物理數學

Posted on August 5, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

記住，物理的精神，就是盡量減少用數學。

物理教你如果利用最少的數學運算，得到最多的成果。

— Me@2011.08.05

（WSY: 物理學家不是數學很好的嗎？）

正正是因為數學很好，才會有能力判斷，什麼時候可以不用數學。　　

— Me@2010.11.19

魔法筆記 3

Posted on August 2, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

其實，這些 MC（多項選擇題）是怎樣砌出來的呢？

每一課都有幾個重點。把那幾個重點隨機組合，就可以砌成一大堆 MC 題目。例如，假設，某一課有七個重點。第一題可以考你第一和第二個重點；第二題考你第二和第七；第三題考你第三、第五和第七；等等。每一題都考你貌似不同的知識和技巧。

初學者為什麼會覺得困難呢？

因為他們不知道那一課的背後，主要的重點只有七個。每一題對他們來說，也是全新的學問。

那樣，你怎樣可以做到，看穿每課背後的幾個重點呢？

可以問我，或者其他對這科這課熟悉的人仕。但是，留意，即使我直接講了那些重點給你聽，而你當時又明白，也不代表你可以真切「感受」得到。因為那不是你自己的故事、個人的經歷，印象未必會深刻。

為了加強記憶，一題如果錯了的話，你要問問自己，該題是因為不懂什麼，而不能完成。例如，在這題中，你原本不知道，在思考電壓（Voltage）題目時，應先行設定一點參考點，定義電壓的數值為零。另一個要點是，電流（current）的方向，是由高電壓的位置，指向低電壓的位置。

那樣，這題就可以記下這兩個要點，於「魔法筆記」中。

一般而言，每題大概可以歸納到二至三個要點。不斷用這個方法，歸納到（例如）第十題時，你會發現，那些知識和技巧，有部分已經在「魔法筆記」中重複。重複的東西，就是一課的精髓。

— Me@2011.08.02

魔法筆記 2.3

Posted on July 28, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

例如，你這題做不到，是因為你不知道 V1 = V2 = V3 = V4。那你就應該把「V1 = V2 = V3 = V4」這句和對應的注解，記在你的「魔法筆記」中。如果你在平日背了這個技巧的話，在以後各個考試中，就再不會不懂做這類題目。　

你的「魔法筆記」，除了在考試之前一日，和考試當日要背誦外，你在平日每次做練習前，也要背誦一次。否則，你對各個技巧的記憶，不會深刻到在考試有需要時，自動彈出來的程度。做不到全像記憶/過目不忘的話，你的「魔法筆記」形同虛設。

— Me@2011.07.28

魔法筆記 2.2

Posted on July 25, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

記住，製作「魔法筆記」時，歸納課文外，還要歸納題目。留意，「歸納題目」還有第二重的意思。除了要紀錄哪些題目「有需要再做」外，你還要歸納它們的相關具體內容：

對於原本不懂做的題目，你要記下你是因為缺乏哪些資料而導致不懂做。

對於做錯答案的題目，你要學習該類題目的校對方法。絕大部分類型的題目，都有對應的驗算技巧。

對於做得太慢的題目，你要反省自己是因為缺少哪些運算捷徑，或者表達技巧，導致你在考試時反應遲鈍。例如，是否因為你沒有背誦一些必須的公式，令到你要在考試時，自己重新運算推導一次，浪費了時間？

— Me@2011.07.24

魔法筆記 2.1

Posted on July 20, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

剛才所講的「魔法筆記」，除了用來歸納課文之外，你亦要用來歸納題目。舉例來說，你在這一課做了 50 題的 MC（Multiple Choices 多項選擇題）。到你下次再溫這一課時，難道要把這 50 題，全部再做一次嗎？

不用。你再做原本不太懂的題目就可以。

你應該在第一次做完後，在有需要下次再做的題目號碼圈一圈，作個記號。原本的 50 題，就可以歸納成（例如）25 題。幾個月後，第二次做時，工作量就會少很多。那時，你又可以用同一個方法，把那 25 題，再壓縮成（例如）12 題，如此類推。

那樣，哪些題目是「有需要再做」的呢？

第一，原本不懂做的題目。

第二，懂做，但是做錯答案的題目。

第三，懂做而答案正確，但是你用了超乎合理時間，去完成的題目。例如，假如一題 MC 的合理時間是一分半鐘。你卻要用兩分鐘，才能完成的話，你就要好好反省。

無論是「不懂做」、「不準確」，還是「不夠快」，都可以統稱為「不夠純熟」。

— Me@2011.07.20

恐龍骨化石 1.2　

Posted on July 17, 2011 by rpflee

運算三部曲 2

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

但是，物理的作用是描述現實世界。過份（貌似）準確的數字，不會符合實際，所以沒有意思。例如，假設你製造了一塊 1 厘米乘 1 厘米的瓷磚。接著，你用間尺量度它的對角線長度。你可能會度到 1.4 厘米。再準一些的話，會度到 1.41 厘米。更準一些的話，會度到 1.414 厘米。但是，你總沒有可能度到 $\sqrt 2$ 厘米，因為 $\sqrt 2$ 有無限個小數位。如果你說你度到 $\sqrt 2$ 厘米的話，要麼你就是在說謊，要麼你就是發神經。

比喻說，有一個自然博物館的導賞員，向一眾參觀者介紹一副恐龍骨化石：「這隻恐龍死於六千五百萬年零十天之前。」其中一位參觀者問：「？？？為何你可以這樣準確，連『十天』也知道。」導賞員隨即充滿自信地回答：「因為在十天之前，我聽其他導賞員向我介紹，這隻恐龍是死於六千五百萬年之前的。」你對那個導賞員，會有什麼感受呢？

總括而言，在物理科的考試題目當中，如果在中途的運算步驟遇到「非整數」（例如 $\sqrt 2$ ）的話，你應該把它留在那裡，不要化做小數；相反，如果最終答案是「非整數」的話，你則一定要把它化成小數，而且要保證有效數字，不會太多或太少。

— Me@2011.07.17

恐龍骨化石 1.1　

Posted on July 12, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

物理科的考試中，每題的最終答案，都要遵守一些準確度規則：

1. 如果不是整數的話，一定要用小數表達，而不可以用分數或者其他，例如 $\sqrt 2$ 、 $\frac{4}{5}$ 、 $\pi$ 等。

2. 如果試卷要求每個答案有（例如）三個有效數字（significant figures）的話，你的答案不可以有少於三個有效數字，除非是它是準確值；

3. 你的答案亦不可以有多於三個有效數字。

（CSY：為什麼不可以？）

數學是一個幻想世界。只要不自相矛盾，它說什麼也可以，例如：它說世界上有一個數字，叫做 $\sqrt 2$ 。化成小數的話，它會有無限個小數位。如果有一個正方形，它的邊長是 1 米的話，對角線就會是 $\sqrt 2$ 米。

但是，物理的作用是描述現實世界。過份（貌似）準確的數字，不會符合實際，所以沒有意思。

— Me@2011.07.12

魔法筆記 1.3

Posted on July 8, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

如果你不斷重複歸納壓縮的話，到你真正公開試之前的一日時，你會只餘下（例如）20 頁的筆記。最後，你要保證自己對那 20 頁，有「全像記憶」：分毫不差，過目不忘。

你先試試用我這個溫習方法。如果你不用的話，通常會有一系列的典型劇情會發生，例如：

1. 我由第一課開始溫習，溫到第三課時，就已經把第一課的內容，忘記了一大部分。那我應該從頭再溫嗎？

但是，我並沒有那麼多的時間。還有，即使我真的再一次由第一課開始溫習，到我再溫到第三課時，我又很可能再忘記了第一課。

2. 一科有三十多課書（chapters）。考該科之前的一天，應該溫什麼呢？

我沒有可能溫完所有東西，即是我只可以選擇複習一些部分。那樣，我應該選擇哪些部分呢？

— Me@2011.07.08

魔法筆記 1.2

Posted on July 4, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

聽下去好像很神奇，怎可能做到「數百頁中的每一頁也記得」呢？

只要你跟著以下的步驟便行。

首先，你要準備一本筆記簿。然後，把教科書逐頁閱讀。閱讀每一頁時，你問問自己，該頁的課文，有什麼是「有機會不記得」而又「有需要記得」的呢？

例如，看看這一頁。第一段文字內容，有沒有需要記得的地方？

（CPK：有。）

那樣，你有可能忘記嗎？

（CPK：沒有。）

那你就毋須記錄任何東西，於你的筆記簿中。

再看下一段 …

…

如此類推。

現在，你發現這一頁的內容中，需要寫於筆記簿的東西，只有這一句。換句話說，你已將一頁的內容，壓縮成一句。你可以想像，用同樣的方法，你可以將這裡 300 頁的內容，歸納成（例如）200 頁的筆記。

到第二次溫習時，你就不需要再由頭閱讀這本 300 頁的教科書，而是改為背誦你那 200 頁的筆記。但是，因為你第二次溫習時，會事隔（例如）一個多月，不少內容會已經純熟了很多。「新知識」變成了「舊東西」，你再不可能不記得了。所以，那 200 頁的背誦內容中，凡是「一定會記得」的東西，你可以從筆記簿中刪除。透過這個方法，你可以把你的筆記再壓縮歸納成（例如）100 頁。

到第三次溫習時，你再把筆記再壓縮歸納成（例如）50 頁，如此類推。

你先試試用我這個溫習方法。如果你不用的話，通常會有一個典型劇情會發生：

…

— Me@2011.07.04

全像記憶

Posted on June 30, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 12 日的對話。

我先講一講一個讀書技巧。你在溫習時，要有「photographic memory」（全像記憶），意思是「過目不忘」。例如，這本物理教科書共有 300 多頁。你要做到每一頁的內容也清晰記得。

這個方法是我的「讀書秘技」。它是我在 27 歲時發現的。那時，我終於明白，為何我當年高考時，那麼勤力也拿不到 A 級成績。你現在還有一年時間才高考，如果可以訓練到自己有 photographic memory 的話，你就不會有同樣的遺憾。

聽下去好像很神奇，怎可能做到「數百頁中的每一頁也記得」呢？

只要你跟著以下的步驟便行。

— Me@2011.06.30

鑽石棉花 1.3

Posted on June 25, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 9 日的對話。

「物理量」有兩種：intensive properties（固有性質）和 extensive properties（延展性質）。同物件的「尺寸大小」和「份量多少」沒有關係的物理量，為之「固有性質」。反之，就是「延展性質」。例如，鑽石的價錢取決於鑽石的輕重，所以「價錢」是鑽石的「延展性質」。而「每公斤價錢」則是鑽石的「固有性質」。

即使是同一種物質，只要「dimension」（尺寸大小）不同，resistance（電阻）就會不同。

如果你問「銅的 resistance 大一點，還是鋁的 resistance 大一點」的話，我答不到你，因為你沒有講明它們的尺寸大小。換句話說，比較兩種不同物料的 resistance 數值，並沒有任何意義。

如果要作有意義比較的話，你應該比較銅和鋁的 resistivity（電阻率）。

留意，電線越長，resistance 就越大；電線越粗，resistance 就越小。所以，resistance 是一項 extensive property。而 resistivity 的定義則是：

$\rho = R \frac{A}{l}$

這公式剛好把「長度」因素除掉，同時又把「橫切面面積」乘掉。所以，resistivity 是一項 intensive property，不受物體的尺寸大小影響。

平時，當我們講「銅是比鋁更好的導電體」時，意思並不是指，銅的 resistance 比鋁的 resistance 小，因為這個描述沒有任何意義。「銅是比鋁更好的導電體」的真正意思是，銅的 resistivity 比鋁的 resistivity 小。

— Me@2011.06.25

鑽石棉花 1.2

Posted on June 22, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 9 日的對話。

鑽石值錢一點，還是棉花值錢一點？

（CSY：鑽石。）

這樣答就錯了。例如，如果一小粒鑽石和一座山那麼大的棉花比較的話，很明顯棉花會比較值錢。

所以，如果沒有講明「dimension」（尺寸大小）或者「份量多少」的話，這個問題沒有意思，不值回答。合理的問法是：一公斤的鑽石值錢一點，還是一公斤的棉花值錢一點？

每當我們想講出某樣物質的特性，而不想被它的「份量多少」所影響的話，我們就會把「份量」除掉。例如，我們想比較在物料本質上，鑽石值錢一點，還是棉花值錢一點。我不應比較「價錢」，而應該比較「每公斤價錢」，亦即是「價錢/質量」（價錢除以質量）。那樣，「質量」這個因素就刪掉了。

例如，這裡有價值 500 元的棉花和 300 完的鑽石。棉花的質量有 50 公斤，而鑽石則有 3 公斤。那樣，棉花的單位價值是 10 元/公斤；鑽石的單位價值是 100 元/公斤。所以，鑽石是比棉花昂貴的物料。

— Me@2011.06.22

鑽石棉花 1.1

Posted on June 19, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 9 日的對話。

Resistance（電阻）正比於物件的長度，反比於橫切面面積：

$R \prop \frac{l}{A}$

化成等式的話，我們需要一個「比例常數」， $\rho$ ：

$R = \rho \frac{l}{A}$

在物理上，這個「比例常數」 $\rho$ ，叫做「resistivity」（電阻率）。

倒轉寫的話，resistivity 可以透過 $\rho = R \frac{A}{l}$ 運算得到，如果你知道 resistance 的數值的話。

Resistivity 可愛過 resistance，因為 resistivity 可以真正講出某樣物質的特性，而 resistance 則不可以。那是什麼意思呢？你可以這樣去理解：例如，我問你，

鑽石值錢一點，還是棉花值錢一點？

— Me@2011.06.19

電流電壓

Posted on June 9, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 9 日的對話。

「電流」（current）的意思是，通過某一個橫切面，每一秒有多少電荷（charge）。

「電壓」（voltage）是「電動勢」和「電位差」的統稱。「電動勢」（electromotive force）的意思是，由電路（electric circuit）中的一點去另一點，每一個單位的電荷，可以賺取多少能量（energy）。「電位差」（potential difference）的意思是，由電路中的一點去另一點，每一個單位的電荷，需要付出多少能量。

有一批車輛要使用海底隧道。簡便起見，假設該條海底隧道只有一個收費站。如果將「車輛」比喻成「電荷」的話，「電流」（車流）的意思是，每一秒有多少輛車，通過那個收費站。而「電壓」的意思是，通過那個收費站，每一輛車要付出多少錢。

還有，海底隧道收費站的「賺錢能力」（earning power），可以用作比喻「電功率」（electric power）。「賺錢能力」的意思是，那個收費站，每一秒可以收到多少錢。

那樣，你能理解為什麼「電功率＝電流 X 電壓」嗎？

— Me@2011.06.09

運算三部曲 1.2

Posted on May 31, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 1 日的對話。

第二，沒有驗算的題目，即使最終答案真的錯了，通常也會有一定程度的步驟分。所以，作答時一定要寫清楚運算步驟，千萬不要一步就跳到最後答案。

記住，答題的結構應該是，

1. 寫公式

2. 代數字

3. 出答案

很多時，這三步各有一分。例如：

F = ma

= (5kg) (10 m/s^2)

= 50 N

— Me@2011.05.31

運算三部曲 1.1　

Posted on May 28, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 1 日的對話。

（CSK：會不會有時驗算的時間，還多過原本運算那一題的時間？）

如果是那樣的話，該題就不應花時間驗算了。

留意，我並沒有叫你每一題也驗算。我是叫你大部分題目也應該驗算，因為大部分題目也有對應的「高速驗算技巧」，只有小部分題目沒有。所以，你應該在平日溫習時，就預先收集定各種題目的「校對秘訣」。

考試時，可以高速驗算的，就立刻驗算。不可以的，就在那些題目旁邊做個記號。待完成其他題目後，還有時間剩餘的話，才慢慢驗算。沒有時間剩餘的話，不驗算也罷。

（CSK：你講過，考試時驗算了題目，就可以大大減輕心理壓力。那樣，有部分題目沒有驗算的話，豈不是心理壓力會很大？）

如果你題題也沒有驗算的話，心理壓力當然會很大。但是，剛才已經強調，只有小部分題目才沒有「高速驗算技巧」。即使到最後要被迫放棄驗算一些題目，也只會是小部分。

第二，沒有驗算的題目，即使最終答案真的錯了，通常也會有一定程度的步驟分。

— Me@2011.05.28

知己知彼減壓法

Posted on May 25, 2011 by rpflee

A time to fear 2

這段改編自 2010 年 5 月 1 日的對話。

你現在心理壓力大的主要原因是，你在平日溫習時，沒有「限時間」和「計分數」做 past papers（歷屆試題），所以，一路也不知道自己的實力究竟去到哪個成績等級。

你試試今天回去後，「限時間」和「計分數」做一份 past paper，看看自己可以拿到多少分。即使，不幸地，你只得到 50 分，至起碼，你知道自己會合格。然後，再在這個基礎上，盡力提升分數，爭得一分得一分。那樣，你的心理壓力會小很多。

— Me@2011.05.25

Compressing data

Posted on May 24, 2011 by rpflee

…, he described his concept of how compressing data was equivalent in many ways to understanding it.

— In The Plex: How Google Thinks, Works, and Shapes Our Lives, p.100

2011.05.24 Tuesday ACHK

一步 2

Posted on May 21, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 1 日的對話。

（CSK：那樣很困難。）

冷靜一點就可以。你計不到的原因是，你在同一時間思考超過一步，導致感到混亂，不知如何走下去。反而，你應該在每一個時刻，只思考一步。

你運算完一步以後，才思考下一步的話，你的思路會清晰很多。

— Me@2011.05.21

微積分 2

Posted on May 18, 2011 by rpflee

這段改編自 2010 年 5 月 1 日的對話。

留意，我只是說做了一個「不定積分」（indefinite integration）後，你可以對答案式子做一次「微分」（differentiation），看看是否得回題目的式子。是的話，你答案正確的機會就十分高。

但是，我從來沒有說過，你做了一題「微分」題目後，可以透過對答案做一次「不定積分」，以作驗算。那是不行的。

「微分」是機械程序，「不定積分」不是。「微分」比「不定積分」簡單容易很多。所以，你應該用「微分」來驗算「不定積分」題目，而不應該用「不定積分」來校對「微分」題目。

如果要驗算「微分」題目的話，你要用其他方法。其中一個方法是，用一部有「微積分」功能，而又被考試局認可的計數機。

— Me@2011.05.18

Physics Town

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