是數學家，或者物理學家，而是會計師。

— Me@2013.02.06

2013.02.06 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

另一個難解的數學基礎內容是，為何「負負得正」。

假設你原本的淨資產總值是零。「淨資產總值」簡稱「身家」。你向甲乙丙三人借錢，每人借給你 5 元的話，你的身家就會變成了-15（負十五），因為

(-5) x 3

= -15

在這題算式中，「-5」的負，代表欠債；而「3」，即是「+3」，則代表債主數目。由於你在身無分文下，問人借錢，借了後的身家，一定會少過「0 元」。所以，借錢後的身家是「負數」。

利用這個例子，我們就可以理解，「正負得負」的意思。你問一個人借 5 元，要導致欠債。你問三個人各自借 5 元，都會是欠債。那就是「正負得負」的由來。

（安：那「負負得正」又如何解釋呢？

如果是

(-5) x (-3)

= +15，

第一個負數，可以理解為「負的金錢數目」。「-5」代表「5 元的欠債」。第二個負數，則要理解為「負的債主數目」。但是，那又是什麼意思？何謂「有 -3 個債主」？）

— Me@2013.02.05

2013.02.05 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

詳細一點的說，你計算一個面積的大小時，其實就相當於問，該個面積，總共佔了多少個單位方格。如果所佔方格的數目是整數，「行數」和「列數」都會是整體。那樣，你就毋須逐格點算，也可以知道，該塊面積所佔的方格總數。例如，「3 cm x 2 cm」代表了有三行兩列，而每個網格的大小都是 1 cm x 1 cm。所以，方格總數是 3 x 2，等如 6。

如果格數不是整數，「行數」和「列數」就至少有一個不是整數，例如 3.1 cm x 2.1 cm。那代表了，你用來「點算」面積的網格太大，導致網格數目不是整數。

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如果轉用小一點的網格作為單位，你就可以避免小數的出現：

3.1 cm x 2.1 cm

= 31 mm x 21 mm

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這樣，我們就可以用面積的概念來理解，為何「小數乘法」都可以視為，「重複加法」的一個特例。

而「無理數」（irrational number）的意思是，無論單位網格縮到多細，小數也一定會出現。

— Me@2013.02.03

2013.02.03 Sunday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

但是，運算的過程中，你用了乘數表，而乘數表本身，是由加法製成的。換句話說，即使你把「3.1 乘以 2.1」詮釋為「長方形面積」，最終你也要答我，如何把它化成「重複加法」。

3.1 cm x 2.1 cm = ?

如果要把這一道算式化成「重複加法」，唯有將它化成「整數乘法」。我們可以先回顧一下，運算這個面積時，那兩個小數從何而來。小數出現的原因是，單位太大。如果我們轉用小一點的單位，就可以避免小數的出現。

3.1 cm x 2.1 cm

= 31 mm x 21 mm

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換句話說，我們用來「點算」面積的網格太大，導致不能密鋪平面。如果我們轉用小一點的網格作為單位，就可以避免「密不鋪面」的情況出現。

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— Me@2013.02.02

2013.02.02 Saturday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：我們可以把「3 乘以 2.1」，看成有三個 2.1 加在一起：

3 x 2.1

= 2.1 x 3

= 2.1 + 2.1 + 2.1

= 6.3

）

都可以。那樣，「3.1 乘以 2.1」呢？

（安：或者，「乘法」的意思不限於「重複加法」。有時，我們可以把「乘法」看成「運算長方形面積」。如果有一個長方形的長闊，分別是 3.1cm 和 2.1cm，他的面積就是「3.1cm 乘以 2.1cm」。）

那即是多少平方厘米呢？

（安：如果用計數機，我們可以立刻知道，

3.1cm x 2.1cm

= 6.51 cm^2

）

但是我現在正正是追問你，「乘法」的真正意思。如果你用計數機，就相當於迴避了問題。

（安：那不難解決。不用計數機的話，我們可以用，小學時所學的「乘法直式」。

    3.1
x   2.1
———
  6 2
    3 1
———
  6.5 1

）

但是，運算的過程中，你用了乘數表，而乘數表本身，是由加法製成的。換句話說，即使你把「3.1 乘以 2.1」詮釋為「長方形面積」，最終你也要答我，如何把它化成「重複加法」。

3.1 x 2.1 = ?

— Me@2013.02.01

2013.02.01 Friday (c) All rights reserved by ACHK

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

Young man, in mathematics you don’t understand things. You just get used to them.

— John von Neumann

數學之中，越基礎的內容，有時會越難解釋。那些基礎內容，我們有時會以為自己明白。那只是因為，我們已經習慣了那些東西。「習慣」冒充了「明白」的感覺。例如，「3 乘以 2」 是什麼意思？

（安：「3 乘以 2」即是有兩個 3 加在一起，所以是 6。

3 x 2 = 3 + 3 = 6

）

無錯。那「3 乘以 2.1」 呢？何謂「有 2.1 個 3 加在一起」？

3 x 2.1 = ?

（安：我們可以把「3 乘以 2.1」，看成有三個 2.1 加在一起：

3 x 2.1

= 2.1 x 3

= 2.1 + 2.1 + 2.1

= 6.3 

）

都可以。那樣，「3.1 乘以 2.1」呢？

— Me@2013.01.30

2013.01.31 Thursday (c) All rights reserved by ACHK