Random variable

Posted on May 16, 2023 by rpflee

Random variable $X$ represents a single-valued result of a random event. Its value is unknown to us, not because of our ignorance, but because of its non-existence. The value exists only after the happening of that random event.

Symbol $x$ represents a particular value of $X$ . It is an existing value that can be substituted to $X$ . We use symbol $x$ instead of a number because we have not yet known what that particular number is.

— Me@2016-04-08 05:24:45 PM

X ~ random variable

It is a variable due to the fact that the “identical” random process can result differently at different times.

x ~ a value of X

Since it is a particular value of X, it is not a variable. However, it may seem to be a variable because it may still be unknown to us.

Symbol $P(X)$ is meaningless because inside, it must be a statement (representing an event). Symbol $X$ is a random variable, not a statement.

Instead, “ $X=x$ ” is a statement. So expression $P(X=x)$ is meaningful, such as

$P(X=x) = {\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\} \end{cases}}$

From another point of view, $X$ is a noun phrase, such as “my monthly salary”, not a number. Symbol $x$ is a number, although maybe not known yet. That’s why whatever the formula, it contains no $X$ ‘s, but $x$ ‘s. For example,

$\cdots = {\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\} \end{cases}}$

— Me@2016-05-04 06:32:24 PM

運動即速度；速度即所見

Posted on March 30, 2023 by rpflee

92-CE-PHY II – 4 前傳

— Me@2023-03-30 10:10:29 AM

When physics meets biology

Posted on February 23, 2023 by rpflee

oli5679 on May 15, 2018

There was a really good chapter on his time in a biology lab in his book, “Surely you’re joking Mr. Feynman”. I have always remembered this quote:

When it came time for me to give my talk on the subject, I started off by drawing an outline of the cat and began to name the various muscles.

The other students in the class interrupt me: “We know all that!”

“Oh,” I say, “you do? Then no wonder I can catch up with you so fast after you’ve had four years of biology.” They had wasted all their time memorizing stuff like that, when it could be looked up in fifteen minutes.

sykh on May 15, 2018

Feynman was wrong on his view. The same thing could have been said of him and physicists. Oh, you spent your time memorizing formulas when it could be looked up in 15 minutes.

This is a nonsensical point of view for two reasons. [1] People in areas of their expertise tend to know a lot in that area off the top of their head because they have encountered this stuff so much that it has become memorized. That memorized knowledge comes from experience not a memorization exercise. [2] It’s also nonsensical because if you didn’t have a core set of knowledge memorized in your area of expertise and instead relied on spending 15 minutes looking up each fact necessary to understand a given situation you’d end up wasting your whole day just trying to understand the meaning of the problem.

— Hacker News

2023.02.22 Wednesday ACHK

分數版 nCr

Posted on February 22, 2023 by rpflee

nCr, 0.10

距離輸入；位移輸出, 6

Posted on January 9, 2023 by rpflee

92-CE-PHY II – 2

Summation

Posted on December 20, 2022 by rpflee

二項式定理 Binomial Theorem 2.2 | nCr, 0.9

Combinatorial proof

Posted on December 6, 2022 by rpflee

二項式定理 Binomial Theorem 2.1 | 二項式係數 Binomial coefficient 6.1 | nCr, 0.8

— Me@2022-12-06 09:58:50 AM

「超級 nCr」== 分三組

Posted on November 26, 2022 by rpflee

排列組合 1.7 | nCr, 0.7

nCr == 分兩組

Posted on November 14, 2022 by rpflee

排列組合 1.6 | nCr, 0.6

排列組合 1.5

Posted on October 30, 2022 by rpflee

nCr, 0.5

排列組合 1.4

Posted on October 19, 2022 by rpflee

nCr, 0.4

— Me@2022-10-19 12:26:30 PM

排列組合 1.3

Posted on September 29, 2022 by rpflee

nCr, 0.3

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

— Me@2022.09.29 10:11:00 AM

排列組合 1.2

Posted on September 9, 2022 by rpflee

nCr, 0.2

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

1.4.2 另外一種設計定義的想法是，由 $\displaystyle{n!}$ 的算式取靈感。

既然 $\displaystyle{n}$ 是多少， $\displaystyle{n!}$ 就有多少項相乘，那樣，零的階乘， $\displaystyle{0!}$ ，理應只有零項相乘， $\displaystyle{~a^0~}$ 。

$\displaystyle{0! = a^0}$

但是，「零項相乘」的數值，又應該是什麼呢？

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」，所以是一，因為任何數乘了一，效果都等於沒有乘；所以，

$\displaystyle{a^0 = 1}$

$\displaystyle{0! = 1}$

「零項相乘」的正式學名是，「空積」或「零項積」。

1.4.3 如果要詳細一點，去理解「空積」的話，可以先嘗試了解「次方」的意思。

首先， $\displaystyle{a}$ 五次方的意思，就是有五個 $\displaystyle{a}$ 相乘。

$\displaystyle{a^5 = aaaaa}$

如果在其之後，再乘 $\displaystyle{a^3}$ 的話，就即是再乘多三個 $\displaystyle{a}$ 。

$\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa)}$

所以，

$\displaystyle{a^5 a^3 = a^{5+3}}$

既然，在其之後乘以 $\displaystyle{a}$ 的正三次方，就是乘多三個 $\displaystyle{a}$ 。

那樣，在其之後乘以 $\displaystyle{a}$ 的負三次方，就可以理解成乘少三個 $\displaystyle{a}$ ，即是：

你想想，自出生以來，你學過什麼操作，會有刪除因子的效果呢？

就是分母：

$\displaystyle{a^5 a^{-3} = \frac{aaaaa}{aaa}}$

所以，所謂「負三次方」的運算的方法，就是把那三次方，放於分母之中。

$\displaystyle{a^{-3} = \frac{1}{a^3}}$

然後，我們可以再研究，一個抽象一點的問題：

$\displaystyle{a}$ 的半次方，又會是什麼呢？

我們可以這樣想，如果 $\displaystyle{a^{1/2}}$ 存在的話，它必須達到什麼效果呢？

如果暫時想不到的話，可以改為思考：「 $\displaystyle{a}$ 的五次方，乘了半次 $\displaystyle{a}$ ，再乘半次 $\displaystyle{a}$ 」的話，即是總共乘多了，多少個 $\displaystyle{a}$ 呢？

$\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=?$

那很明顯是，總共乘多了一次 $\displaystyle{a}$ 。

$\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^5 a^1$

所以，

$\displaystyle{a^5 a^{1/2} a^{1/2}}=a^6$

亦即是話，

$\displaystyle{a^{1/2} a^{1/2}}=a^1$

究竟這個所謂的「半次 $\displaystyle{a}$ 」存不存在呢？

可以這個想，你自出生以來，有沒有學過什麼數字符號，自乘後會等如一次 $\displaystyle{a}$ 呢？

有，那就是 $\displaystyle{a}$ 的平方根。

$\displaystyle{\sqrt{a} \sqrt{a}}=a^1$

所以，所謂的「半次 $\displaystyle{a}$ 」，其實就是，平方根 $\displaystyle{a}$ 。

$\displaystyle{a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}}$

言歸正傳，我們再來研究，所謂的「 $\displaystyle{a}$ 零次方」，其實是什麼？

顧名思義，即是乘 $\displaystyle{a}$ 的次數為零，不要乘也。

再想想：

$\displaystyle{a}$ 五次方乘以 $\displaystyle{a}$ 的正三次，就是乘多三個 $\displaystyle{a}$ ；所以，結果就是 $\displaystyle{a}$ 的八次方。

$\displaystyle{a^5 a^3 = (aaaaa)(aaa) = a^8}$

同理， $\displaystyle{a}$ 五次方乘以 $\displaystyle{a}$ 的負三次，就是乘少三個 $\displaystyle{a}$ ；所以，結果就是 $\displaystyle{a}$ 的二次方。

$\displaystyle{a^5 a^{-3} = a^2}$

那樣， $\displaystyle{a}$ 五次方乘以 $\displaystyle{a}$ 的零次，理應就是「不乘多亦不乘少」，維持原來的 $\displaystyle{a}$ 五次。

$\displaystyle{a^5 a^{0} = aaaaa = a^5}$

換句話說，「乘以 $\displaystyle{a}$ 零次」的效果，就是「乘了等如沒乘」。

你想想，自出生以來，有沒有學過什麼數字符號，會有「乘了等如沒乘」的效果呢？

— Me@2022.09.07 08:09:14 PM

排列組合 1.1

Posted on August 2, 2022 by rpflee

nCr, 0

這段改編自 2010 年 7 月 27 日的對話。

$\displaystyle{n!}$

1.1 意思：

$\displaystyle{n}$ 個人 $\displaystyle{n}$ 個座位的話，有多少種坐法？

1.2.1 算式：

$\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}$

1.2.2 由來：

第一個位，有 $\displaystyle{n}$ 個可能的人選；第一個位被坐後，第二個位只有 $\displaystyle{(n-1)}$ 個，可能的人選；如此類推，直到最後一個位，被餘下的唯一個人，選了為此。

1.3

留意， $\displaystyle{n}$ 是多少，就有多少項。

$\displaystyle{n! = (n)(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)}$

例如， $\displaystyle{5!}$ ，就有 5 項相乘；

$\displaystyle{\begin{aligned} 5! &= (5)(4)(3)(2)(1) \\ \\ \end{aligned}}$

$\displaystyle{3!}$ ，就有 3 項；等等。

$\displaystyle{\begin{aligned} 3! &= (3)(2)(1) \\ \end{aligned}}$

1.4.0 零的階乘， $\displaystyle{0!}$ ，還未有定義，因為，算式 $\displaystyle{n! = (n)(n-1) \cdots (2)(1)}$ 中的 $\displaystyle{n}$ ，只可以是正整體，不可以零。

階乘零， $\displaystyle{0!}$ ，需要額外定義，因為會常用到。那樣， $\displaystyle{0!}$ 應該定義為，什麼數值呢？

1.4.1 既然 $\displaystyle{n!}$ 的意思是「 $\displaystyle{n}$ 個人 $\displaystyle{n}$ 個座位，有多少種坐法」，那樣，你就可以視， $\displaystyle{0!}$ 的意思是「 $\displaystyle{0}$ 個人 $\displaystyle{0}$ 個座位，有多少種坐法」；那明顯是一，因為，那個情況之下，只有一個「坐法」，就是「沒有人又沒有位」這個唯一的可能性。

$\displaystyle{0! = 1}$

1.4.2 另外一種設計定義的想法是，由 $\displaystyle{n!}$ 的算式取靈感。

既然 $\displaystyle{n}$ 是多少， $\displaystyle{n!}$ 就有多少項相乘，那樣，零的階乘， $\displaystyle{0!}$ ，理應只有零項相乘， $\displaystyle{~a^0~}$ 。

$\displaystyle{0! = a^0}$

但是，「零項相乘」的數值，又應該是什麼呢？

「零項相乘」即是「乘了等如沒有乘」，所以是一，因為任何數乘了一，效果都等於沒有乘。

$\displaystyle{a^0 = 1}$

（「零項相乘」的正式學名是，「空積」或「零項積」。）

$\displaystyle{0! = 1}$

— Me@2022-08-02 02:41:43 PM

物理避數學；數學避思考

Posted on July 2, 2022 by rpflee

數學教育 8.1

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

科技是一套，避開科學的系統。

科技的存在，是為了讓不懂科學的人，也能享受，科學的成果。

例如，即使你不懂寫程式，也可以使用電腦。

科學的起點是物理。物理是一套，避開數學的系統。

物理的存在，是為了讓人在，毋須全懂數學的情況下，也能享受，數學的成果。

例如，在物理科中「簡諧運動」，原本需要懂數學中的「三角學」和「微分方程」，才可以處理得到。但是，在中學的物理教科書中，會教你把「簡諧運動」，看成某個「圓周運動」的投影；那樣，你可以在不太懂，「三角學」和「微分方程」的情況下，獲得那些運算成果。

所以，如果一題物理題目，你竟然需要，大量的數學運算才能完成，有很大機會是，你根本不懂，該題的物理原理，導致沒有工具，去簡化（甚至避開）運算。

數學的存在，是為了讓人在，盡量避開思考的情況下，也能享受，思考的成果。

例如，你在學過乘法的定義和原理後，就會背誦乘數表，從而毋須再刻意思考，也可以利用到，乘法的成果。

那樣，既然數學是一個「盡量避開思考」的系統，為什麼還要學呢？

完全不學數學，就可以完全避開思考。那不是更好嗎？

學過數學思考，才會有能力判斷，哪時需要思考，哪時不需要。

而有時「不需要思考」，正正是因為在那些情況，你知道可以用，哪些內在或外在工具，去避開思考之餘，而獲取成果。

如果你從來未學過乘法，即使給你計數機，你也不會用它來做乘法，因為，你根本不知道，有「乘法」這個數學概念工具。

— Me@2022-07-02 12:02:59 PM

數學教育 7.5.3

Posted on June 21, 2022 by rpflee

A Fraction of Algebra, 2.3

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

大多數情況反而是，遇到不佳的教師，因為大部分教師，也不懂教學。那就導致，在某一年的數學知識，出現斷層。數學作為理科之心，累積性最高。不幸斷了一層的話，就會同時斷了，之後的每一層。

隨著越來越陌生，那些對數學先天的純真喜愛，也變得不再復見。與數學，再見也不會是朋友。

我比較幸運，在中學時代，遇到一些合理的數學教師。即使在中六七的預科中，一科「應用數學」的教師，未如理想；另一科「純數學」的教師，卻驚為天人。

而我的物理科，則沒有那麼幸運。

留意，我這裡問的是，

你的日校物理教師，有沒有教，實質內容呢？

而不是

~~你的日校物理教師，教得好不好？~~

因為「好不好」有時，只是主觀的感受，未必能化成，實質的知識和成績。

我當年就是就正正，犯下這個錯誤。

我中三和中四時覺得，日校物理教師十分好，因為他無論是講物理故事，或物理概念，都十分精采；精采到一個地步是，他啓發了我，對物理的興趣。

但是，當時不知何故，我大部分 MC（多項選擇題）都不懂做。

~~教師好，而我成績差，很明顯是我的問題。~~

那是一個無知年輕人的想法。

事隔多年，我終於知道，那不是我的問題。原來我的日校物理教師，極少跟我們研究題目。每類題目應該如何理解，如何運算，要運用什麼概念或技巧等，都是必須教的東西，因為，極少人可以，無師自通。

根本九成九的要點，在題目的解答過程之中。而我的日校教師，偏偏沒有教。很大可能是，其實連他自己也不太懂。

— Me@2022-06-21 11:51:20 AM

電腦病毒

Posted on June 2, 2022 by rpflee

這段改編自 2010 年 10 月 14 日的對話。

很多時，「解決」問題最好的方法是，令到自己毋須，解決那個問題。

例如，你現在的問題是，本年是你的高考年。每天回家後，理應操練以往試題。但實情是，每天回家後，也會忍不住，打開電腦一會兒。而那「一會兒」卻往往會，橫跨數小時。

解決的方法是，訓練到自己每天回家後，忍得住不打開電腦。（我自己就在預科那兩年間，從來沒有開電腦，幾乎。）

更好的方法是，令到自己根本，毋須這個訓練。那就是每天下課後，留在學校完成了，自己給自己的試題操練目標，才回家。（這裡假設了，操練題目數小時後，回家仍然不會太晚。）

既然「每天回家後，也會忍不住，打開電腦一會兒」，倒不如索性，在完成功課前，暫時刪除了「每天回家後」這情節，那就完全避開了，「也會忍不住，打開電腦一會兒」這劇情。

跟壞人相處的最好方法是，不要跟他相處。不跟壞人相處的話，就毋須研究「如何跟壞人相處」。

完成操練試題前，暫時不讓「每天回家後的自己」出現，你就毋須研究，如何駕馭對付他。

— Me@2022-06-02 11:52:12 AM

王國之心

Posted on May 28, 2022 by rpflee

數學教育 7.5.2 | Genius 4.2.2 | A Fraction of Algebra, 2.2

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

相比其他科目，數學複雜程度大，很容易遇到一個情形，就是去到某一章節，開始處理不到。這是問題描述的第一步。

第二步就是問，為何會「去到某一章節，就開始處理不到」呢？

第一個可能是，求學者不夠聰明。或者說，數學較抽象，所以需要一般人也沒有的天份，才能駕馭。但這個可能的機會，其實不大，只佔少數案例。

隨著越來越陌生，那些對數學先天的純真喜愛，也變得不再復見。與數學，再見也不會是朋友。

— Me@2022-05-26 07:54:01 PM

數學教育 7.5.1

Posted on May 3, 2022 by rpflee

Genius 4.2.1 | A Fraction of Algebra, 2.1

這段改編自 2010 年 4 月 24 日的對話。

另外，他提的另一個，有關學習數學的要點是，即使假設你在大學中，學到的數學，在日常生活中沒有用，單單是為獲取，那些嶄新的元素概念本身，就已經能夠令你有超能力；令你有一些，常人沒有的思考工具、比喻語言。

（安：但是，這個講法可能有一個問題。

雖然，你剛才列舉了數個例子，來示範如何將高深數學，間接應用到人生處世，但是，一般人未必有那種能力。所以我想問，你又是如何去跨過這個難關呢？）

什麼難關？

（安：去翻譯那些抽象數學概念，到其他範疇，或者日常生活。）

那不是「難關」。你的意思是，一般人也沒有那個能力，而我有。所以，那是超能力；我當年一定是，用了一些秘技，才獲取之。

天才之道，點滴累積。其實並沒有所謂的「秘技」。只要一步一步地，學習數學，就自然建構出，一個相對接近完整的數學思考體系，生成「翻譯抽象數學概念到其他範疇」等能力。

所以，我猜想你的疑問是，其實我所講的「點滴累積」，或者「一步一步地」，雖然理想上是，基本的要求，但是現實中是，大部人也做不到。那就代表著，大部人可能也會遇到，一個共通的「難關」。那個「難關」究竟是什麼？我又是如何克服它，而做到「一步一步地」「點滴累積」的呢？

你問題的最簡化版本是：「如何學習數學，開創人生？」

有起碼以下三個先決條件：

1. 對數學（及其他學問人生），有極大興趣；

2. 遇到合理的老師和書籍：

重點是，數學概念或運算上的主要步驟，亳無違漏。支節可免，但主旨必須。細節可以無師自通，大節必靠前人指點。平地自己行，斜地靠梯級。平地可跳步，梯不可跳級。

3. 極超大量的背誦和練習：

數學是理科，所以其背誦方法，不是「死背」零碎隨機的資料，而是「生背」息息相關的訊息。融匯貫通地背誦的唯一方法是，極超大量的操練。

你所講的「難關」，就是以上的第二點。老師有分好老師和差老師。大部分也是差老師。而差老師再分兩類：不懂數學和不懂教學。

— Me@2022.05.02 11:48 PM

原來是我

Posted on February 11, 2022 by rpflee

原來是你, 3

這段改編自 2010 年 10 月 14 日的對話。

你所追求的東西，可能一直在你身邊，只是你沒有留意。

這原理不只適用於，愛情方面。它也會現身於，才能和興趣等。

例如，我小時候，在中三之始，就開始修讀物理科。但是，我要在兩年後，中五前的暑假才發現，物理是我事業中的最愛；自始以其為人生目標。

— Me@2022-02-10 08:08:53 PM

Physics Town

continues

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運動即速度；速度即所見

When physics meets biology

分數版 nCr

距離輸入；位移輸出, 6

Summation

Combinatorial proof

「超級 nCr」== 分三組

nCr == 分兩組

排列組合 1.5

排列組合 1.4

排列組合 1.3

排列組合 1.2

排列組合 1.1

物理避數學；數學避思考

數學教育 7.5.3

電腦病毒

王國之心

數學教育 7.5.1

原來是我