無限年 3.7

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：那就即是話，我們使用「無限小」這個詞語，只是為了教學和運算上的便利，而並不是真的有一個數字，叫做「無限小」。）

無錯。

— Me@2013.03.13

2013.03.13 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK

無限年 3.6

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

（安：但是， (\delta) 是什麼呢？

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話，你對「無限小」的定義，尚未完成？）

無錯。我還需要講清楚，\delta 究竟是什麼。

不過，每一題極限（limit）題目的 \delta 都會不同。\delta 並沒有通用的定義，而是要經過一點運算才知道。例如，以這一題極限題目而言，\delta 剛好等於 (\epsilon)。

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

意思是，如果你要求數式 和 6 的距離，小於 (\epsilon)，無論 \epsilon 有多麼小，你都一定可以達成，只要你設定 x 和 3 的偏差，小於 (\epsilon)。例如，如果你要求數式和 6 的距離，小於 0.001（\epsilon），只要你設定 x 和 3 的偏差小於 0.001（\delta = \epsilon），就可以達成。

（安：還有，你說那些後期數學家，就是用了這一套避開了「無限小」這個詞彙的語言，來描述牛頓和萊布尼茲，在「微積分初版」中，原本想帶出的意念。

你是否暗示了，其實「微積分初版」中的結果是正確的，雖然運算步驟含糊其詞？）

可以那樣說。「微積分初版」的運算結果大致正確；對於日常用家而言，可信可用。現在中學的「微積分」課程，也是「微積分初版」。

（安：那為什麼還要嚴格定義「無限小」？那是否庸人自擾？）

因為「微積分初版」的運算結果，只是「大致正確」，並非「完全正確」。在高深一點的理論或應用中，「微積分初版」會完全瓦解。

還有，「『微積分初版』的運算結果大致正確」，是事後孔明。「微積分初版」並不知道自己，原來「大致正確」。那是「微積分再版」對它的評語。

一日「無限小」這個邏輯漏洞尚未修補，一日也不知道，「微積分初版」在什麼情況下可以用，什麼情況下不可以。

— Me@2013.03.11

2013.03.11 Monday (c) All rights reserved by ACHK

無限年 3.5

這段改編自 2010 年 4 月 3 日的對話。

當 x 接近 3 時，(x+3) 很明顯會接近 6。所以，結論是，

( \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} ) = 6

如果用粗疏的語言，我們會說，當 x 非常接近 3 時， 就會非常接近 6。

如果用「微積分初版」的語言，我們會說，當 x 和 3 的距離是「無限小」時， 和 6 的距離，都會是「無限小」。

如果準確一點的語言，我們會說，當 x 足夠接近 3 時， 就會足夠接近 6；又或者說，無論你要數式的數值，多麼接近 6 都可以，只要 x 足夠接近 3。

如果用後期數學家，所創製的嚴格語言，我要會說，

0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3 | < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right|

\forall \epsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x – 3| < \delta \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2-9}{x-3} – 6 \right| < \epsilon)

意思是，如果你要求數式   和 6 的距離，小於 (\epsilon)，無論 \epsilon 有多麼小，你都一定可以達成，只要你設定 x 和 3 的偏差，小於 (\delta)。換句話說，這裡定義了，何謂「足夠接近」。

那些後期數學家，就是用了這套「(ε, δ)-definition of limit」(epsilon-delta definition of limit) 的語言，來描述牛頓和萊布尼茲，在「微積分初版」中，原本想帶出的意念，而又避開了「無限小」這個詞彙。

（安：但是， (\delta) 是什麼呢？

你還未賦予 \delta 意義。亦即是話，你對「無限小」的定義，尚未完成？）

— Me@2013.03.09

2013.03.09 Saturday (c) All rights reserved by ACHK