這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
有三個方格，你要填上三個英文字母。
_ _ _
每一格都是由 {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J} 十個字母中，抽其中一個出來。字母可以重複被抽中，例如，第一格是 A 的話，第二格都可能是 A。假設整個過程是隨機的，即是各個可能性的機會均等。那樣，「至少有兩個字母不同」的機會率是多少？
（HYC：好像有很多個可能，例如：AAB、ABB、BBA 和 EFG 等等。）
你可以試試這樣想：「至少兩個不同」即是「不是全部相同」。
P(at least two are different)
= P(not all the same)
= 1 – P(all the same)
你先計「全部相同」的機會率，然後用「一」去減它就可以。
— Me@2012.11.08
2012.11.08 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。
另外，每人在每場勝利的機會相同，都是二分之一。
問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在第二輪比賽，即是準決賽，相遇的機會率有多少？
(_) (_) 決賽
(_) (_) (_) (_) 準決賽
(_)(_) (_)(_) (_)(_) (_)(_) 初賽
第一對 第二對 第三對 第四對
P 方法：
…
S 方法：
我們先考慮所有可能排列的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的排列有多少，放於分子。
（＿）
（ ）
準決賽總共有 8 個可能的參加者， 4 個位置，所以共有 8P4 個可能的排列。（8P4）即是 「8 排 4」，等於 1680。
（＿＿）
（8P4）
而眾多可能的排列中，我們接受的是 A B 對賽的情況，總共有 4 類。
(A)(B) (_)(_)
(B)(A) (_)(_)
(_)(_) (A)(B)
(_)(_) (B)(A)
所以，分子先有一個（4）的因素。
（4）
＿＿＿
（8P4）
另外，餘下有 6 個可能的參加者，兩個位置，所以共有 6P2 個可能的排列。所以，分子再有一個（6P2）。
（4）（6P2）
＿＿＿＿
（8P4）
結論是， A 和 B 在準決賽相遇的機會是 1/14。
（4）（30）
＿＿＿＿
（1680）
= 1/14
答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。
— Me@2012.10.22
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— Me@2012.10.17
2012.10.22 Monday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。
另外，每人在每場勝利的機會相同，都是二分之一。
問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在第二輪比賽，即是準決賽，相遇的機會率有多少？
(_) (_) 決賽
(_) (_) (_) (_) 準決賽
(_)(_) (_)(_) (_)(_) (_)(_) 初賽
第一對 第二對 第三對 第四對
P 方法：
在準決賽相遇的先決劇情是
1. A B 的初賽比賽位置，可以令他們晉級後相遇；
2. A B 在初賽各自勝利。
先考慮第一點，有關 A B 的初賽位置。我們假想先放 A、B 的其中一個，例如 A，在適當的位置。然後，再放 B 於適當的位置。
（＿）（＿）
只要把兩個機會率相乘，就代表 A 和 B 都在適當位置的機會。
首先，第一個人放在哪個位置都可以，所以第一個人的位置一定會適當，機會率是一（1）。亦即是話，對於第一個人來說，有 8 個可能的位置，而 8 個都可以接受，所以機會率是八分之八（8/8）。
（1）（＿）
然後，對於第二個人來說，有 7 個可能的位置，而只有 2 個可以接受。亦即是話，如果 A 已經選定比賽位置，而 B 又要和 A 於準決賽相遇的話， B 就只有兩個選擇。例如，如果 A 在第一對位置出現， B 就一定要在第二對位置參賽。所以， B 在適當位置的機會率是七分之二（2/7）。
（1）（2/7）
另外， A B 在初賽各自要勝利。所以，要乘多兩個二分之一。
（1）（2/7）（1/2）（1/2）
結論是， A 和 B 在準決賽相遇的機會是 1/14。
（1）（2/7）（1/2）（1/2）= （1/14）
S 方法：
…
— Me@2012.10.21
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— Me@2012.10.17
2012.10.21 Sunday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在初賽相遇的機會率有多少？
P 方法：
…
S 方法：
初賽共有 8 格參賽位置，即是 4 對。
(_)(_) (_)(_) (_)(_) (_)(_)
我們先考慮所有可能排列的總數，放於分母；然後，再考慮可以接受的排列有多少，放於分子。
（＿）
（ ）
總共有 8 個人 8 個位置，所以共有 8! 個可能的排列。
（＿）
（8!）
而我們想要的結果是， A、B 在初賽相遇。我們接受的可能性包括，
A、B 在第一對參賽位置、
(A)(B) (_)(_) (_)(_) (_)(_)
A、B 在第二對參賽位置、
(_)(_) (A)(B) (_)(_) (_)(_)
A、B 在第三對參賽位置、
(_)(_) (_)(_) (A)(B) (_)(_)
或者 A、B 在第四對參賽位置。
(_)(_) (_)(_) (_)(_) (A)(B)
所以，分子有一個（4）的因素。
（4）
＿＿
（8!）
然後，考慮到即使 A、B 的內部對調位置，結果都可以接受：
(B)(A) (_)(_) (_)(_) (_)(_)
(_)(_) (B)(A) (_)(_) (_)(_)
(_)(_) (_)(_) (B)(A) (_)(_)
(_)(_) (_)(_) (_)(_) (B)(A)
分子再有一個（2）。
（4）（2）
＿＿＿
（8!）
餘下有 6 個位置給 6 個人選擇。所以，分子還有一個（6!）。
（4）（2）（6!）
＿＿＿＿＿
（8!）
結論是， A 和 B 在初賽相遇的機會是 1/7。
（4）（2）（6!）
＿＿＿＿＿
（8!）
= （1/7）
答案和 P 方法的結果相同，即是正確的機會很大。
— Me@2012.10.18
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— Me@2012.10.18
2012.10.19 Friday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
假設有一個乒乓球淘汰賽，共有八人參加。換句話說，有四場初賽，淘汰四個參賽者。餘下的四個進入準決賽。初賽時的比賽對象，由抽籤隨機決定，即是各個可能性的機會均等。問題是，其中兩個參賽者 A 和 B，在初賽相遇的機會率有多少？
P 方法：
初賽共有 8 格參賽位置，即是 4 對。
(_)(_) (_)(_) (_)(_) (_)(_)
我們假想先放 A、B 的其中一個，例如 A，在適當的位置。然後，再放 B 於適當的位置。
（＿）（＿）
只要把兩個機會率相乘，就代表 A 和 B 都在適當位置的機會。
首先，第一個人放在哪個位置都可以，所以第一個人的位置一定會適當，機會率是一（1）。亦即是話，對於第一個人來說，有 8 個可能的位置，而 8 個都可以接受，所以機會率是八分之八（8/8）。
（1）（＿）
然後，對於第二個人來說，有 7 個可能的位置，而只有 1 個可以接受。亦即是話，如果 A 已經選定比賽位置，而 B 又要和 A 於初賽相遇的話， B 就只有一個選擇，所以 B 在適當位置的機會率是七分之一（1/7）。
（1）（1/7）
結論是， A 和 B 在初賽相遇的機會是 1/7。
（1）（1/7）= （1/7）
S 方法：
…
— Me@2012.10.17
致讀者：如發現本文有思考漏洞，或者運算錯誤，請以電郵告知本人。謝謝！
— Me@2012.10.17
2012.10.17 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 8 日的對話。
大部分 probability（機會率）的初學者，都會混淆「independent events」（獨立事件）和「mutually exclusive events」（互斥事件）。只要記住以下兩個重點，就不會再混淆兩者。
第一個重點是，「兩件事」和「一件事」之別。「Independent」通常是指，兩件事件互不相干。「Mutually exclusive」通常是指，同一件事件的兩個可能結果，不會同時發生。例如，骰子甲和骰子乙是 independent 的話，即是甲乙的結果不會影響對方。而骰子甲不會在同一次，同時「擲到 2」和「擲到 3」。所以，「甲 2」和「甲 3」是 mutually exclusive 事件。
第二個重點是，「沒有關係」和「有關係」之別。「Independent」是指，兩個結果互不相干。「Mutually exclusive」是指，兩個結果十分相干；它們是敵人關係。
— Me@2012.10.13
2012.10.13 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
蘋果 與 Apple, 1.2 | Electric Field and Electric Potential, 1.2 | 物理語言 1.2
這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。
你在讀數學和物理時遇到的困難，有時，其實不是「數學問題」或者「物理問題」，而是「語言問題」。
例如，如果我不跟你說，「electric field」（電場）和「electric potential」（電勢），其實是描述同一類物理現象的兩種不同語言，你可能一直會以為，它們是兩種不同的東西，繼而反覆思考它們的關係，庸人自擾一番。
所以，下次在 數學、物理 或 其他科 遇到疑惑時，你要知道，那很大機會是「語言問題」。只要把相關問題的重要字眼釐清，難題的神秘感往往會自然消失。
又例如，讀「微積分」時，「無限」好像十分驚嚇。其實，並不是真的有一樣東西，或者一個數字，叫做「無限」。它只是一個語言的技巧，說話的方法。每逢我們說「無限」時，即是沒有那樣東西。
例如，甲問乙：「你欠我的錢，什麼時候會歸還呢？」
乙答：「無限年之後。」
乙的意思，並不是真的有一個時間長度，叫做「無限年」。他等「無限年」之後，會把錢還給甲。乙的真正意思是，他不肯還錢。
再例如，「無人跑得快過我」，並不是指有一個人名叫「無人」，他跑得快過我。「無人」只是一種說話的方法。「無人跑得快過我」的真正意思是，「我是所有人之中，跑得最快的。」
— Me@2012.09.10
2012.09.10 Monday (c) All rights reserved by ACHK
Electric Field and Electric Potential, 2.3 | 物理語言 2.3
這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。
但是，表示 electric field（電場）時，如果真的在空間上的每一點，也畫一支箭的話，會十分麻煩。而且，那些箭會互相重疊，令你看不清楚每一支箭的長度。不知道箭的長度，就即是不知道空間上每一點，對應的 electric field 強度。
所以，物理學家把原本「箭的長度，代表乙所感受到的力的大小；箭的方向，代表力的方向」的計劃，修改了一點。現在，所有箭也是無限長，稱為 electric field lines 電力場線，或者「電力線」。箭的方向，仍然代表電荷乙所感受到的力的方向。而力的大小，則改為以 electric field lines 的密度來代表。
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| This file is made available under the Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication. |
— Me@2012.09.07
2012.09.07 Friday (c) All rights reserved by ACHK
Electric Field and Electric Potential, 2.2 | 物理語言 2.2
這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。
空間上，每一點有一個數字，就為之有一個「field」。例如，這兒的空間有溫度。這一點是 26 度、那一點是 27 度、另一點是 26.5 度 等等。你發覺在這兒空間上的每一點，都可以標籤一個數字，用來代表溫度。所以我們說，這裡有一個 temperature field（溫度場）。
溫度是 scalar（純量）還是 vector（向量）？
溫度是 scalar。溫度只是用數字來代表，沒有所謂方向。所以，我們亦可以說，這裡有一個 temperature scalar field。
如果我們放一粒 electric charge（電荷）在這兒，為什麼我們會說，它的周圍會形成一個 electric field（電場）呢？
假設原本的 electric charge 叫做「甲」。如果我們放另一粒 electric charge（電荷乙）在甲附近的任何一點，乙都會感受到一個 force（力）。（至於是吸力或斥力，則要視乎甲乙是同性還是異性。）在這一點，乙會感受到 26N 的力；在那一點，則感受到 27N；另一點是 26.5N 等等。你發覺在甲附近空間上的每一點，都可以標籤一個數字，用來代表力的強度。所以我們說，這裡有一個 force field（力場）。
由於這個 force field 是由 electric charge 引起的，所以這個 field 又稱為 electric force field（電力場）。另外，要表示 force（力），單單用數字是不足夠的，因為力除了有大小外，還有方向。所以，「force field」的意思，不單是指空間上的每一點有一個數字，而且指每一點有一支箭。箭的長度，代表乙所感受到的力的大小；箭的方向，代表力的方向。換句話說，力是 vector（向量）。所以我們說，電荷甲的周圍，有一個 electric force vector field（電力向量場），簡稱 electric field（電場）。
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| This file is made available under the Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication. |
— Me@2012.09.04
2012.09.04 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
Electric Field and Electric Potential, 2.1
這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。
「Field」（場）貌似是一個抽象的概念。實質可以很簡單容易。究竟什麼是「field」（場）呢？
空間上，每一點有一個數字，就為之有一個「field」。例如，這兒的空間有溫度。這一點是 26 度、那一點是 27 度、另一點是 26.5 度 等等。你發覺在這兒空間上的每一點，都可以標籤一個數字，用來代表溫度。所以我們說，這裡有一個 temperature field（溫度場）。
— Me@2012.09.01
2012.09.01 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
Electric Field and Electric Potential
這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。
千萬不要以為，「electric field」（電場）和「electric potential」（電勢）是兩種不同的東西。實情是，它們只不過是，描述同一類物理現象的兩種不同的語言。換言話說，同一個電學現象，你既可以用「electric field」來解釋，亦可以用「electric potential」來說明。
例如，有一對金屬板，左邊帶正電，右邊帶負電。如果放一粒正電荷於兩者之間，該正電荷會向右走。
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這個現象，一方面，你可以用「electric field」來解釋：因為 electric field lines（電力線）向右指，而正電荷的天性是，跟著電力線的方向走，所以該正電荷會向右走。
另一方面，你亦可以用「electric potential」來解釋：因為左邊的 electric potential 高於右邊，而正電荷的天性是，由高 potential 的地方，流向低 potential，所以該正電荷會向右走。
記住，「electric field」（電場）和「electric potential」（電勢）不是兩種東西，而是同一種東西的兩種語言。就正如「蘋果」和「apple」，它們是同一種東西的兩種語言。至於用哪一種語言，則要視乎情況而定，哪一種比較方便就用哪一個。例如，見到中國人時，就用「蘋果」；見到英國人時，則用「apple」。
— Me@2012.08.30
2012.08.30 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
法向力
這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。
為什麼會有 normal reaction（法向力）？
物質由粒子組成。那些粒子無論是原子還是分子，粒子表面都是佈滿電子。電子帶負電。兩件物件接觸（甚至相撞）時，會排斥對方，是因為他們表面的電子，負負相斥。
Normal reaction 歸根究底，來自電力（electric force）。
— Me@2012.08.24
2012.08.24 Friday (c) All rights reserved by ACHK
背誦製成品 9
這段改編自 2010 年 6 月 9 日的對話。
你試想想，傳說中的「微積分」，運算的過程中，其實是在做什麼？
其實，「運算」時，你只是在憶述之前背誦了「微積分」公式，而不是真的什麼「運算」或者「思考」。
當然「微分」有「機械程序」可以跟，意思是，去到任何一步，你都會很明顯知道，接著應該要用哪一道公式；而「積分」則沒有，所以「積分」會困難一點，會有更強貌似「運算」的感覺。但是，那強烈一點的「運算」感覺，其實都是來自，腦中搜索公式的過程，只是搜索的範圍大一些罷了。做「積分」時，你需要回憶和下載一生（甚至乎前生）以來，所學過的「積分」公式和技巧。
如果暫時回憶失敗，找不到所需的公式的話，你就應該暫時中止該題，改為先做其他題目。有時間剩下時，才回去「重新搜索」。
— Me@2012.08.18
2012.08.18 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
In statistics, Bessel’s correction, named after Friedrich Bessel, is the use of n – 1 instead of n in the formula for the sample variance and sample standard deviation, where n is the number of observations in a sample: it corrects the bias in the estimation of the population variance, and some (but not all) of the bias in the estimation of the population standard deviation.
That is, when estimating the population variance and standard deviation from a sample when the population mean is unknown, the sample variance is a biased estimator of the population variance, and systematically underestimates it. Multiplying the standard sample variance by n/(n – 1) (equivalently, using 1/(n – 1) instead of 1/n in the estimator’s formula) corrects for this, and gives an unbiased estimator of the population variance.
— Wikipedia on Bessel’s correction
The two estimators only differ slightly as can be seen, and for larger values of the sample size n the difference is negligible. While the first one may be seen as the variance of the sample considered as a population, the second one is the unbiased estimator of the population variance, meaning that its expected value E[s^2] is equal to the true variance of the sampled random variable; the use of the term n – 1 is called Bessel’s correction.
— Wikipedia on Sample variance
2012.05.16 Wednesday ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。
（CYW: 用兩種方法運算同一題，而答案相同的話，錯的機會就很微。但是，考試時，哪會有那麼多的時間？）
那就要靠你平日的訓練。你要在考試前，訓練到自己，每當做一題價值（例如）三分鐘時間的題目時，都可以在兩分鐘內完成。而餘下的一分鐘，你就可以用來驗算。
— Me@2012.04.30
2012.04.30 Monday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。
又再例如，求 d/dx (1/sqrt{x}) 時，你直接計算了以後，可以同時用「消滅分母法」和「消滅開方法」去驗算：
y = 1/sqrt{x}
y^2 = 1/x
x y^2 = 1
左右兩邊同時對 x 求導：
（Differentiate both sides with respect to x:）
(dx/dx) y^2 + x d/dx (y^2) = d(1)/dx
y^2 + x 2 y dy/dx = 0
2 x y dy/dx = – y^2
dy/dx = – y/(2x)
dy/dx = – (1/sqrt{x})/(2x)
dy/dx = – 1/(2 x sqrt{x})
— Me@2012.04.28
2012.04.28 Saturday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。
又例如，求 d/dx (1/x) 時，你既可以直接計算，又可以用「消滅分母法」：
y = 1/x
x y = 1
左右兩邊同時對 x 求導：
（Differentiate both sides with respect to x:）
(dx/dx) y + x dy/dx = d(1)/dx
y + x dy/dx = 0
dy/dx = -y/x
dy/dx = (-1/x)/x
dy/dx = -1/x^2
凡是有分母的 function（函數）做 differentiation（求導），你都可以用這個「消滅分母法」去驗算。
再例如，求 d/dx (sqrt{x}) 時，你既可以直接計算，又可以用「消滅開方法」：
y = sqrt{x}
y^2 = x
左右兩邊同時對 x 求導：
（Differentiate both sides with respect to x:）
d/dx (y^2) = dx/dx
2y dy/dx = 1
dy/dx = 1/2y
dy/dx = 1/(2 sqrt{x})
凡是有開方的 function（函數）做 differentiation（求導），你都可以用這個「消滅開方法」去驗算。
— Me@2012.04.25
2012.04.25 Wednesday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。
考試時，你怕做錯 differentiation 的話，就應該做驗算。驗算的方法有兩種。你選擇其中一種方法去用就可以。
第一種方法是，做了 differentiation 後，用計數機核對。現在，有一些計數機，有 differentiation 的功能。
第二種方法是，你用超過一種途徑，去運算同一題 differentiation，看看可不可以得到同一個答案。例如，如果要運算 d/dx ( sin x / x )，你既可以用 product rule，又可以用 quotient rule。
用 product rule 的話，你就要把「sin x 除以 x」看成「sin x 乘以 1/x」。
— Me@2012.04.23
2012.04.23 Monday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。
你這道機會率題目做錯了。我建議你不要自己追究，自己的想法錯在哪裡，因為，有時一些錯誤的想法，很難可以自己指出錯在何處，除非你的造詣，已經達到大師的級數。
例如，你試一試指出，以下的論證，有何不妥之處：
擁有一支筆 好過 沒有任何東西；
沒有任何東西 好過 擁有一位好太太。
結論：
擁有一支筆 好過 擁有一位好太太。
如果想追究想法錯在哪裡，你可以直接問我。我的機會率精神狀態，間中會達到大師的境界。
— Me@2012.04.19
2012.04.19 Thursday (c) All rights reserved by ACHK
這段改編自 2010 年 6 月 2 日的對話。
機會率是一個分數。分子代表期望的結果；分母代表已知的東西，又名「樣本空間」。
即使期望的事件相同，如果已知的東西不同，都會導致機會率的數值有分別。例如，假設有一粒骰子是公平的，即是各個結果出現的機會率均等。如果要擲到「3」，機會率是多少呢？
期望的結果只有一個，就是擲到「3」，所以機會率分子是 1。樣本空間，就是所有可能結果的集合，即是｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝。樣本空間，顯示總共有 6 個可能的結果，所以機會率分母是 6。答案是，擲到「3」的機會率是 1/6。
但是，如果你已知結果一定是單數，樣本空間就會收窄成｛1, 3, 5｝。因為現在只有 3 個可能的結果，機會率分母應該改為 3。結論是，擲到「3」的機會率是 1/3。
你現在用「集合論」中的「文氏圖」（Venn diagram），來分析一題機會率題目，理論上是合理的。但是，實際上，你要十分小心，因為「文氏圖」所直接表達的，只有期望的結果，即是「機會率分子」。稍一不留神，你會忘記了，還要考慮「樣本空間」，即是「機會率分母」。
— Me@2012.04.17
2012.04.17 Tuesday (c) All rights reserved by ACHK
Physics Town 
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